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1、北京市东城区2016-2017学年下学期高二年级期末考试数学试卷（文科）本试卷共100分，考试时长120分钟。第一部分（选择题 共24分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若集合，则ABA. B. C. D. 2. 设复数，则z的虚部是A. iB. 3C. 2D. 23. 下列函数在上是减函数的是A. B. C. D. 4. 如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入n的值为2，那么输出s的值是A. 0 B. 1 C. 3 D. 75. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为A. B. C. D. 6. “”是“”的A.
2、 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 已知过点P作曲线yx3的切线有且仅有两条，则点P的坐标可能是A. （0，0） B. （0，1）C. （1，1） D. （2，1）8. 甲、乙两人约好一同去看变形金刚5，两人买完了电影票后，偶遇丙也来看这场电影，此时还剩9张该场电影的电影票，电影票的座位信息如下表。1排4号1排5号1排8号2排4号3排1号3排5号4排1号4排2号4排8号丙从这9张电影票中挑选了一张，甲、乙询问丙所选的电影票的座位信息，丙只将排数告诉了甲，只将号数告诉了乙。下面是甲、乙关于丙所选电影票的具体座位信息的一段对话：甲对乙说：“我不能确
3、定丙的座位信息，你肯定也不能确定。”乙对甲说：“本来我不能确定，但是现在我能确定了。”甲对乙说：“哦，那我也能确定了！”根据上面甲、乙的对话，判断丙选择的电影票是A. 4排8号 B. 3排1号 C. 2排4号 D. 1排5号第二部分（非选择题 共76分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。请把答案填在相应题中横线上）9. i是虚数单位，复数_。10. 已知函数是R上的偶函数，那么实数m_。11. 已知，则的最小值是_。12. 已知函数，则_。13. 已知函数则不等式的解集是_。14. 已知平面向量，（其中），定义： 。若，则_；若，且，则a_，b_（写出一组满足此条件的a和b即可
4、）。三、解答题（本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. （本题满分8分）已知函数。（）求曲线在点处的切线方程；（）求的极大值。16. （本题满分9分）已知集合，若ABA，求a的取值范围。17. （本题满分9分）已知：在数列中，判断的单调性。小红同学给出了如下解答思路，请补全解答过程。第一步，计算：根据已知条件，计算出：_，_，_。第二步，猜想：数列是_（填递增、递减）数列。第三步，证明：因为，所以_。因此可以判断数列是首项_，公差d_的等差数列。故数列的通项公式为_。且由此可以判断出：数列是_（填递增、递减）数列，且各项均为_（填正数、负数或零）。所以数列是_
5、（填递增、递减）数列。18. （本题满分9分）已知函数。（）判断函数的奇偶性和单调性，并说明理由；（）若对任意恒成立，求k的取值范围。19. （本题满分9分）某研究中心计划研究S市中学生的视力情况是否存在区域差异和年级差异，由数据库知S市城区和郊区的中学生人数，如表1。表1 S市中学生人数统计人 年数 级区 域789101112城区300002400020000160001250010000郊区500044004000230022001800现用分层抽样的方法从全市中学生中抽取总量百分之一的样本，进行了调查，得到近视的学生人数如表2。表2 S市抽样样本中近视人数统计人 年数 级区 域78910
6、1112城区757276727574郊区109158911（）请你用独立性检验方法来研究高二（11年级）学生的视力情况是否存在城乡差异，填写22列联表，判断能否在犯错误概率不超过5的前提下认定“高二学生的近视情况与地区有关”并说明理由。附：0.50.40.250.150.10.050.0250.010.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828独立性检验公式为：（）请你选择合适的角度，处理表1和表2的数据，列出所需的数据表，画出散点图，并根据散点图判断城区中学生的近视情况与年级是成正相关还是负相关。20. （本题满分8
7、分）已知函数，（其中实数）。（）求的单调区间；（）如果对任意的，总存在，使得，求a的最小值。【试题答案】一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）题号12345678答案CDBCCACB二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）题号9101112答案14题号1314（1）14（2）答案（0，5）或者，等三、解答题（本大题共6小题，共52分）15. （本题满分8分）（）解：，1分令，解得，3分所求切线方程为，即（或者写成）。4分（）解：，令，解得或。5分列表如下：x0（0，2）200847分在上单调递增，在（0， 2）上单调递减，在处取得极大值，极大值为。8分16.（本题满分9分
8、）解：，2分，3分，解得，5分ABA，7分，8分解得。9分17.（本题满分9分）解答：第一步，计算根据已知条件，计算出：，。3分第二步，猜想：数列是 递减 （填递增、递减）数列。4分第三步，证明：因为，所以_3_。5分因此可以判断数列是首项_1_，公差d_3_的等差数列。7分故数列的通项公式为_。8分且由此可以判断出：数列是_递增_（填递增、递减）数列，且各项均为_正数_（填正数、负数或零）。9分所以数列是_递减_（填递增、递减）数列。18.（本题满分9分）（）是R上的奇函数，增函数。2分证明如下：1. 证明是R上的奇函数。对任意，有，且，是R上的奇函数。3分2. 证明f（x）是R上的增函数。
9、方法一：对任意，且，有4分是R上的增函数，。即是R上的增函数。5分方法二：，4分恒成立，在R上单调递增。5分（）恒成立，恒成立，是奇函数，恒成立，6分是R上的增函数，恒成立，即恒成立，7分，8分解得。9分19. （本题满分9分）（）根据题目提供数据填写二联表如下：人 区 数 域类 别城区郊区合计近视75984不近视501363合计125221473分将二联表中数据带入公式计算得K2的观测值为，4分不能在犯错误概率不超过5的前提下认定“高二学生的近视情况与地区有关”。5分（）根据数据表1和表2，可以研究年级和近视率的关系，数据表如下：年级789101112近视率0.250.30.380.450.
10、60.747分画出散点图如下：8分由散点图可以看出城区中学生近视率与年级成正相关。9分20. （本题满分8分）解：（），1分当时，对的单调递减区间为； 2分当时，令，得。时，时，的单调递增区间为，单调递减区间为，3分综上所述，时，的单调递减区间为；时，的单调递增区间为，单调递减区间为。4分（）用分别表示函数在上的最大值，最小值。对任意的，总存在，使得，等价于对任意的，又，问题等价于。当且时，由（）知，在上，是减函数，对任意的，对任意的，不存在，使得。5分当时，由（）知：在上，是增函数，在上，是减函数，对，对，不存在，使得，6分当时，由（）知：在上，是增函数，满足题意。7分综上所述，实数a的最小值为e。8分- 10 -
