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1、高中应用题专题复习考点概述数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，也是考生失分较多的一种题型。解答这类问题的要害是深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，这就需要建立恰当的数学模型，这当中，函数，数列，不等式，排列组合是较为常见的模型，而三角，立几，解几等模型也应在复习时引起重视。高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型，另外，估测计算型和信息迁移型也时有出现。当然，数学高考应用性问题关注当前国内外的政治，经济，文化，紧扣时代的主旋律，凸显了学科综合的特色。一、求解应用题的一般步骤：1、审清题意：认真分析题目所给的有关材料，弄清题意，理顺问题中的条件和结论，找到关键量
2、，进而明确其中的数量关系(等量或大小关系)2、建立文字数量关系式：把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系，这是问题解决的一把钥匙。3、转化为数学模型：将文字语言所表达的数量关系转化为数学语言，建立相应的数学模型(一般要列出函数式、三角式、不等式、数列、排列组合式、概率以及利用几何图形等进行分析)，转化为一个数学问题。4、解决数学问题：利用所学数学知识解决转化后的数学问题，得到相应的数学结论。5、返本还原：把所得到的关于应用问题的数学结论，还原为实际问题本身所具有的意义。二、应用题的常见题型及对策1、与函数、方程(组)、不等式(组)有关的题型 常涉及物价、路程、产值、环保、土
3、地等实际问题，也常常涉及角度、长度、面积、造价、利润等最优化问题。解决这类问题一般要利用数量关系，列出有关解析式，然后运用函数、方程、不等式等有关知识和方法加以解决，尤其对函数最值、均值定理用得较多。2、与数列有关的问题常涉及到产量、产值、繁殖、利息、物价、增长率、植树造林、土地沙化等有关的实际问题。解决这类问题常构造等差数列、等比数列(无穷递增等比数列)，利用其公式解决或通过递推归纳得到结论，再利用数列知识求解。3、与空间图形有关的问题常与空间观测、面积、体积、地球的经纬度等问题有关。解决此类问题常利用立体几何、三角方面的有关知识。4、与直线、圆锥曲线有关的题型常涉及定位、人造地球卫星、光的
4、折射、反光灯、桥梁、线性规划等实际问题。常通过建立直角坐标系，运用解析几何知识来解决。5、与正、余弦定理及三角变换有关的题型常涉及实地测量、计算山高、河宽、最大视角等。6、与排列、组合有关的问题运用排列、组合等知识解决7、与概率、统计有关的应用问题一 代数的应用题1求函数表达式：例1建筑一个容积为48米3，深为3米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为a元，池底每平方米的造价为2a元。把总造价y表示为底的一边长x米的函数，并指出函数的定义域。解：容积=底面积高= 48 底面积3 = 48 底面另一边长：m = 池壁造价=池壁面积a = 2(3x + 3m )a = 6( x +)a = 6(x
5、+)a 池底造价=底面积2a =162a = 32a y = 6(x +)a + 32a ( x 0 )2面积问题：思考题：在上面的例1中，如何设计水池的长宽，使总造价最低？x2x例2. 有根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为12，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积最大（中间木档的面积可忽略不计. 解：如图设x, 则竖木料总长= 3x + 4x = 7x, 三根横木料总长= 6 -7x 窗框的高为3x，宽为 即窗框的面积 y = 3x = -7x2 + 6x ( 0 x ) 配方：y = ( 0 x 2 ) 当x =米时，即上框架高为米、下框架为米、宽为1米时
6、，光线通过窗框面积最大.3利润问题：（1）利润=收入-成本 （2）利润=单位利润销售量例3某工厂生产的产品每件单价是80元，直接生产成本是60元，该工厂每月其他开支是50000元. 如果该工厂计划每月至少获得200000的利润，假定生产的全部产品都能卖出，问每月的产量是多少？解：设每月生产x件产品，则总收入为80x, 直接生产成本为60x, 其他开支50000元，即知总成本为60x + 50000 每月利润是：总收入-总成本= 80x - ( 60x + 50000 ) = 20x - 50000依题意有：20x - 5000200000 x12500答：该工厂每月至少要生产12500件产品.
