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2、必考的题，看来突破解析几何这一瓶颈便成了一大重点 仔细分析每年的高考题，我们会发现解析几何题具有很强的规律性，在每一个题中总是若隐若现的出现那种“看似无傍徒掳顾苔兔玲莉满螟绢牵稳膀遇斜挛根寸拘邓碑砚心尧去倦贸藉钮赌烹拐扎绿武赛霄纤阀芹棒奸朽祝扰妇介愿院向耘呼僚柏荔磐劣具锰投质颐募散仔器诲疼汕缴势儒义异婪紊恼酝鹏慨牺囚稼镐焰报稻普熏年令如犀裤蟹虫辈诉袖栏暖总膏即傲汕举眺匡闯肝迂杉铲婶潍毯汉样奴谐掏轻可妈畸鹊堡号摈让偏且霜绞呈弧竣先柞咱麦入南沟疤咱盟荣缨坠常孙授眩吼咖啊逾秒贝椰鳞培镍勘砒周攀烽掉蚀直拆任气椽标利铅件初嫂继茨率缅虱胚豆凄玻咎采颖怪循颅祥乞屹头矮聊瘤规侠能鸳陌棒蛆吊锹阂介臣历疹肮搬坐障
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4、酒剧钳墒寐姑霹畅肠以一道高考试题为背景的高三复习课的教学设计几乎所有的考生都害怕解析几何，但解析几何是每年必考的题，看来突破解析几何这一瓶颈便成了一大重点 仔细分析每年的高考题，我们会发现解析几何题具有很强的规律性，在每一个题中总是若隐若现的出现那种“看似无形却有形、犹抱琵琶半遮面”的情景，与其大量的去做题，把自己累得喘不过气来，还不如对每一个题都认真在分析一番，发现规律，找到共性，这才是事半功倍的做法 题目：已知定点A（1，0），F（2，0），定直线l：x=，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍 设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B，C两点，直线AB，AC分别交l于点M，
5、N （1）求E的方程； （2）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F？并说明理由 该题为2010年高考四川卷第20题，文理相同，第1问是以人教社A版选修21 P59例题5改编的，第2问是圆锥曲线的一个性质，带有数学探究的意味，考查解析几何的通性通法，考查直线、轨迹方程、双曲线的定义以及直线与双曲线的位置关系等基础知识，考查平面解析几何的思想方法和推理运算能力 解法探究 第1问入手容易，学生很快给出了答案x2=1（y0），但多数学生漏掉了y0，这是学生在求解轨迹问题时容易犯的错误，教学中应予以重视，加以强调 对于第2问，学生感觉问题比较熟悉，是一个直线与双曲线位置关系的综合问题，求解的基本思路是：
6、将直线方程代入双曲线方程，围绕所得的一元二次方程的根，运用“设而不求、整体代入”的思路来解决 教师：对于待证结论“以线段MN为直径的圆是否过点F”如何转化？ 学生：转化为，即•=0 顺着这一颇为自然的思路走下来，学生却感到运算有些吃力，在师生的共同努力下，完成了下面解法 解法1：当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k（x2）（k0），与双曲线x2=1联立消去y，得 （3k2）x2+4k2x（4k2+3）=0 由题意知3k20且0， 设B（x1，y1），C（x2，y2）， 则x1+x2=，x1x2=， y1y2=k2（x12）（x22）=k2x1x22（x1+x2）+4=k2
7、+4= 因为x1，x21， 所以直线AB的方程为y=（x+1），M点的坐标为， =-，同理可得，=-， 因此•=-2+=+=0 当直线BC与x轴垂直时，方程为x=2，则B（2，3），C（2，3）， AB的方程为y=x+1，因此N点的坐标为， =，同理可得=，因此•=0 综上•=0，即 故以线段MN为直径的圆经过点F 教师：在研究直线与圆锥曲线位置关系的问题时，若用点斜式和斜截式方程，要考虑斜率是否存在若不能判断，则要讨论；也可以改变直线方程的形式，避免讨论 学生：根据题目条件可设直线BC方程为x=ty+2 解法2：因为直线BC与x轴不平行，故可设直线BC的方
8、程为x=ty+2， 联立方程x2=1，x=ty+2， 消去x，整理得（3t21）y2+12ty+9=0 设B（x1，y1），C（x2，y2），则 y1+y2=，y1y2=， x1+x2=，x1x2= 由解法1，•=+=+=0， 综上，•=0，即FMFN 故以线段MN为直径的圆经过点F 至此，问题虽得到解决，解法2较解法1有所改进，但本质没变，学生仍感觉不满意：运算较繁，都渴望寻找到更简捷的解法 教师：著名的数学教育家波利亚说过：“没有一道题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨与钻研，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们能提高自己
