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1、2016年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1i是虚数单位， =（）A1iB1iC1+iD1+i2已知全集U=R，函数y=ln（x1）的定义域为M，集合N=x|x2x0，则下列结论正确的是（）AMN=NBM（UN）=CMN=UDM（UN）3“”是“eaeb”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A42B19C8D35在ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2b2）tanB=ac，则角B的值为（）
2、AB或CD或6某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）（注：结余=收入支出）A收入最高值与收入最低值的比是3：1B结余最高的月份是7月C1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D前6个月的平均收入为40万元7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）ABC1D8若圆x2+（y1）2=r2与曲线（x1）y=1没有公共点，则半径r的取值范围是（）A0rB0rC0rD0r二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在答题卡上9二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是_（用数字作答）10已知等差数列an（nN*）中，a1=1，a4=
3、7，则数列an的通项公式an=_；a2+a6+a10+a4n+10=_11在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+y2=2，曲线C2的参数方程为（t为参数）以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点的极坐标为_12不等式组所表示的平面区域为D若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则实数a的取值范围是_13已知M为ABC所在平面内的一点，且若点M在ABC的内部（不含边界），则实数n的取值范围是_14某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述每名学生的第i（i=1，2，12）项能力特征用xi表示，若学生A，B的十二项能力特征分别记为A=（a1
4、，a2，a12），B=（b1，b2，b12），则A，B两名学生的不同能力特征项数为_（用ai，bi表示）如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为_三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15已知函数，0（）若=1，求f（x）的单调递增区间；（）若，求f（x）的最小正周期T的表达式并指出T的最大值16为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如表12345男生14322女生01331（）从这班学生中任选一名男生，
5、一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？（）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（）试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）17如图，在直角梯形AA1B1B中，A1AB=90，A1B1AB，AB=AA1=2A1B1=2直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C平面AA1B1BM为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点（）求证：A1C1AP；（）当点P是线段BB1中点时，求二面角PAMB的余弦值；1（）是否存在点P，使得直线A1C平面AMP
6、？请说明理由18已知函数f（x）=x+alnx，aR（）求函数f（x）的单调区间；（）当x1，2时，都有f（x）0成立，求a的取值范围；（）试问过点P（1，3）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由19已知点和椭圆C：（）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，试求PF1F2的周长及椭圆的离心率；（）若直线l：与椭圆C交于两个不同的点A，B，直线PA，PB与x轴分别交于M，N两点，求证：|PM|=|PN|20已知等差数列an的通项公式设数列bn为等比数列，且（）若b1=a1=2，且等比数列bn的公比最小，（）写出数列bn的前4项；（）求数列kn的通项公式；（）证明：以b1=a2=5为首项的
7、无穷等比数列bn有无数多个2016年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1i是虚数单位， =（）A1iB1iC1+iD1+i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果【解答】解： =1+i，故选C2已知全集U=R，函数y=ln（x1）的定义域为M，集合N=x|x2x0，则下列结论正确的是（）AMN=NBM（UN）=CMN=UDM（UN）【考点】交、并、补集的混合运算【分析】分别解出关于M，N的范围，然
8、后判断即可【解答】解：由x10，解得：x1，故函数y=ln（x1）的定义域为M=（1，+），由x2x0，解得：0x1，故集合N=x|x2x0=（0，1），UN=x|x1或x0，M（UN），故选：D3“”是“eaeb”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】“”等价于ab，可得“eaeb”，反之不成立，例如取a=2，b=1即可判断出结论【解答】解：“”ab“eaeb”，反之不成立，例如取a=2，b=1“”是“eaeb”的充分不必要条件故选：A4执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A42B19C8D3【考点
9、】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=4时不满足条件i4，退出循环，输出S的值为19【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=1满足条件i4，S=3，i=2满足条件i4，S=8，i=3满足条件i4，S=19，i=4不满足条件i4，退出循环，输出S的值为19故选：B5在ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2b2）tanB=ac，则角B的值为（）AB或CD或【考点】余弦定理【分析】利用余弦定理表示出cosB，整理后代入已知等式，利用同角三角函数间基本关系化简，求出sinB的值，即可确定出B的度数【解
10、答】解：cosB=，a2+c2b2=2accosB，代入已知等式得：2accosBtanB=ac，即sinB=，则B=或故选：B6某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）（注：结余=收入支出）A收入最高值与收入最低值的比是3：1B结余最高的月份是7月C1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D前6个月的平均收入为40万元【考点】函数的图象与图象变化【分析】根据折现统计图即可判断各选项【解答】解：由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3：1，故A正确，由图可知，结余最高为7月份，为8020=60，故B正确，由图可知，1至2月份的
11、收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确，由图可知，前6个月的平均收入为（40+60+30+30+50+60）=45万元，故D错误，故选：D7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）ABC1D【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB侧面PAB利用体积计算公式即可得出【解答】解：由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB侧面PAB该几何体的体积V=1=故选：A8若圆x2+（y1）2=r2与曲线（x1）y=1没有公共点，则半径r的取值范围是（）A0rB0rC0rD0r【考点】圆与圆锥曲线的综合【分析】求得圆的圆心和半径，设圆与曲线
12、y=相切的切点为（m，n），代入曲线的方程，求出函数的导数和切线的斜率，由两点的斜率公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1，解方程可得切点，进而得到此时圆的半径，结合图象即可得到所求范围【解答】解：圆的圆心为（0，1），半径为r，设圆与曲线y=相切的切点为（m，n），可得n=，y=的导数为y=，可得切线的斜率为，由两点的斜率公式可得（）=1，即为n1=m（m1）2，由可得n4n3n1=0，化为（n2n1）（n2+1）=0，即有n2n1=0，解得n=或，则有或可得此时圆的半径r=结合图象即可得到圆与曲线没有公共点的时候，r的范围是（0，）故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答
13、案填在答题卡上9二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是10（用数字作答）【考点】二项式定理【分析】先求出二项式（x2+）5的展开式中通项公式，令x的系数等于4，求出r的值，即可求得展开式中含x4的项的系数【解答】解：二项式（x2+）5的展开式中通项公式为 Tr+1= x102r xr=x103r令 103r=4，可得 r=2，展开式中含x4的项的系数是=10，故答案为1010已知等差数列an（nN*）中，a1=1，a4=7，则数列an的通项公式an=2n1；a2+a6+a10+a4n+10=（n+3）（4n+11）【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的通项公式求出首项和公差，由此能求出结果【解答】解：等差数列an（nN*）中，a1=1，a4=7，a4=1+3d=7，解得d=2，an=1+（n1）2=2n1，a2=1+2=3，a6=1+52=11，a6a2=8，a2+a6+a10+a4n+10=3+8=（n+3）（4n+11）故答案为：2n1，（n+3）（4n+11）11在直角坐标
