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1、 第十二讲 求图形面积的几种常用方法 第十二讲 求图形面积的几种常用方法在组合图形中，求阴影部分的面积的常用方法是：割补法、加减法、旋转法、构造法、等积的变换，抓不变量、等分、一半的应用、代换、比例等。A、割补法：对于一些求不在一起的几块阴影面积的和，往往需要把它们通过剪割、拼补在一起，才便于计算，在剪割、拼补过程中，一定要注意割下来的图形和补上去的图形的形状、大小必须完全一样。【例1】如图，每个小圆的半径是2厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米？【分析与解】如图，通过剪割、拼补，阴影部分的面积就变成了圆的面积减去正方形的面积，则阴影部分面积为：S阴影=S圆S正方形=424424=50.243
2、2=18.24(平方厘米)【例2】右图中三个圆的半径都是4厘米，三个圆两两交于圆心。求阴影部分的面积是多少平方厘米？【分析与解】如图，三个阴影部分的面积都相等，只需要求出其中一个面积即可，但非常困难。这时我们可以考虑采用割补的方法，同时利用对称性，将其个半圆形，则阴影部分的面积=3。14442=25。12（平方厘米）B、加减法：注意观察，所求阴影部分的面积看是由哪几个图形相加，再减去哪个图形变可以得到。我们把这种通过加、减就能求出它的面积的方法，我们的把它称为“加减法”。【例3】如图，正方形的边长为4厘米，求阴影部分的面积是多少？【分析与解】如图，显然阴影部分的面积=扇形的面积 空白c的面积，
3、而空白c的面积=正方形的面积扇形的面积，即S阴影=S扇（S正S扇）= S扇S正S扇= S扇S扇S正即S扇S扇比S正的面积多了b那部分的面积，即b= (bc)(ba)(a bc)阴影部分的面积，S阴=424244=25.1216=9.12(平方厘米)。ab【例4】如图，长方形的长为12厘米，宽为8厘米，求阴影部分的面积是多少？【分析与解】如图，S阴影= S大扇Sa= S大扇(S长S小扇) = S大扇S小扇S长=1224824128=163.2896=67.28（平方厘米）ADEBCABCEBDC、旋转法：在求一些面积时，有时需要把某个图形进行一定方向的旋转，使之拼在一起，变成另一个比较方便求的图
4、形。【例5】如图，梯形ABCD的上底是3厘米，下底是5厘米，高是4厘米，E是梯形的中点。求阴影部分的面积是多少？【分析与解】如图，由于E是梯形的中点，若以E为圆心，将三角形BEC绕反时针方向放置，使C点与D点重合，显然可得，阴影部分的面积 与三角形ABE的面积相等，所以阴影部分的面积=梯形面积的一半=（34）422=8（平方厘米）。D、等分法：就是将整个图形，平均分成若干份，再看所求的图形的面积占多少份，从而求得阴影部分的面积。【例6】将三角形ABC的三条边分别向外延长一倍，得到一个大的六边形，已知三角形ABC的面积是6平方厘米，求大六边形的面积。ABC【分析与解】要求六边形的面积，似乎很困难
5、，但通过三角形的顶点A、B、C的三条边对六边形进行等分，就很容易得出，六边形的面积是三角形面积的13倍，故所求面积为：613=78（平方厘米）【例7】如图，在正方形中，放置了两个小正方形，大正方形的面积是180平方厘米，求甲乙两个小正方形有面积各是多少？【分析与解】经过等分，可以得到，甲的面积占正方形面积的一半的，即甲的面积为18022=45（平方厘米）；乙的面积占正方形面积的一半的，即乙的面积=180294=40（平方厘米）。E、抓不变量：若甲比乙的面积大a，则甲和乙同时加上或减去相同的数，它们的大小不变，而图形发生变化，再通过变化后的图形进行求解，就可以使问题得到简便；若两个面积相等的图形
6、，同时加上或差动相同的面积，则剩下的面积仍然相等。【例8】如图，已知半圆的AB=20（厘米），阴影比阴影面积大57平方厘米，求直角三角形的高BC的长？【分析与解】根据条件，可以求得半圆的面积为：3.1410102=157（平方厘米），又“阴影比阴影面积大57平方厘米”，若阴影和阴影都加上空白部分，则半圆的面积比三角形的面积大57平方厘米，因此可求得三角形面积是15757=100（平方厘米），高BC为：100220=10（厘米）F、“一半”的应用：在正方形、长方形、平行四边形中，以其中一条边为底，在它的对边上任意取一点，所得的三角形的面积等于整个面积的一半。ABECDF【例9】一个长方形长边为1
7、2厘米，宽AB=8厘米，E是BC上一点，AE长10厘米，AE和DF互相垂直，DF长是多少厘米？【分析与解】如图，如果连接DE，则可得三角形ADE的面积是长方形面积的一半，由“AE和DF互相垂直”，可知DF是三角形ADE的高，则DF=1282210=9.6(厘米)1745c34ab【例10】如图，在长方形中，四条直线把长方形分成了八部分，已知其中的三部分的面积分别是17、45、34平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？【分析与解】首先可得，两个大三角形的面积都是长方形面积的一半，所剩下的部分也是长方形的一半，为了能比较清楚的表示它们之间的关系，不妨用字母a、b、c来表示其余部分的面积。显然有