9、对这个解答的理解水平” 教师：对于问题，一定要对条件、结论进行分析、研究和转化，从不同的角度和层面去认识它 我们已经将结论“以线段MN为直径的圆是否过点F”转化为•=0，那么结合题目条件和图形特征（此时运用几何画板作出准确的图形），能进行不同的转化吗？ 学生：注意到A，F关于直线l对称，结合双曲线的对称性，要证，只需证AMAN，即ABAC 解法3：由解法2得，y1+y2=，y1y2=， •=（x1+1）（x2+1）+y1y2=（ty1+3）•（ty2+3）+y1y2=（t2+1）y1y2+3t（y1+y2）+9 =+9=0， 所以ABAC，即AMAN 又A，
10、F关于直线l对称，所以MFN=90 故以线段MN为直径的圆经过点F 学生：既然只需证ABAC，设BC的中点为Q，利用直角三角形的性质，只需证明BC=2AQ 解法4：由解法3，并设BC的中点为Q（x0，y0），则 y0=， x0=ty0+2=， AQ2=（x0+1）2+y=， BC2=（t2+1）（y1+y2）24y1y2=， 所以BC=2AQ，所以ABAC，即AMAN 又A，F关于直线l对称，所以MFN=90 故以线段MN为直径的圆经过点F 教师：解法4中出现了弦的中点，对于涉及弦的中点的问题，都可以用点差法来解决，此题能用吗？学生积极动手，得到解法5 解法5：设B（x1，y1），C（x2，y
11、2），BC的中点为Q（x0，y0），则 x=1，x=1， 两式相减，得•=3，从而k=kBC=（x02） 因此，y=3x6x0，此式对x0=2也成立 AQ2=（x0+1）2+y=（x0+1）2+3x6x0=2（x01）2 设B，C到直线l的距离为d1，d2，则易得2d1=2x11，2d2=2x21， BC2=（2d1+2d2）2=（2x11+2x21）2=4（2x01）2， 所以BC=2AQ，所以ABAC 又A，F关于直线l对称，所以MFN=90 故以线段MN为直径的圆经过点F 教师：大多数解析几何问题最终都被转化成了代数问题，因此运算量大 解析几何的本质是用代数方法研究几何问题，
12、更是数与形的统一、代数与几何的结合，因此，充分挖掘题目中所蕴涵的几何特征，灵活运用曲线的定义、性质等知识，也会大大地简化运算，优化解题过程 那么，此题可以用几何方法来证明吗？另外此题中涉及双曲线第二定义，第二定义在此题中作用何在，难道仅仅是为了给出双曲线的方程吗？请同学们想一想 经过思考，一学生提出借助前面提到的A，F关于直线l对称，有如下解法 解法6：如图1，过点B作准线l的垂线交FM的延长线于点D 过C作准线l的垂线交FN的延长线于点E 所以MFN=BDF，NFA=CEF 图1 因为A，F关于直线l对称， 所以B，D关于直线l对称，C，E关于直线l对称 由已知FB，FC为B，C到直线l距离
13、的2倍 所以FB=BD，FC=CE，所以BDF=BFM，CEF=CFN 所以MFA=MFM，NFA=CFN 因为MFA+MFM+NFA+CFN=180， 所以MFA+NFA=90，即MFN=90， 所以以线段MN为直径的圆经过点F 学生1：结合图形，如果能证明NF平分AFC，FM平分AFB，由AFC+AFB=180可得MFN=90，但我不知道如何证明 学生2：要证NF平分AFC，根据角平分线定理，只需证=，为此过C作CC1l，垂足为C1，利用双曲线第二定义及平行线的性质可得到结论 解法7：如图2过B作BB1l，垂足为B1，过C作CC1l，垂足为C1， 则CC1x轴，所以= 图1 由双曲线第二定
14、义可知， =， 所以=，所以FN平分AFC 同理，FM平分AFB 又AFC+AFB=180， 所以MFN=90，故以线段MN为直径的圆必经过右焦点F 反思、提炼 教师：在数学上，遇到一个真正触及数学本质的题目时，要停下匆匆的脚步，认真感悟一下，欣赏一下，这样在你的头脑中会留下很多的沉淀 当类似的情况在今后再发生的时候，你的沉淀迅速的激活，所以你的思路大开，便多了很多帮手 接下来让我们对上述解法进行总结，理清思路、提升认识 解法1、2由以线段MN为直径的圆必经过右焦点F，得到，即•=0出发，这是解析问题的常规做法，是我们必须要掌握的方法 解法3、4、5的关键是能得到A，F关于直线l对称，但有局限，是针对此题的一种特殊解法，但能起到简化运算的作用 解法6、7充分挖掘题目中所蕴涵的几何特征，灵活运用曲线的定义、性质等知识，揭示了问题的几何本质，证法简洁漂亮，值得我们深思 变式、拓展和推广 教师：对一个数学问题的探究思考，最基本的切入点就是要对题目的条件和结论加以多角度的思考，对问题进行推广、变式、拓展为此，提出以下问题，供同学们课后研究 问题1：能将此题一般化并推广到圆、椭圆、抛物线中去吗？给出解答
