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1、多变量有约束最优化问题 摘要 本文以一家运输航空公司的一架飞机运载能力100吨和运载货物的容量50000立方英尺有限的情况下，有三种货物（即x1、x2、x3）需要运输，公司规定每吨货物收取一定的费用，而要运输的每种货物的吨数都有规定的上限（最多不超过30吨、40吨、50吨），并且公 司规定由于飞机需要保养与维护，飞机须停飞115天，因此每年只有250天的工作时间。在此情况下每天怎样安排运输三种货物使公司每年获得最大利润w。对于此问题只用线性规划的一般方法建立相应的数学模型，在用数学软件求出在给定限行区域内的最优解（w、x1、x2、x3），在对这些最优解进行分析与讨论，确定其为有效最优解。并以此
2、作为公司对三种货物运输安排方式。 对于问题一，求使得运输航空公司获得最大利润w的x1、x2、x3三种货物的吨数，建立相应的数学模型。再根据运输能力最多100吨和运载货物容积的最大50000立方英尺，还有每天公司规定的每种货物的运输上限即x1种货物最多运输30吨，x2种货物最多运输40吨，x3种货物最多50吨，建立约束条件。并用数学软件mathematica进行求解，即为所求的最优解（也就是w=21875，x1=30，x2=7.5，x3=50）。 对于问题二中，要求计算每个约束的影子价格。我们将利用问题一中建立的目标函数和约束条件，将其编写成源程序输入到Lindo软件中进行求解。再将得到的界进行
3、讨论与和模型的稳健性分析并且通过其在题意的理解，解释其含义。问题三中，对于公司将耗资改装飞机以扩大运货区来增加运输能力，且旧飞机使用寿命为5年，每架飞机的改造要花费200000美元，可以增加2000立方英尺的容积。重量限制仍保持不变。假设飞机每年飞行250天，这些旧飞机剩余的使用寿命约为5年。根据此问题我们将建立数学规划模型，利用Lindo软件计算其影子价格和利润并且与前面进行比较，进行分析。关键词：线性规划、mathematica软件的应用、Lindo的软件应用。 一、 提出问题一个运输公司每天有100吨的航空运输能力。公司每吨收空运费250美元。除了重量的限制外，由于飞机货场容积有限，公司
4、每天只能运50000立方英尺的货物。每天要运送的货物数量如下：货物重量（吨）体积（立方英尺/吨）130550240800350400（1） 求使得利润最大的每天航空运输的各种货物的吨数。（2） 计算每个约束的影子价格，解释它们的含义。（3） 公司有能力对它的一些旧的飞机进行改装来增大货运区域的空间。每架飞机的改造要花费200000美元，可以增加2000立方英尺的容积。重量限制仍保持不变。假设飞机每年飞行250天，这些旧飞机剩余的使用寿命约为5年。在这种情况下，是否值得改装？有多少架飞机时才值得改装？二、 提出假设假设1：飞机每天最多只能运输50000立方英尺的货物。假设2：飞机每天最多只能运:
5、100吨货物。假设3：货物1每天都有30吨要运。假设4：货物2每天都有40吨要运。假设5：货物3每天都有50吨要运。四、符号说明符号意义单位备注w利润美元x1运载货物1的吨数吨x2运载货物2的吨数吨X3运载货物3的吨数吨v飞机货舱容积立方英尺m飞机载重吨五、模型的建立与求解第一部分5.1问题一的模型的建立。51.1问题一的分析。 结合题意，计算航空公司获得的利润，必须将运输航空公司里的飞机的燃料费用及修理维护费用忽略不计，还有每吨货物的运费始终保持不变。在这种情况下，3种货物总运输吨数不超过100吨，容积不超过50000立方英尺，且3种货物有各自运输上限，建立目标函数和约束条件。5.1.2问题
