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1、巧构造 妙解题1. 直接构造例1. 求函数的值域。分析：由于可以看作定点（2，3）与动点（-cosx，sinx）连线的斜率，故f(x)的值域即为斜率的最大、最小值。解：令，则表示单位圆表示连接定点P（2，3）与单位圆上任一点（，）所得直线的斜率。显然该直线与圆相切时，k取得最值，此时，圆心（0，0）到这条直线的距离为1，即所以故例2. 已知三条不同的直线，共点，求的值。分析：由条件知为某一元方程的根，于是想法构造出这个一元方程，然后用韦达定理求值。解：设（m，n）是三条直线的交点，则可构造方程，即（*）由条件知，均为关于的一元三次方程（*）的根。由韦达定理知2. 由条件入手构造例3. 已知实数
2、x，y，z满足，求证：分析：由已知得，以x，y为根构造一元二次方程，再由判别式非负证得结论。解：构造一元二次方程其中x，y为方程的两实根所以即故0，即3. 由结论入手构造例4. 求证：若，则分析：待证式的左边求和的分母是三次式，为降低分母次数，构造一个恒不等式。所以左边故原式得证。例5. 已知实数x，y满足，求证：分析：要证原式成立，即证即证由三角函数线知可构造下图，此时不等式右边为图中三个矩形的面积之和，而单位圆的面积为，所以故结论成立。巧用函数单调性妙解数学题函数是高中数学的重要内容，函数的单调性又是函数的重要性质。在求解某些数学问题时，若能根据题目的结构特征，构造出一个适当的单调函数，往
3、往能化难为易，化繁为简，获得巧解和妙解。下面举例说明。一. 巧求代数式的值例1. 已知，求的值。解：已知条件可化为设，则而在R上是增函数则有，即所以点评：本题关键是将条件转化为，再构造相应函数，利用单调性求解。拓展练习：已知方程的根为，方程的根为，求+的值。（答案：）二. 妙解方程例2. 解方程解：易见x=2是方程的一个解原方程可化为而（因为）在R上是减函数，同样在R上是减函数因此在R上是减函数由此知：当时，当时，这说明与的数都不是方程的解，从而原方程仅有唯一解。拓展训练：解方程。（答：）点评：解该类型题有两大步骤：首先通过观察找出其特解，然后等价转化为的形式，最后根据的单调性得出原方程的解的
4、结论。三. 妙求函数的值域例3. 求函数的值域。解：令，则因为，所以而在内递增所以又而所以为所求原函数的值域。四. 巧解不等式例4. 解不等式解：设原不等式可化为则，即设显然是R上的减函数，且，那么不等式即因此有，解得点评：解不等式其实质是研究相应函数的零点，正负值问题。用函数观点来处理此类问题，不仅可优化解题过程，且能让我们迅速获得解题途径。拓展训练：解不等式。（答：）五. 巧证不等式例5. 设，求证。证明：当m，n中至少有一个为0时，则有，结论成立。设因为在上单调递增所以与必同号，或同为0（当且仅当时）从而因此，原不等式成立（当且仅当或，或时取“=”号）。点评：原不等式等价于，这可由幂函数
5、在上递增而得到。本题可拓展：令，则。六. 巧解恒成立问题例6. 已知函数对区间上的一切x值恒有意义，求a的取值范围。解：依题意，对上任意x的值恒成立整理为对上任意x的值恒成立。设，只需而在上是增函数则所以七. 巧建不等关系例7. 给定抛物线，F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A，B两点，设。若，求l在y轴上的截距的变化范围。解：设由，得联立（1）（2）（3）（4），解得所以或所以的方程为或当时，在y轴的截距为令，则所以在4，9上是减函数故所以直线在y轴上截距的取值范围是：八. 巧解数列问题例8. 已知数列是等差数列，。（1）求数列的通项公式；（2）设数列的通项，Sn是数列的前n项和，试比较与
6、的大小，并证明你的结论。解：（1）由，有得因此（2）设（n为正整数）所以即在上是递增的从而即所以当时，当时，巧用函数思想解数列题从函数观点看，数列是定义域为正整数集或它的有限子集1，2，3，n上的函数，当自变量从小到大取值时相应的一列函数值，因此，用函数思想解数列题，思路自然，方法简捷。1. 利用周期性解题例1. 在数列an中，已知，则等于（ ）A. 1B. 5C. 1D. 5解：因为所以两式相加，得从而有即an是周期为6的数列，所以选A2. 利用单调性解题例2. 设，且n1，求证证明：令则于是所以即an是n的单调递增函数，其中n2，3，4，又所以当n2，3，4，时，都有故3. 利用图象解题例
7、3. 已知数列an的通项公式，则数列an的前30项中最大项与最小项分别为（ ）A. a1，a10B. a1，a9C. a10，a30D. a10，a9解：因为，由图象，知选D。4. 分离参数解题例4. 已知a0且a1，数列an是首项为a，公比为a的等比数列，设，若对任意恒成立，求实数a的取值范围。解：依题意，得，所以于是（1）当a1时，所以，故当时，所以故综上，得巧用判别式在解题中，大家往往会遇到有关一元二次方程（a、b、c，a0）的问题，而利用判别式解题，却能使问题化繁为简、化难为易，收到事半功倍的效果。所以，如果已知条件中含有二次方程或二次函数，则可考虑直接应用判别式，点击思维，灵活运用。
