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1、初中数学最值题解法小结在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种：一. 二次函数的最值公式二次函数（a、b、c为常数且）其性质中有若当时，y有最小值。；若当时，y有最大值。利用二次函数的这个性质，将具有二次函数关系的两个变量建立二次函数，再利用二次函数性质进行计算，从而达到解决实际问题之目的例1. 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为，。（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元； （2）当日产量为多少时，
2、可获得最大利润？最大利润是多少？ 解：（1）根据题意得 整理得 解得，（不合题意，舍去） （2）由题意知，利润为 所以当时，最大利润为1950元。二. 一次函数的增减性 一次函数的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。例2. 某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？解：设招聘甲种工种的工人为x人，则乙种工种的工人为人，由题意得：
3、所以 设所招聘的工人共需付月工资y元，则有： （） 因为y随x的增大而减小 所以当时，（元）三. 判别式法 例3. 求的最大值与最小值。分析：此题要求出最大值与最小值，直接求则较困难，若根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得，进而求出y的取值范围，并由此得出y的最值。解：设，整理得 即 因为x是实数，所以 即 解得 所以的最大值是3，最小值是。四. 构造函数法“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。 例4. 求代数式的最大值和最小值。 解：设，再令，则有 所以得y的最大值为，最小值为五. 利用非负数的性质在实数范围内，显然有，当且仅当时
4、，等号成立，即的最小值为k。例5. 设a、b为实数，那么的最小值为_。 解： 当，即时，上式等号成立。故所求的最小值为1。六. 零点区间讨论法例6. 求函数的最大值。分析：本题先用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出y在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。 解：易知该函数有两个零点、 当时 当时 当得 当时， 综上所述，当时，y有最大值为七. 利用不等式与判别式求解在不等式中，是最大值，在不等式中，是最小值。例7. 已知x、y为实数，且满足，求实数m最大值与最小值。 解：由题意得 所以x、y是关于t的方程的两实数根，所以 即 解得 m的最大值是，m的最
5、小值是1。八. “夹逼法”求最值在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。例8. 不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为_。解：设a、b、c三边上高分别为4、12、h 因为，所以 又因为，代入 得，所以 又因为，代入 得，所以 所以3h0)，且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大?注：利润=售价-成本分析：(1)设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建(80-x)套，根据题意：该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，可列出两个不
6、等式，解不等式组，即可求出x的取值范围，进而确定x的正整数值. (2)根据一次函数的增减性解决. (3)要应用分类讨论的数学思想.从而做到不重复不遗漏,注意思维的缜密性.解析：(1)设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建(80-x)套由题意知209025x+28(80-x)2096 48x50 x取非负整数， x为48，49，50 有三种建房方案： A型48套，B型32套；A型49套，B型31套；A型50套，B型30套 (2)设该公司建房获得利润(万元) 由题意知=5x+6(80-x)=480-x 当x=48时，最大=432(万元) 即A型住房48套，B型住房32套获得利润最大(3)由题意
7、知=(5+a)x+6(80-x)=480+(a-1)x 当Oa1时，x=50，最大，即A型住房建50套，B型住房建30套.答:略.说明:此题的第(1)问是利用一元一次不等式组解决的,第(2) 、(3)问是利用一次函数的增减性解决问题的,要注意三问相互联系.二、利用反比例函数的性质来求最值问题例：一名工人一天能生产某种玩具至个，若每天须生产这种玩具个，那么须招聘工人多少名？分析：这是一道反比例函数模型的应用题，这里是常量。设每人每天生产x个玩具，需要工人名。则有。（，且x为整数）当时，随的增大而减小，即为正整数，取至。即须招聘工人为80至134人。三、利用二次函数的性质求最值问题对于某些与二次函
8、数有关的实际问题，如果我们能够将实际问题抽象为二次函数的数学模型，建立起二次函数的关系式，应用二次函数最值性质，可以解决许多实际问题。例将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？解：设利润为元，每个售价为元，则每个涨（50）元，从而销售量减少 100） 答：为了赚取最大利润，售价应定为70元例、（泉州市2008年中考题）某产品第一季度每件成本为元，第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率为 请用含的代数式表示第二季度每件产品的成本； 如果第三季度该产品每件成本比第一季度少元，试求的值 该产品第二季度每
9、件的销售价为元，第三季度每件的销售价比第二季度有所下降，若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率相同，且第三季度每件产品的销售价不低于元，设第三季度每件产品获得的利润为元，试求与的函数关系式，并利用函数图象与性质求的最大值（注：利润销售价成本）分析：（1） 解得 （3）解得而， 而 当时，利用二次函数的增减性，随的增大而增大，而，当时，最大值18（元）说明：当自变量取值范围为体体实数时，二次函数在抛物线顶点取得最值，而当自变量取值范围为某一区间时，二次函数的最值应注意下列两种情形：若抛物线顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值。若抛物线的顶点不在该区间内，则区间两端点所对
10、应的二次函数的值为该函数的最值。四、利用对称性来求最值问题。类这题涉及的知识面广，综合性强，解答有一定的难度。（一）在几何题组中的应用例、如图，菱形ABCD中，AB2，BAD60，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小最是 分析：由菱形的性质知：点与点关于对称。因为在上支运动，所以。要求PE+PB的最小最，即求P+PB的最小值。连接交于点，则即为所求。又BAD60，为的中点，所以，而，所以，即 P+PB的最小值为例、如图，角内有一点，在角的两边上有两点、（均不同于点），则的周长的最小值为 分析：作关于，的对称点，。连接，分别交，于，。如图所示，再连接，。易知 ，所以的周长+。根据两点之间线段最短，的周长，而，且，又，所以即为等腰直角三角形，故的周长的最小值为（二）在代数题组中应用ABOCDEMXY例1，如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与Y轴交于C点，且A（1，0）。求抛物线的解析式及顶点的坐标判断的形状，证明你的结论。点（m，0）是轴上的一个动点，当
