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1、应用数学科学，2009年3月，编号52，2603-2618页多路径关联DEA模型下的模糊数据效率分析【摘要】在这篇论文中，我们首先介绍一种用于模糊输入输出的多路径关联DEA模型（MNFDEA），然后我们在严格的限制条件下使用该模型。这种多路径关联DEA的目标函数使用的是向量的距离。因此我们对这一目标函数加以限制。这之后我们使用一种带有特定功能的排序函数将它转化为一种在精确数据条件下使用的多路径关联模型。在论文的最后我们将证明这样一个定理：如果一个DMU在模糊关联模型中是无效率的，那么它在精确输入输出的关联模型中也是无效率的，反之亦然。【关键词】数据包络分析、多路径关联、模糊输入输出1、 引言数
2、据包络分析（DEA）是一种衡量决策单位相对效率的数学规划方法。在DEA模型中我们假设各个决策单位是一致的，但现在我们假定输入和输出可以是不一致的。在大部分的实际案例中，决策单位或者产出过程自身包含着一些通过关系网络相互关联的子单位。这意味着一个子单位的输出可能是另一个子单位的输入，这些作用与反作用最终形成了系统的最后结果。Fare R所写的Grrosskopf就是基于这一过程。DEA模型的基本模型可以衡量一个决策单位的作用效果。实际上决策单位（DMU）或者产出过程被视为一个黑匣子，DUM并不是评价的一部分。但是在关联DEA模型中我们可以考虑对在过程中发生的变化进行评价。在关联DEA模型中一个D
3、MU包括不同类型的产出过程，有些输入只与一个产出过程想关联，而有些输入与不止一个产出过程想关联，这种模型就是所谓的多路径关联DEA模型。MNDEA与DEA的一个很重要的区别就在于，在MNDEA模型中，在两个或多个子过程中共同使用的输入并不先验于只与一个子过程相关联的输入。这使得使用两个子过程的输出作为另一个子过程的输入成为可能。目前使用数学规划技术对多个DMU评价在作业研究（OR）领域展现出广泛的多样性。DEA就是这些研究技术中的一种，它最早是由Charnes等人提出的。在DEA著作中可以找到许多模糊数学规划方法来评价DMU。Kao和Liu提出了模糊的概念，并通过引入 截的方法把一个模糊DEA
4、模型变为精确DEA模型。Jahanshahloo, soleimani -damaneh, Leonand和Lertworasirikul等人也使用可能的规划方法建立了一些模型。在这篇论文中我们首先介绍一种使用模糊输入输出的多路径关联DEA模型（MNFDEA），然后使用一种具有特定功能的排序函数来将其转化为一种精确条件下的多路径关联模型。2、 方法阐述定义2.1模糊数就是一个模糊集满足：1是上半连续的。2在区间c,d以外的。3.存在实数使得： 3.1. 在c,a内单调递增。 3.2. 在b,d内单调递减。 3.3我们把全部模糊数记做F(R)。定义2.2模糊数是一个满足下列条件的函数对：1. 是
5、单调递增的左连续函数。2. 是单调递减的右连续函数。3. 一种常用的模糊数是可变区间a,b内的四边模糊数，左边界为，右边界为。如果它是一个具有以下形式的函数，那么我们就把它记为：。如果a=b，那么四边模糊数就变为了三边模糊数，我们把所有三边模糊数记为FT(R)。3、 排序函数在这里我们介绍一种类似于排序函数的线性排序函数。对任意模糊数，我们使用排序函数如下：对于三边模糊数，上式变形为：因此对于三边模糊数我们有：当且仅当我们用表示模糊输入，表示模糊输出。一种运算可以使模糊输入集产生对应的模糊输出集。这一将模糊输入转化为模糊输出的运算可由模糊输入函数或模糊输出函数来说明。其中是模糊输入向量的子集，
6、是模糊输出向量的子集。映射过程可表示为 定义为：函数满足无便利条件的常规情形下是封闭的凸面的，有非自由可能的模糊输出。对于给定的方向向量。效率可用向量距离函数进行测量。参考文献14将这种方向距离函数扩展到了精确输入输出情况。但在这里我们将只考虑模糊输入输出。4、 多路径关联模糊DEA模型（MNFDEA）DEA是一种用来评价DMU将模糊输入转化为模糊输出相关效率的方法。在大部分实际应用中，一种用DEA衡量产出效率的单一方法已成为了一种合适而有用的比较运作效果并识别最优程序的方式。然而，在一些案例中，一个DMU可能参与多条路径的活动，这样在每一条路径中的影响必须同时决定才能决绝效率分析的问题。Be
7、asley和Mar Molinero提出了使用多路径DEA模型评估大学中的教学和科研轰动的效率。而且，DMU中的产出活动还包含了一些阶段，这些阶段的某些输出是在前面的阶段产生的。因此Fare和Grosskopf提出了一种关联DEA模型来衡量在多阶段的产出过程中都用到的DMU的效率。考虑在两个阶段使用的DMU，它在生产阶段的产出是在消费阶段的收入。假设有一组DMU。每个DMU使用模糊输入量可以产生中间模糊输出量和最终模糊输出量，其中符号说明如下：代表只与A相关的模糊输入；代表作用于子过程A、子过程B和消费过程的模糊输入；代表子过程A的模糊输出，它的一部分是用于消费过程消费的中间产出，另一部分是是
