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1、承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 广东 所属学校（请填写
2、完整的全名）： 广东商学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 陈姗姗 2. 赵景凤 3. 张馨尹 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：2012年8月18日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：广州住房问题研究摘要本文主要是研究当前广州市的房价问题，从居住者的角度研究买房和租房的收入和成本进而比较其回报净现值，分析得出租房比买房划算。从投资者的角度，我们给出了最优的投资方法和投
3、资方案。对于问题一，从居住者的角度，计算分析租房买房的收入与成本。首先通过灰色预测的方法算出五年后广州市的平均房价为31413没平方米。进而通过模型分别算出五年后买房的收入为2670240，买房的成本为1772936.租房的收入为483361，租房的成本为180000.买房的回报净现值为1.50，租房的回报净现值为2.69.最终可看出，租房比买房更为划算。对于问题二，从投资者的角度，首先通过贷款购房决策模型算出应选择贷款购房而不是一次性付清购房费用。再分析两种还款方式，应选择等额本息还款方式。最后给出三个短期投资方案，并根据模型选择出最好的短期投资方案为购房后，先空置五年，再出售。对于问题三，
4、结合问题一问题二的结果从居住和投资的角度分别给出可行，合理，有建设性的建议。关键字 灰色预测 贷款购房决策 净现值模型一、 问题重述住房问题已经成为当前中国城市居民最关心的问题，主要原因是住宅的价格上涨太快，很多城市已经出现这样的情景，一边是老百姓买不起房，一边是住房市场供不应求，价格不断上涨。买房还是租房成了困扰很多人的问题。从租售比的角度看，目前北京、上海和广州以及其他沿海大中城市的房价过高，存在泡沫，因此比较理性的行为应该是租房。但是，从投资的角度看，很多人对于房价都有看涨心理，认为房产从长远来看是升值的，是投资，而租房是消费，因此应该买房的主要收入是房租和房产升值，主要成本是按揭的债务
5、成本和投入本金的机会成本，外加房屋持有成本。租房的主要收入是省下来的买房首付加上每月房租低于按揭款部分的投资收益，主要成本就是房租。把每年的收益/之处按通货膨胀率进行折现，就可以算出买房和租房的回报净现值。当这两个净现值相等时，买房和租房没有区别。那么到底应该买房还是租房呢？请你以广州市为背景，建立数学模型，解决下面问题：1. 从一个居住者的角度，分析在广州市租房和买房哪个合算。2. 请从一个投资者的角度，根据市场房屋价格的变化情况，综合考虑各种因素（如家庭收入、租金收入、储蓄及贷款利率、房屋折旧率、房屋空置率等），建立数学模型，为家庭进行住房投资做出决策。3. 根据你们建模分析的结果，给正受
6、到买房还是租房所困扰的人们写一份建议书。二、 问题假设1、 假设未来五年内不会发生经济危机和泡沫经济对房价产生巨大的影响。2、 假设近五年的住房公积的贷款利率不变。3、假设在五年内，通货膨胀率对住房投资产生的影响不大。4、假设广州市区的物业管理费和贷款利率在五年内不会发生很大的变化。5、假设房子空置五年，还是可以当作新房售出。三、 符号约定买房的月数按揭贷款利率每月份的租房房租银行贷款月利率五年后的房价贷款月数房屋折旧率所得税利率房价，买房和租房的净现值国债利率价格变化指数房地产物业税租金盈利（元/）四、 问题分析针对问题一， 分别讨论住房与租房的收益与成本。买房的主要收入是房租和房产升值，主
7、要成本是按揭的债务成本和投入本金的机会成本，外加房屋持有成本。租房的主要收入是省下来的买房首付加上每月房租低于按揭款部分的投资收益，主要成本就是房租。把每年的收益/之处按通货膨胀率进行折现，就可以算出买房和租房的回报净现值。买房房租收入是购房后省下的的房租，房产升值则可以通过灰色预测模型算出房产升值的值。买房的成本建立包含了按揭债务成本，投入本金的机会成本和房屋持有成本的数学模型。通过查找数据，具体化来算出结果。针对问题二，要从投资者的角度给出合理的决策方案，首先要用决策购房贷款模型比较贷款与一次性付清房款的区别。根据结果确定一种方案。确定了方案之后，还要对还款方式进行决策。比较计算等额本息和
