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1、第二章：控制系统的数学模型 第二章：控制系统的数学模型 2.1 引言 2.1 引言 系统数学模型描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达 式。 建模方法 实验法（辩识法） 机理分析法 本章所讲的模型形式 复域：传递函数 时域：微分方程 2.2 控制系统时域数学模型 2.2 控制系统时域数学模型 1、 线性元部件、系统微分方程的建立 （1）L-R-C 网络 Cr uRi dt di Lu+= c iC u= & ccc uuCRuCL+ = 11 ccc R uuuur LLCLC += 2 阶线性定常微分方程 （2）弹簧阻尼器机械位移系统 分析 A、B 点受力情况 02 B 0A A
2、 Ai1 xk)xxf()xx(k=& 由 A1Ai1 xk)xx(k= 解出 0 1 2 iA x k k xx= 代入 B 等式： 0200 1 2 i xk)xx k k xf(=& 020 1 2 i xkx) k k 1f(xf+=& 得：() i1021021 xfkxkkxkkf&=+ 一阶线性定常微分方程 （3）电枢控制式直流电动机 电枢回路： ba EiRu+=克希霍夫 电枢及电势： meb CE=楞次 电磁力矩：安培 iCM mm = 力矩方程： mmmmm MfJ=+& 牛 顿 变量关系： m m b a M E i u 消去中间变量有： ammmm ukT=+& + =
3、 + = 传递函数 时间函数 CCfR C k CCfR RJ T mem m m mem m m （4）X-Y 记录仪（不加内电路） = = = =+ = = l l 4p 3 m2 ammmm 1a pr ku : k : k : ukT : uku : u-uu : 电桥电路 绳轮 减速器 电动机 放大器 比较点 & & am r p uu u u l 消去中间变量得： am321m4321m ukkkkkkkkkT=+lll & & 二阶线性定常微分方程 即： a m m321 m m4321 m u T kkkk l T kkkkk l T 1 l=+ & & 2、 线性系统特性满足
4、齐次性、可加性 ? 线性系统便于分析研究。 ? 在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。 ? 非线性元部件微分方程的线性化。 例：某元件输入输出关系如下，导出在工作点 0 处的线性化增量方程 ( )cosEy 0 = 解：在 0 =处线性化展开，只取线性项： ( )()()() 0000 sinEyy+= 令 ( )() 0 y-yy= 0 = 得 = 00sin Ey 3、 用拉氏变换解微分方程 （初条件为 0） a ulll222=+ & & ()( )( ) s 2 s2UsL22ss :L a 2 =+ ( ) ()22sss 2 sL 2 + = ( )( )sLLt
5、:L -11 = l 复习拉普拉斯变换的有关内容 1 复数有关概念 （1）复数、复函数 复数 js+= 复函数 ( ) yx jFFsF+= 例：( )j22ssF+=+= （2）复数模、相角 ( ) ( ) x y 2 y 2 x F F arctgsF FFsF = += （3）复数的共轭 ( ) yx jFFsF= （4）解析：若 F(s)在 s 点的各阶导数都存在，称 F(s)在 s 点解析。 2 拉氏变换定义 ( )( )( )dtetftfLsF st 0 = ：像 ：像原 F(s) ) t (f 3 几种常见函数的拉氏变换 1. 单位阶跃： ( ) + + = L L 其中分母多
6、项式可以分解因式为： (II) )ps ()ps)(ps () s (A n21 =L 的根(特征根)，分两种情形讨论： ) s (Api为 I：无重根时：(依代数定理可以把表示为：) 0) s (A=) s (F = = + + + = n 1i i i n n 3 3 2 2 1 1 ps c ps c ps c ps c ps c ) s (FL = =+= n 1i tp i tp n tp 3 tp 2 tp 1 in321 ececececec) t (fL 即：若可以定出来，则可得解：而计算公式： i c i c () ) s (F).ps (limc i ps i i = i
7、ps i ) s (A ) s (B c = = () (说明()的原理，推导() ) 例 2： 34ss 2s ) s (F 2 + + = 求?) t (f= 解： 3s c 1s c 3)1)(s(s 2s ) s (F 21 + + + = + + = 2 1 31 21 3)1)(s(s 2s ) 1s (limc 1s III 1 = + + = + + += 2 1 13 23 3)1)(s(s 2s ) 3s (limc 3s III 2 = + + = + + += 3s 21 1s 21 ) s (F + + + = 3tt e 2 1 e 2 1 ) t (f += 例