8、最终的模糊输出的一部分；是子过程B的模糊输出，它是用于消费过程消费的中间产品；是消费过程的结果。MNFDEA模型如图1所示。假设分配给上述的每一个活动和消费过程的一定比例的共享模糊输入为和。分配给上述每一个活动和消费过程的子过程的模糊输出（包括最终模糊输出和中间模糊输出）为。因此MNFDEA模型有两个可能的产出集和一个可能的消费集其定义如下：可由 产出。可由产出。可由产出。如果是满足具有凸性，规模报酬不变，有自由支配性，符合最小插补假设，并且满足每一模糊输入输出观测值的最小集合，那么对于每一的子过程输入集可被定义为，对于每一的子过程B的模糊输入集可被定义为 。对于每一的消费过程模糊输出集可诶定
9、义为。图1我们的MNFDEA模型是我们能够更深入的分析模糊输入如何被不同的过程共享，以及不同过程间有怎样的内部作用。可被置于两个活动和消费过程之间，预先分配给某一的特定过程，这样，一个模糊多路径关联产出可能集就可以表示如下：其中和分别为共享模糊输入分配到子过程A、子过程B中比例的下限（上限）。并且为子过程A产生的模糊输出的下限（上限）。当所有三个部分有不同的模糊有效结果，我们将引入三个函数来分别检验在子过程A、子过程B和消费过程C运行过程中的有效程度。如果模糊输入与子过程A、子过程B和消费过程C均没有联系，那么整个过程不具有与由现实生产服务引发的消费服务的特点。那么可以忽略所有与这三个部分中任
10、意一个由关联的模糊输入而得出每部分的模糊效率结果，只需运行模型如下：对于测量模糊多路径关联的指标，我们选择与模糊多路径关联技术（5）想联系的评价指标K，并采用一种向量距离函数来测量。模糊多路径模型的目标函数如下：其中分别为A、B和消费过程C的运行结果，分别为表示这些过程相对重要性的正数。由于我们假设A、B和C涵盖了所有DMU的活动路径，因此有：在MNFDEA模型中，我们可以找出这三个子技术。Eq.(6)受以下限制：过程A的子产出包括：过程B子产出包括：消费过程C包括：下列等式表示将输入分配给子产出过程A，子产出过程B和消费过程C：下列等式表示过程A的子产出分配给最终输出和消费过程C的输入：W和
11、Z需满足非负条件，和需有上下界：我们知道，我们用于多路径模型的输入和输出是三边模糊数，每一三边模糊数可表示为。因此我们将模糊多路径关联产出可能集改写为：现在我们将用我们在第四页介绍的排序函数D将模糊多路径关联DEA转化为多路径关联DEA模型。通过使用排序函数的性质我们可以讲模型7修改为：我们定义排序函数D，对于每个三边模糊数如 ，我们可以讲模型9改写为：模型（10）是精确输入输出条件下的一个产出可能。定义2.3：F(R)中有，当且仅当时有，其中D是有特定功能的排序函数。定义2.3：当且仅当在模糊输出可能集中，在模糊输入输出情况下是无效的，我们可以找到像的产出可能，那么有：定理：考虑产出可能集（
12、5）和（10）。当且仅当在产出可能集（10）中式无效率时，在产出可能集（5）中式无效率的证明：我们证明如果产出可能集（5）中的比其他产出可能集主要，那么在产生可能集（10）中它将是无效的。让模型（5）中的是无效的，那么在产出可能集中有一个像这样的产出可能比主要。假设约束集（a）中的一部分不具有约束力，例如t。这说明：根据定义2.3我们知道：根据排序函数D的性质，我们知道：Eq.13在约束集中，那么有：那么产出可能集（10）中的是无效的。现在我们证明如果产出可能集（10）中的是无效的，难么在产出可能集（5）中它也是无效的。假设使用精确输入输出的比产出可能集中的DMU主要，且是一个具有一些参考DM
13、U的凸组合。假设来自于无效的，这些DMU的凸组合比重要，那么：假设约束集（a）中的一部分不具有约束力，例如r。那么：我们知道对应于。我们想要证明是模糊输入输出产出可能集中的一个DMU并主导，那么我们有：假设约束集（a）中的一部分无约束力，不失一般性，我们假设约束集中不具有约束力的部分为r，根据定义2.4我们知道：根据排序函数D的性质我们知道：这与14矛盾，因此在产出可能集（5）中是无效的。5、 结论在这篇论文中我们介绍了一种多路径关联模糊DEA模型，接着哦我们阐述了它的目标函数，这一目标函数基于向量距离函数。目标函数显示了将一个无效的DMU移动至有效的DMU需要多少距离。但它并没有显示这种低效
14、率的程度。考虑到绝大多数的模型的目标是计算出效率低下的程度，因此我们将目标函数定义为精确情形下的向量距离，在这篇论文中我们放宽为假设目标函数是在模糊条件下可用的。Yu M-M.Lin ETJ也研究了多路径关联DEA的效率问题。在这篇论文中我们讨论了多路径关联DEA在模糊输入输出条件下的效率问题，并使用排序函数将多路径关联模糊DEA模型转化为多路径关联DEA。为了将论文的限制条件方宽，我们假设按比例分配在每两个过程A,B及消费过程所共享的输入是模糊的，并且我们假设按比例分配在消费过程和最终输出中的共享输出也是模糊的。我们还使用了不同的排序函数来将多路径关联模糊DEA转化为多路径关联DEA.参考文献：
