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1、中学平面几何有关三角形五心的试题分析一、垂心 三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.例1设A1A2A3A4为O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为A2A3A4，A3A4A1，A4A1A2，A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛)分析：连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径为R.由A2A3A4知 =2RA2H1=2RcosA3A2A4； 由A1A3A4得 A1H2=2RcosA3A1A4. 但A3A2A4=A3A1A4，故A2H1=A1H2. 易证
2、A2H1A1A2，于是，A2H1 A1H2， 故得H1H2 A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M，故H1H2与A1A2关于M点成中心对称. 同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q，Q与O也关于M成中心对称.由O，M两点，Q点就不难确定了.例2H为ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心.一个以H为圆心的H交直线EF，FD，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2. 求证：AA1=AA2=BB1=
3、BB2=CC1=CC2. (1989，加拿大数学奥林匹克训练题)分析：只须证明AA1=BB1=CC1即可.设BC=a， CA=b，AB=c，ABC外接圆半径为R，H的半径为r. 连HA1，AH交EF于M. A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2 =r2+(AM2-MH2)， 又AM2-HM2=(AH1)2-(AH-AH1)2 =AHAH1-AH2=AH2AB-AH2 =cosAbc-AH2， 而=2RAH2=4R2cos2A,=2Ra2=4R2sin2A.AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. 由、有A=r2+bc-(4R2-a2)=(a2+b2+c2)-4R2+r2.同理，=(a2
4、+b2+c2)-4R2+r2，=(a2+b2+c2)-4R2+r2.故有AA1=BB1=CC1.二、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I为ABC的内心，射线AI交ABC外接圆于A，则有A I=AB=AC.换言之，点A必是IBC之外心(内心的等量关系之逆同样有用).例3ABCD为圆内接凸四边形，取DAB，ABC，BCD，CDA的内心O1， O2，O3，O4.求证：O1O2O3O4为矩形. (1986，中国数学奥林匹克集训题)证明见中等数学1992；4例4已知O内接ABC，Q切AB，AC于E，F且与O内切.试证：EF中点P是ABC之
5、内心.(B波拉索洛夫中学数学奥林匹克)分析：在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB=AC.当ABAC，怎样证明呢？ 如图，显然EF中点P、圆心Q，BC中点K都在BAC平分线上.易知AQ=. QKAQ=MQQN， QK= =. 由RtEPQ知PQ=. PK=PQ+QK=+=. PK=BK. 利用内心等量关系之逆定理，即知P是ABC这内心.三、旁心 三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切.例5在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p. 式中r，ra，
6、rb，rc分别表示内切圆半径及与a，b，c相切的旁切圆半径，p表示半周. (杭州大学中学数学竞赛习题)分析：设RtABC中，c为斜边，先来证明一个特性：p(p-c)=(p-a)(p-b).p(p-c)=(a+b+c)(a+b-c) =(a+b)2-c2 =ab；(p-a)(p-b)=(-a+b+c)(a-b+c) =c2-(a-b)2=ab.p(p-c)=(p-a)(p-b). 观察图形，可得ra=AF-AC=p-b，rb=BG-BC=p-a，rc=CK=p.而r=(a+b-c) =p-c.r+ra+rb+rc =(p-c)+(p-b)+(p-a)+p =4p-(a+b+c)=2p.由及图形易
7、证.例6M是ABC边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是AMC，BMC，ABC内切圆的半径，q1，q2，q分别是上述三角形在ACB内部的旁切圆半径.证明：=.(IMO-12)分析：对任意ABC，由正弦定理可知OD=OA =AB =AB，OE= AB.亦即有= =.四、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.例7设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1)AD，BE，CF三条对角线交于一点； (2)AB+BC+CD+DE+EF+FAAK+BE+CF. (1991，国家教委数学试验班招生试题)分析：
8、连接AC，CE，EA，由已知可证AD，CF，EB是ACE的三条内角平分线，I为ACE的内心.从而有ID=CD=DE， IF=EF=FA， IB=AB=BC. 再由BDF，易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，利用 不等式有： BI+DI+FI2(IP+IQ+IS). 不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS. BI+DI+FIIA+IE+IC. AB+BC+CD+DE+EF+FA =2(BI+DI+FI) (IA+IE+IC)+(BI+DI+FI) =AD+BE+CF. I就是一点两心.例8ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是ACD的重心.证明OE丄CD. (加拿
9、大数学奥林匹克训练题)分析：设AM为高亦为中线，取AC中点F，E必在DF上且DE:EF=2:1.设CD交AM于G，G必为ABC重心.连GE，MF，MF交DC于K.易证：DG:GK=DC:()DC=2:1. DG:GK=DE:EFGEMF. OD丄AB，MFAB， OD丄MFOD丄GE.但OG丄DEG又是ODE之垂心. 易证OE丄CD.例9ABC中C=30，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.求证：OI丄DE，OI=DE. (1988，中国数学奥林匹克集训题)分析：辅助线如图所示，作DAO平分线交BC于K. 易证AIDAIBEIB，AID=AIB=EIB. 利
10、用内心张角公式，有 AIB=90+C=105， DIE=360-1053=45. AKB=30+DAO =30+(BAC-BAO) =30+(BAC-60) =BAC=BAI=BEI. AKIE. 由等腰AOD可知DO丄AK， DO丄IE，即DF是DIE的一条高. 同理EO是DIE之垂心，OI丄DE. 由DIE=IDO，易知OI=DE.例10锐角ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心到三边距离和为d重，垂心到三边距离和为d垂. 求证：1d垂+2d外=3d重.分析：这里用三角法.设ABC外接圆半径为1，三个内角记为A，B，C. 易知d外=OO1+OO2+OO3
11、=cosA+cosB+cosC， 2d外=2(cosA+cosB+cosC). AH1=sinBAB=sinB(2sinC)=2sinBsinC， 同样可得BH2CH3. 3d重=ABC三条高的和 =2(sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB) =2， HH1=cosCBH=2cosBcosC. 同样可得HH2，HH3. d垂=HH1+HH2+HH3=2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB) 欲证结论，观察、，须证(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB
12、.即可.三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.五、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例11过等腰ABC底边BC上一点P引PMCA交AB于M；引PNBA交AC于N.作点P关于MN的对称点P.试证：P点在ABC外接圆上.(杭州大学中学数学竞赛习题)分析：由已知可得MP=MP=MB，NP=NP=NC，故点M是PBP的外心，点N是PPC的外心.有 BPP=BMP=BAC， PPC=PNC=BAC. BPC=BPP+PPC=BAC. 从而，P点与A，B，C共圆、即P在ABC外接圆上. 由于PP平分BPC，显然还有 PB:PC=BP:PC.例12在ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以APS，BQP，CSQ的外心为顶点的三角形与ABC相似. (B波拉索洛夫中学数学奥林匹克)分析：设O1，O2，O3是APS，BQP，CSQ的外心，作出六边形O1PO2QO3S后再由外