8、等额本金两种还款方式，并选择其中一种。最后，再对购房后的两种投资方案进行比较，选择出最好的投资方案。针对问题三，根据问题一问题二的结果，从居住者的角度和投资这的角度分别给出合理的建议。并给投资者整理出一个合理，明智的投资方案。五、 模型的建立和求解5.1问题一5.1.1运用灰色预测模型计算房产升值1模型的建立GM表示灰色理论的灰微分方程模型。GM（1，1）即一阶一个变量的灰微分方程模型。GM（1，1）预测模型是最常用的一种灰色动态预测模型，其建模原理是：设有一组原始序列：对原始序列作一价累加生成，得其中： k=1,2,，n再作的一阶均值生成，得其中：， k=1, 2,3，n即构成了灰色模块，可
9、建立灰色模型，GM（1，1）模型的一般式为：解此微分方程得： （k=0,1,.）式中参数可由最小二乘法求得：其中： 通过累减还原得到的预测模型为 （k=1,2,）2.模型的求解根据搜集到的广州近12年的房价数据，如表1所示，运用灰色预测模型，预测未来五年房价的变化情况。表1 广州近12年的房价年份房价年份房价2001422220078599 20024143200893382003388720099346200448182010131072005511720111510120066343201214372运用matlab软件求得时间相应方程为：y得到未来五年的预测房价值如下表所示：表2 未来五
10、年房价预测值年份20132014201520162017房价1.78532.05622.36822.72753.1413拟合曲线图为下图所示：图1 拟合曲线图由上图可以大致看出拟合度还是比较好的。3.模型检验根据GM（1,1）精度检验方法中的残差检验来对此结果进行误差检验，利用matlab软件检验的结果是模型拟合度非常好，达到精度标准，结果可见附录。影响房价的因素很多且难以预测。因此，在采用灰色系统理论进行定量预测时，如果存在对预测对象影响较大的因素，就要在定性分析的基础上，寻找原始数据信息的突变点的量化值，然后再对预测值进行必要的修正，使预测值更接近实际情况，提高预测值的可信度，为科学决策提
11、供可靠的数据。GM(1,1)是一种短期预测模型，在没有大的市场波动及政策性变化的前提下，例如假设不出现金融危机或者市场泡沫，该预测值应是可信的。5.1.2基于买房成本的计算1.模型的建立在住房的经济学研究方面，历来有两种方法，一种是将住房看作是耐用消费品，通过估计房价的均衡模型，考察由基本面决定的房价与实际房价的关系，这种方法被称为宏观经济学的方法。由基本面决定的均衡价格被认为是利率、收入和一些供给变量如建筑成本的函数。另一种方法将住房看作是投资品，主要考察房价和租金的均衡关系，这种方法被称为金融模型。我们采用的是金融研究方法，将住房看作是投资（资本）品，通过研究拥有住房这一特殊资本品的成本与
12、收益，从而将房价和租金联系起来。（1） 买房的净现值的模型买房的净现值为买房的收入/成本，根据此关系式建立模型：其中为买房的收入，为买房的成本。计算五年内买房的收益,其由省下和房租和房子升值或贬值后的价格相加而得：其中为买房的月数，为每月份的租房房租，为房子的面积，为五年后的房价。为房屋折旧率。假设业主不购房而将这笔钱投入无风险的政府债券，则获得的收益则为投入的机会成本，则其中，为房价，为无风险国债利率。业主在购买了房子之后必须缴纳的固定资产税和物业税，则：其中，为房地产物业税。业主购房后可以得到的减税或政府的补贴，则：其中，：为所得税率，：为按揭贷款利率。假设业主按揭的还款方式为等额本息还款
13、，则在购房后按揭的债务成本即要贷款的利息费为，则：其中，为银行贷款月利率，为贷款的月数。具体而言，一个完整的住房使用成本可以由如下方程表示：（2） 租房净现值的模型的建立租房的净现值为买房的收入/成本，根据此关系式建立模型：其中为买房的收入，为买房的成本。租房的收益由省下买房的首付款与每月房租低于按揭部分的投资收入。则:租房的费用主要是房租，则：2.模型的求解（1）数据准备根据上面的模型，用实际的例子算出来结果，并进行比较。假设业主今年购进的是80平方米，广州市现房价为15000，则买一套房的总资金为120万。广州市租一套一般的房子的均价为3000.计算五年后买房的回报净现值。查询数据得出各种利率如下表：表3：各种利率表国债利率房地产物业费政府补贴贷款月利率利率61.5%1元/平/月1%0.333%（2）模型的求解买房净现值的计算买房的收入：买房的成本：买房的回报净现值为：租房的净现值的计算租房的收入：（3）结果分析比较两者的净现值，由结果可以看出，