6、一模型的建立。通过对原问题的分析，我们可以建立如下的数学线性规划模型：Max W=250x1+250x2+250x3550x1+1800x2+400x3=50000x1+x2+x3=100x1=30x2=40x3=505.1.3模型的求解 将编写的程序输入到mathematica软件中得到结果5.1.4结果的分析 由结果可以得到当运输航空公司每天运输x1货物30吨、x2货物7.5吨、x3货物50，每年得到的利润最大w=21875美元。即当x1为30吨、x2为8吨、x3为50吨的时候，货物体积超出了飞机的运载体积50000立方英尺。所以公司应按照以上的x1为30吨，x2为7.5吨，x3为50吨的
7、运输安排运输货物。第二部分5.2问题二的模型的建立5.2.1问题二的分析与建立Max W=250x1+250x2+250x3550x1+1800x2+400x3=50000x1+x2+x3=100x1=30x2=40x3=50 求解见附录二。5.2.2 模型的求解 将应用程序输入到Lindo软件中，得到的部分结果为：最优解下资源增加1“单位”时“效益”的增量：飞机运载空间每增加1立方英尺时，利润增加0.138889美元，飞机运载能力的增加对利润不影响，X1种货物每增运1吨时，利润增加173.611115美元，X2种货物的增运对利润不影响，X3种货物每增运1吨时，利润增加194.444443美元
8、。5.2.3结果的分析 部分输出结果（灵敏度分析）（输入程序见附录2）最优解不变时目标函数系数允许的变化范围（约束条件不变）：x1的系数变化范围（173.61,250）x2的系数变化范围（0,818.2）x3的系数变化范围（55.6,250）飞机的运输货物体积最多增加222500立方英尺，x1货物最多每增运18吨x3货物最多每增运16吨第三部分5.3问题三的模型建立与分析 5.3.1问题的分析 由2问知道每增加1立方英尺，利润就增加0.138889；当增加2000立方英尺时每天增加利润=277.778美元；每架飞机增加的利润=347225美元因为一架飞机改装后所能获得的利润大于改装费，且能赚1
9、47225美元；所以有一架飞机就可以改装了。 5.3.2模型的建立 通过对问题的分析，我们建的数学模型为： 5.3.3模型的求解 输出部分结果为(输入的程序见附录3)：所以由于对结果的检验航空运输公司应该值得改装，应该改装1架飞机。六、模型的评价与推广6.1模型评价在运输货物领域中，人们常会遇到这样的问题，例如：如何从一切可能的方案中选择最好的、最优的方案。在我们数学上把这类问题称为最优化问题，如何解决这类问题，在当今商品经济的环境下，是关系到企业生存以及国计民生的问题。在解决上述如何空运货物能使公司利润最高的问题上，我们采用的是线性规划的方法。线性规划的理论和方法都比较成熟，并且是一个有广泛
10、应用价值的统筹学分支，如果一个问题的限制条件可以写出某些决策变量的线性方程组或线性不等式组，那我们就可以应用lingo软件将该线性规划方程解出来得到最优解。应用数学知识中的线性规划在解决这类最优化问题上既简单又精确，在最优解的求解过程中是个很好的选择。对于我们提出的5个假设，我们都做了灵敏性分析，数据的改变对于最优的结果没有太大的影响。但是我们的模型还是存在一些缺点，比如我们认定运输每种货物的难易程度是一样的，不会增加其成本。 6.2模型推广以上建立的模型，在解决最优化问题上方便简单快捷，不仅适用于货物的运输问题上，也适用于钢管的下料问题，接力队的选拔问题，奶产品的生产与销售等一系列问题等。编程运用LINDO软件，节约计算时间。七、参考文献八、附录附录1：求解问题一的Mathematica程序附录2：求解问题二的LINDO程序附录3：求解问题三的LINDO程序解法一：Max 250x1+250x2+250x3st 550x1+1800x2+400x3=52000x1+x2+x3=100x1=30x2=40x3=50end