8、下面通过几例解法，说明一下自己的感悟。例1. 已知，求证：。证明：由已知得构造函数因，所以故成立。说明：本题利用构造法，解题过程简捷、流畅，并且需要有较强的直接观察能力。例2. 设实数x、y，且。求的取值范围。解：已知 设 整理得 由得，把式代入得，则有。 在条件下， 由可知，x、y是方程的根。因为，所以，解得综上可知，即说明：若题设中含有形如、的项，就可考虑用韦达定理构造二次方程。解本题需要有一定的数学思想，先求xy、xy，再构造二次方程，利用判别式轻松解题。例3. 已知，求证：证明：视不等式的左边减去右边为一个关于x的二次函数，那么有其判别式故开口向上的二次函数恒为非负，即对所有x、y、z
9、，所求证的不等式成立。说明：本题可谓“纸老虎”。通过仔细审题，巧妙构造二次函数，利用判别式使问题轻松获解。练一练在区间1.5，3上，函数与函数同时取到相同的最小值，则函数在区间1.5，3上的最大值为（ ）A. 8B. 6C. 5D. 4答案：D提示：，当且仅当时，所以，在区间1.5，3上。求切点弦所在直线方程的多种方法在学习平面解析几何“直线与圆的方程”一章时，我们会遇到求切点弦所在直线方程的问题，这类问题涉及到的知识点比较多，让初学者感到费解，本文将从不同的角度来探讨它的求法。为了解答的方便，先给出两个真命题：命题1：已知圆O：上一点M（），则以点M为切点的圆的切线方程为。命题2：已知两相交
10、圆：，圆，则两圆的公共弦所在的直线方程为例：已知点P（）为圆O：外一点，过点P作圆的切线，其中为切点，求切点弦所在的直线方程。解法1：由题意知所以，O、P、四点共圆，且OP为此圆的直径，即圆：即又为圆O、圆的公共弦，由命题2知，切点弦所在直线方程为。解法2：设由命题1得，方程为方程为。由，可得两点坐标都满足关于的二元一次方程，而过两点的直线有且只有一条，因此，切点弦所在直线方程为。解法3：如上图，设容易证明，从而M为的中点。，M坐标为直线的方程为。即 （*）又由命题1得，方程为方程为。由，可得代入（*）式得，切点弦所在直线方程为。对同一个问题从不同的角度去摸索和思考，这对提高我们分析问题和解决
11、问题的能力是很有好处的。求圆锥曲线离心率“四法”离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现，下面给同学们介绍常用的四种解法。一. 直接求出a、c，求解e已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式来求解。例1. 过双曲线M：的左顶点A作斜率为1的直线，若与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（ ）A. B. C. D. 分析：这里的，故关键是求出，即可利用定义求解。解：易知A（-1，0），则直线的方程为。直线与两条渐近线和的交点分别为B、C，又|AB|=|BC|，可解得，则故有，从而选A。二. 变用公式，整体求出e例2. 已知双曲线的
12、一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 分析：本题已知，不能直接求出a、c，可用整体代入套用公式。解：由（其中k为渐近线的斜率）。这里，则，从而选A。三. 统一定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。例3. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F，则轴，知|MF|是通径的一半，则有。由圆锥曲线统一定义，得离心率，从而选B。四. 构造a、c的齐次式，解出e
13、根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值。例4. 已知、是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 解：如图，设的中点为P，则点P的横坐标为，由，由焦半径公式，即，得，有，解得（舍去），故选D。练一练设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）A. B. C. D. 参考答案：D三角函数求最值的归类研究求函数的最大值与最小值是高中数学中的重要内容，也是高考中的常见题型，本文对三角函数的求最值
14、问题进行归类研究，供同学们借鉴。一、化成的形式例1. 在直角三角形中，两锐角为A和B，求的最大值。解：由，得，则当时，有最大值。例2. 求函数在上的最大值和最小值。解：由，得，得，则当x=0时，；当时，点评这类题目解决的思路是把问题化归为的形式，一般而言，但若附加了x的取值范围，最好的方法是通过图象加以解决。例2中，令，画出在上的图象（如图1），图1不难看出，即。应注意此题容易把两个边界的函数值和误认为是最大值和最小值。二、形如的形式例3. 求函数的最大值和最小值。解：由已知得，即，所以因，即解得，故点评上述利用正（余）弦函数的有界性，转化为以函数y为主元的不等式，是解决这类问题的最佳方法。虽然本题可以使用万能公式，也可以利用圆的参数方程和斜率公式去求解，但都不如上述解法简单易