8、abc=a1745c34，所以阴影部分的面积b=174534=96（平方厘米）【另解】也可根据覆盖原理，当覆盖部分面积之和等于总面积时，必有重叠面积等于外露面积。b是重叠面积，17、45、34都是外露面积，所以有b=174534=96（平方厘米）G、等积变换：根据图形的特点，由面积与面积之间的相等关系，进行一些转化，从而使问题解决得到简便。CABD【例11】如图，由大、小两个正方形组成的图形中，小正方形的边长是6厘米，求图中阴影部分的面积是多少平方厘米？【分析与解】根据已知条件，要求阴影部分的面积是比较难的。但是，如果我们连接BD，再仔细观察三角形ACD与三角形ABC，不难得出它们都是以小正方
9、形的对角线AC为底，以梯形ABDC的高为高，所以三角形ACD的面积=三角形ABC的面积=小正方形面积的一半，所以阴影部分的面积=662=18（平方厘米）。ABDDCFE【例12】三角形ABC的面积为60平方厘米，AE=ED，BD=BC，求阴影部分的面积是多少平方厘米？【分析与解】BC看成3份，DC就是1份，由“AE=ED”可得三角形ABE的面积=三角形BDE的面积。又以BD为底的三角形在图上有三角形BDE和三角形BDF，所以需要连接的线有EC或DF，如果连接EC，则会发现三角形AEF与三角形BED的联系不大；如果连接DF，则有三角形AEF与三角形EFD的面积相等，阴影部分的面积变变成为三角形B
10、FD的面积。这时我们把三角形FDC的面积看作1份，三角形BDF的面积就是2份，三角形ABF的面积=三角形BDF的面积，所以三角形ABF的面积也为2份，三角形ABC的面积就被平分成了122=5（份），阴影部分的面积为：6052=24（平方厘米）。666H、构造法：就是根据已知数据的特殊性，构造出一个我们比较熟悉的图形来进行解答。这种方法在以后的学习中应用得更加广泛，在这里我们主要讲如何将直角三角形构造成正方形来计算的题型。【例13】一个等腰直角三角形的斜边长6厘米，求它的面积？【分析与解】如果我们用四个同样的等腰直角三角形就可以构造成一个正方形，这个正方形的边长就是这个三角形的斜边长度，面积是这
11、个三角形的4倍。所求直角三角形的面积是664=9（平方厘米）。【例14】一个直角三角形的斜边长10厘米，两直角边相差6厘米，求它的面积？【分析与解】如果我们用四个同样的直角三角形就可以构造成一个空心正方形，正方形中阴影部分的面积=大正方形的面积小正方形的面积，小正方形的边长恰好是两条直角边的差，所以直角三角形的面积=（101066）4=16（平方厘米）。ABCDO12ABCDO1212baI、比例法：如果两个三角形的高相等，则它们面积的比等于它们底的比；如果两个三角形的底相等，则它们面积的比等于它们高的比；如果两个长方形的宽相等，则它们面积的比就等于长的比。【例15】如图，在梯形ABCD，两条
12、对角线相交于O，下底是上底的3倍，三角形AOD的面积是12平方厘米，那么梯形的面积为多少平方厘米？【分析与解】在梯形ABCD中，容易得出三角形AOB的面积=三角形DOC的面积=12平方厘米；又AO：OC=OB：OD=AB：DC=1：3，12:a=3:1,a=4,12:b=1:3,b=36,则梯形的面积为：1212436=64（平方厘米）。4621x【例16】如图，长方形被两条直线分成了四个小长方形，已知其中三个长方形的面积分别是：4、6、21平方厘米，那么阴影部分的面积是多少？【分析与解】设阴影部分的面积是x平方厘米，则有4：6=x：21，则阴影部分x的面积=2146=14（平方厘米）。J、利
13、用r2和r3代换：有解有关圆和圆柱的题目时，如果没有告诉半径以及没有给出求半径的条件，直接给出图形的面积时，往往不需要求半径，只需求出r2和r3即可。【例17】如图，阴影部分的面积为20平方厘米，求圆环的面积是多少？【分析与解】圆环的面积=大圆面积小圆面积=R2r2=(R2r2);而R2所表示的意义为大正方形的面积，r2所表示的意义为小正方形的面积，(R2r2)恰好表示阴影部分的面积，所以圆环的面积=(R2r2)=3.1420=62.8（平方厘米）。【例18】一个正方体的体积50立方厘米，一个圆柱体的底面半径、高与正方体的棱长都相等，求这个圆柱体的体积？【分析与解】设正方体的棱长为a,圆柱体的底面半径为r，高为h，则有a3=50,r=h=a,V=r2h=a3=3.1450=157（立方厘米）解法练习题12A、割补法：1、求下列图形中阴影部分的面积。（单位：厘米）图1一2图11图132420图1444图1-666图1548图1-8图1-766图1-9162 2 2图1-10小圆半径为2图1-12a b图1-1110图1-14图1-13小圆半径为3每个扇形的半径都为2图1-15每个扇形的半径都为5图1-16B、加减法：2、求下列图形中阴影部分的面积。（单位：厘米）3图2-26001068图2-164图2-41410图2-36450453图2-6106图2-5、6