8、3： 34ss 55ss ) s (F 2 2 + + = ，求?) t (f= 解：不是真分式，必须先分解：(可以用长除法) 3)1)(s(s 2s 1 34ss 2s3)4s(s ) s (F 2 2 + + += + + = 3tt e 2 1 e 2 1 ) t () t (f += 例 4： j1s c j-1s c j)1j)(s-1(s 3s 22ss 3s ) s (F 21 2 + + + = + + = + + = 解法一： 2j j2 j)1j)(s-1(s 3s ) j-1s (limc j1s 1 + = + + += + 2j j-2 j)1j)(s-1(s 3s
9、) j1s (limc j - 1s 2 = + + += j)t1(t ) j1( e 2j j-2 e 2j j2 ) t (f + + = jt-jtt e ) j2(e ) j2(e 2j 1 += （tcos j2 ee , tsin j2 ee jtjtjtjt = + = Q） )2sintcost(ej4sint2coste 2j 1 tt +=+= 1) 1s ( 2 1) 1s ( 1s 1) 1s ( 21s 1) 1s ( 3s ) s (F 2222 + + + + = + + = + + =Q tt e .2sinte .cost) t (f += 虚位移定理 解法
10、二： )( sint .2ecost.e) t (f 11)(s 1 2 11)(s 1s 11)(s 21s 11)(s 3s ) s (F tt 22222222 复位移定理 += + + + + = + + = + + = II：有重根时： 0) s (A= 设为 m 阶重根，为单根 .则可表示为： 1 p n1m s,sL + ) s (F n n 1m 1m 1 1 1 -m 1 1 -m m 1 m p-s c p-s c p-s c )p-(s c )p-(s c ) s (F+= + + LL 其中单根的计算仍由(1)中公式() ()来计算. n1m c,cL + 重根项系数的
11、计算公式：(说明原理) = = = = ) s (F .)ps ( ds d lim 1)!-(m 1 c ) s (F .)ps ( ds d lim j! 1 c (IV) ) s (F .)ps ( ds d limc ) s (F .)ps (limc m 1 ps 1 -m 1)-(m 1 m 1 ps j (j) j -m m 1 ps 1 -m m 1 ps m 1 1 1 1 L L V)( ece .ctct )!2m( c t )!1m( c p-s c p-s c p-s c )p-(s c )p-(s c L ) s (FL) t (f tp n 1mi i tp 12
12、 2m 1-m 1m m n n 1m 1m 1 1 1-m 1 1-m m 1 m 1 1 i1 += + + + + + = += = L LL 例 5 3)(s1)s(s 2s ) s (F 2 + + = 求?) t (f= 解： 3s c s c 1s c 1)(s c ) s (F 431 2 2 + + + + + = 2 1 ) 31)(1( 21 3)(s1)s(s 2s 1)(slimc 2 2 1s IV 2 = + + = + + += 4 3 )3( )3)(2()3( lim 3)(s1)s(s 2s 1)(s ds d limc 22 1 2 2 1s IV 1
13、= + + = + + += ss sssss s 3 2 3)(s1)s(s 2s s.limc 2 0s 3 = + + = 12 1 3)(s1)s(s 2s 3).(slimc 2 -3s 4 = + + += 3s 1 . 12 1 s 1 . 3 2 1s 1 . 4 3 1)(s 1 . 2 1 ) s (F 2 + + + + = 3ttt e 12 1 3 2 e 4 3 te 2 1 ) t (f += 3.用拉氏变换方法解微分方程 例 ： ull r l222 . =+ = = 1(t)(t)u 011 r (0)0）（ 初始条件： ？求=)( 1 t 解： s 2 L(
14、s)22ssL 2 =+： 2)2ss(s 2)s(s22ss 2)2ss(s 2 L(S) 2 2 2 + + = + = 222 1) 1( 11s s 1 22s 2s s 1 + + = + + = ss 2222 1) 1( 1 1) 1( 1s s 1 + + = ss 1 L l(t)1cos tcos t tt ee = ： 12Sin(t45 ) 1 2 1 cos t cos t t t t e=+ o j e e ， 特征根： 模态 举例说明拉氏变换的用途之一解线性常微分方程，引出传函概念。 如右图电路：初条件： c0c u)0(u= 输入 t1 .E) t (u 0r = 依克西霍夫定律： rcc cc cc c u (t)i(t) Ru (t) (*) I(s)C U (s) 1 i(t)C u (t) U (s)I(s) Cs I(s)Cs CRu (t)u (