7、例4. 将进货单价为8元的商品按单价10元销售，每天可卖出100个。若该商品的单价每涨1元，则每天销售量就减少10个。如何确定该商品的销售单价，使利润最大？分析：（1）每出售一个商品的利润=销售单价-进货单价= 10- 8 = 2 （2）以单价10元为基础：单价每次涨1元，当涨了x元（即可看成涨了x次）时，则每出售一个商品的利润= 2+ x元, 销售量为100 -10x个 每个商品的利润y = (2 + x )( 100 -10x ) = -10x2 + 80x + 200 = -10( x - 4)2 + 360即当x = 4时，y有最大值360 当每个商品的单价为14元时，利润最大.4与增
8、长率相关的问题：要点增长率为正：原产量(1 + 增长的百分率)经过x年 增长率为负：原产量(1 - 增长的百分率)经过x年 例5. 一种产品的年产量原来是a件，在今后m年内，计划使年产量每年比上一年增加p%. 写出年产量随经过年数变化的函数关系式.解：设经过x年后，年产量为y, 则y = a( 1 + p%)x 例6. 某工厂总产值经过10年翻一番（2倍），求每年比上一年平均增长的百分数.解：设原来总产值为a, 平均增长率为x，则经过10年的总产值为 a( 1 + x )10 即有：a( 1+ x )10 = 2a 1+ x = 取常用对数：lg( 1 + x ) = 0. 0301 1 +
9、x = 1. 072 x = 0.072 = 7.2% 每年比上一年平均增长7.2%.例7. 电视机厂生产的电视机台数，如果每年平均比上一年增长10.4%，那么约经过多少年可以增长到原来的2倍（保留一位有效数字）？（普高课本代数上册P. 97. 例2）解：设经过x年可以增长到原来的2倍，则( 1 + 10.4%)x = 2 xlg1.104 = lg2 答：大约经过7年.5记数问题：例8. 一个梯形两底边的长分别是12cm与22cm, 将梯形的一条腰10等分，过每个分点画平行于梯形底边的直线，求这些直线夹在梯形两腰间的线段的长度的和. 解：由平面几何知识可知：等腰梯形的上下底与夹在两腰之间的线
10、段长度成等差数列 a1 = 12, a11 = 22 公差d = 所求的线段长度的和为a2 + a3 +a10 =例9. 画一个边长2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，求：（1） 第10个正方形的面积（2） 这10个正方形的面积的和解：（1）设an表示各正方形的面积 a1 = 22 = 4, a2 = ()2, a3 = 42 = 8 an是公比为2的等比数列第10个正方形的面积a10 = a1q9 = 429 = 2048 (厘米2)（2）这10个正方形的面积和 （厘米2）例10一个球从100米高处自由
11、落下，每次着地后又回到原高度的一半再落下. 当它第10次着地时，共经过了多少米？解：设球落下的高度依次为a1, a2, , a10 . a1 = 100, a2 = 50, a3 = 25 an是公比为的等比数列则球第10次落下时落下的路程为本球共经过的路程为S = 2S10 - 100 300 （米）6图表应用题例11中国人民银行某段时间内规定的整存整取定期储蓄的年利率如下表：存期1年2年3年5年年利率（%）2.252.432.702.88个人存款取得的利息应依法纳税20%. 现某人存入银行5000元，存期3年，试问3年到期后，这个人取得的银行利息是多少？应纳税多少？实际取出多少？解： 三年
12、后连本带利一共有：5000( 1 + 2.7%)35416.03（元） 银行利息一共有：5000( 1 + 2.7%)3 - 5000 = 416.03（元）应纳税：416. 0320% = 83.21（元），实际取出的金额：5416.03 - 83.21 = 5332.82（元）例12光明牛奶加工厂，可将鲜奶加工制成酸奶或奶片，该工厂的生产能力如表1，在市场上销售鲜奶、酸奶、奶片的利润如表2.表一： 表二：品种每天加工吨数品种每吨获利润（元）酸奶3鲜奶500奶片1酸奶1200奶片2000光明牛奶加工厂现有鲜奶9吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批鲜奶必须4天内全部销
13、售或加工完毕. 为此，该厂设计了两种可行方案：方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶.方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成.你认为选择哪种方案获利最多，为什么？解：方案一：四天制成奶片4吨用去牛奶4吨，其余5吨牛奶卖掉利润为：42000 +5500 = 10500（元）方案二：设制做奶片所需牛奶x吨，制做酸奶所需牛奶y吨，则制做奶片共用= x天，制做酸奶共用天，依题意得： x = 1.5, y = 7.5，即制成奶片1.5吨，酸奶7.5吨 利润为：1.52000 + 7.51200 = 12000（元）由上可知：第二种方案获得的利润大.二 三角的应用题1弧长问题例
14、13某蒸汽机上的飞轮直径为1.2m，每分钟按逆时针方向旋转300转，求：（1）飞轮每秒钟转过的弧度数;（2）轮周上的一点每秒钟经过的弧长. 解：( 1 ) 飞轮半径r = 0.6m, 每秒钟逆时针旋转5转飞轮每秒钟转过的弧度数是52p = 10p( 2 ) 轮周上一点每秒钟经过的弧长l = 10p0.6 = 6p (m)2电学例14电流I随时间t变化的函数关系式是I = Asint. 设= 100p (rad /秒)，A = 5（安培）.（1）求电流强度I变化的周期与频率;（2）当t = 0,(秒)时，求电流强度I解：( 1 ) 周期T =, 频率f =( 2 ) I = 5sin100pt I (0) = 0, I () = 5sin= 5, I () = 5sinp = 0, I () = 5sin= -5, I () = 5sin2p = 03利用三角函数解决有关面积问题q2R2Rcosq2Rsinq例15把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯才能使横截面的面积最大？解：如图，设矩形对角线与一边的夹角为q 则矩形的长为2Rcosq, 宽为2Rsinq 矩形面积S = 4R2sinqcosq = 2R2sin2q当q = 45时，Smax = 2R2, 即横截面为正方形时面积最大.三 解析几何中的应用题
