《2016-2017学年北京市第四中学高二下学期期中考试理数试题 解析版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016-2017学年北京市第四中学高二下学期期中考试理数试题 解析版（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、北京四中2016-2017学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理试卷分为两卷，卷（I）100分，卷（II）50分，共计150分，考试时间120分钟卷（I）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1. 复数=A. +i B. +i C. 1-i D. 1+i【答案】D【解析】，故选D.2. 下列求导正确的是A. （3x2-2）=3x B. （log2x） =C. （cosx） =sinx D. （）=x【答案】B，B正确；，C不正确；，D不正确.故选B.3. 曲线y=xex在x=1处切线的斜率等于A. 2e B. e C. 2 D. 1【答案】A【解析】时，故选A.4. 等于A. -
2、21n 2 B. 21n 2 C. -ln 2 D. ln 2【答案】D【解析】故选C5. 函数f（x）=3+x lnx的单调递增区间为A. （0，） B. （e，+） C. （，+） D. （，e【答案】C.【解析】，令，解得，故增区间为（，+），故选C.6. 在复平面内，复数（i是虚数单位）的共轭复数对应的点位于A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限【答案】D考点：复数的运算及表示7. 函数f（x）=在区间的最大值为A. 3 B. 4 C. 2 D. 5【答案】A【解析】,令,解得或(舍),当时, ;当时, ;所以当时,函数有极大值,即f（x）在的最大值为3,故选A
3、.8. 已知f（x）=1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+（1+x）n，则f 0）=A. n B. n-1 C. D. n（n+1）【答案】D【解析】，故选D.9. 函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是A. （-1，2） B. （-3，6）C. （-，-3）（6，+） D. （-，-1）（2，+）【答案】C【解析】根据题意可得： ，解得或，故选C.点睛：由函数的极值点的定义知，首先满足函数在该点处的导数值为0，其次需要导函数在该点处左右两侧的导数值异号，我们称之为导函数的“变号零点”，则为函数的极值点，所以研究函数的极值点只需研究导函数的图
4、像能“穿过”轴即可.10. 方程x2=xsinx+cosx的实数解个数是A. 3 B. 0 C. 2 D. 1【答案】C【解析】令，因为，所以有，当时，函数单增；当时，函数单减，且，故函数有两个零点，故选C.点睛：本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法
5、.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. 复数（2+i）i的模为_.【答案】【解析】.12. 由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形的面积为_.【答案】【解析】因为由题意得：所求封闭图形的面积为。13. 若曲线y=x3+x-2上的在点P0处的切线平行于直线y=4x-1，则P0坐标为_.【答案】（1，0）或（-1，-4）【解析】函数求导，令，解得，当，；当，.综上：P0坐标为（1,0）或（-1，-4）.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）
6、时，由切线定义知，切线方程为14. 如下图，由函数f（x）=x2-x的图象与x轴、直线x=2围成的阴影部分的面积为_. 【答案】1【解析】由题意,阴影部分的面积为:,故填1.15. 已知Sn=+，nN*，利用数学归纳法证明不等式Sn的过程中，从n=k到n=k+l（kN*）时，不等式的左边Sk+1=Sk+_.【答案】【解析】,故填.16. 对于函数y=f（x），xD，若对于任意x1D，存在唯一的x2D，使得=M，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M. 那么函数f（x）=x3-x2+1，在x上的几何平均数M=_. f(x)=x2-x【答案】【解析】根据已知中关于函数f(x)在D上的几何平均数为M
7、的定义，由于f(x)的导数为 在内f(x)0，则f(x)=x3x2+1在区间单调递增，则x1=1时,存在唯一的x2=2与之对应，且x=1时,f(x)取得最小值1，x=2时，取得最大值5，故M=故答案为：.三、解答题：本大题共2小题，共20分. 17. 设函数f（x）=lnx-x2+x. （I）求f（x）的单调区间；（II）求f（x）在区间上的最大值.【答案】（I）f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+）; （II）f（x）max=f（1）=0.【解析】试题分析：（1）求导,可得单调区间；（2）根据单调性可求最值.试题解析：（I）因为f（x）=lnx-x2+x其中x0所以f （x）=-2
8、x+1=-所以f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+）. （II）由（I）f（x）在单调递增，在上单调递减，f（x）max=f（1）=0，f（x）max=f（1）=a-1.18. 已知函数f（x）=，其中aR. （I）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（II）求f（x）的极值.【答案】（I）2x-y=0; （II）见解析.【解析】试题分析：（1）求出在原点处的导数值，得斜率，即可求出切线方程；（2）求出导数，讨论单调性得极值.试题解析：（I）解：当a=1时，f（x）=，f （x）=-2.2分由f （0）=2，得曲线y=f（x）在原点处的切线方程是2x-y=0.4分（II
9、）解：f （x）=-2. 6分当a=0时，f （x）=.所以f（x）在（0，+）单调递增，（-，0）单调递减. 7分当a0，f （x）=-2a.当a0时，令f （x）=0，得x1=-a，x2=,f（x）与f （x）的情况如下：x（-，x1）x1（x1,x2）x2（x2,+）f （x）-0+0-f（x）f（x1）f（x2）故f（x）的单调减区间是（-，-a）,（,+）；单调增区间是（-a，）.f（x）有极小值f（-a）=-1，有极大值f（）=a2 10分当a0时，f（x）在（-，-a），（，+）单调递减；在（-a,）单调递增. a=0时，f（x）在（0，+）单调递增，在（-，0）单调递减，f（x
10、）有极小值f（-a）=-1，有极大值，f（）=a2；a0时，f（x）在（-,），（-a,+）单调递增；在（，-a）单调递减，f（x）有极小值f（-a）=-1，有极大值f（）=a2.点睛：由函数的极值点的定义知，首先满足函数在该点处的导数值为0，其次需要导函数在该点处左右两侧的导数值异号，我们称之为导函数的“变号零点”，则为函数的极值点，所以研究函数的极值点只需研究导函数的图像能“穿过”轴即可.卷（II）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分19. 若f（x）=-x2+bln（x+2）在（-1，+）上是减函数，则实数b的取值范围是A. D. （-,-1）【答案】C【解析】由题意知,在（
11、-1，+）上恒成立,即在（-1，+）上恒成立,令,由可得,所以,故选C.20. 观察（）=-，（x3）=3x2，（sinx）=cosx，由归纳推理可得：若函数f（x）在其定义域上满足f（-x）=-f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（-x）=A. -f（x） B. f（x） C. g（x） D. -g（x）【答案】C【解析】根据（）=-，（x3）=3x2，（sinx）=cosx，发现原函数是一个奇函数,它们的导函数都是偶函数,由此可得规律:奇函数的导函数是偶函数.由f（-x）=-f（x）可知是奇函数,故为偶函数,故选C.21. 若i为虚数单位，设复数z满足| z |=1，则|z-1+i
12、|的最大值为A. -1 B. 2- C. +1 D. 2+【答案】C【解析】|z-1+i|的几何意义是单位圆上的点与(1,1)点的距离,因为圆心到(1,1)点的距离为,所以|z-1+i|的最大值为,故选C.点睛:形如的数叫复数,其中a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部;当时复数为实数, 当时复数为虚数,当时复数为纯虚数.复数的几何意义为:表示复数z对应的点与原点的距离,表示两点的距离,即表示复数与对应的点的距离.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.22. 曲线y=xn在x=2处的导数为12，则正整数n=_.【答案】3【解析】曲线y=xn在x=2处的导数，解得n=3.23. 设函数y
13、=-x2+l的切线l与x轴，y轴的交点分别为A，B，O为坐标原点，则OAB的面积的最小值为_.【答案】【解析】设切点,函数y=-x2+l的导数为,即切线的斜率为,所以切线方程为:,令,得;令,得,又,则OAB的面积为,定义域为,解得或(舍),当时,为减函数; 当时,为增函数;当时,取到最小值,故填.24. 对于函数f（x）=4x+-5，f（x）=|log2 x|-（）x，f（x）=cos（x+2）-cosx，判断如下两个命题的真假：命题甲：f（x）在区间（1，2）上是增函数；命题乙：f（x）在区间（0，+）上恰有两个零点x1，x2，且x1x21. 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是_.【答案】【解析】,在区间（1，2）上,在区间（1，2）上是增函数,使甲为真,f(x)的最小值是,又,在上恰有两个零点:, 使乙为真; 在区间（1，2）上,是增函数,也是增函数,两者的和函数也是增函数,使甲为真.分别画出与的图象,恰有两个不同的交点,即在区间（0，+）上恰有两个零点x1，x2,且,使乙为真; 令,可得:即,在区间（0，+）上有无数个零点,使乙为假;综上可知,应填.点睛:对于函数,我们把使的实数x叫做函数的零点
