北京市初三数学中考压轴题

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1、1 2012 年北京市初三数学中考压轴题年北京市初三数学中考压轴题 2012 海淀一统海淀一统 8. 已知 O 为圆锥顶点, OA、OB 为圆锥的母线, C 为 OB 中点, 一只小蚂蚁从点 C 开始沿圆锥侧面爬行到点 A, 另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点 B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示. 若沿 OA 剪开,则得到的圆 锥侧面展开图为 ( ) A B C D 12用两个全等的含 30角的直角三角形制作如图 1 所示的两种卡片, 两种卡片中扇形的半径均为 1, 且扇形所 在圆的圆心分别为长直角边的中点和 30角的顶点, 按先 A 后 B 的顺序交替摆放 A、B 两种卡片得到图 2 所

2、示的 图案. 若摆放这个图案共用两种卡 8 张，则这个图案中阴影部分的面积之和为 ; 若摆放这个图案共 用两种卡片(2n+1)张( n 为正整数), 则这个图案中阴影部分的面积之和为 . (结果保留 ) A 种 B 种 图 1 图 2 22. 已知ABC 的面积为 a，O、D 分别是边 AC、BC 的中点. （1）画图：在图 1 中将点 D 绕点 O 旋转 180得到点 E, 连接 AE、CE. 填空：四边形 ADCE 的面积为 ； （2）在（1）的条件下，若 F1是 AB 的中点，F2是 AF1的中点, F3是 AF2的中点, Fn是 AFn -1的中点 (n 为大 于 1 的整数), 则F

3、2CE 的面积为 ; FnCE 的面积为 . 解解: （1）画图: 图 1 填空：四边形 ADCE 的面积为 . （2）F2CE 的面积为 ; FnCE 的面积为 . 备用图 D O CB A D O CB A O A B (A) C O A B (A) C O A B (A) C C C (A) B A O BA O O A B (A) C O A B (A) C O A B (A) C C C (A) B A O BA O 2 23. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与反比例函数的图象交于点 A (a, -3)，与 y 轴交于点 B. x a y 4 （1）试确定反比例函数的解析

4、式; （2）若ABO =135, 试确定二次函数的解析式; （3）在（2）的条件下,将二次函数 y=ax2 + bx + c 的图象先沿 x 轴翻折, 再向右平移到与反比例函数的 x a y 4 图象交于点 P (x0, 6) . 当 x0 x 3 时, 求平移后的二次函数 y 的取值范围. 24. 已知在ABCD 中，AEBC 于 E，DF 平分ADC 交线段 AE 于 F. （1）如图 1，若 AE=AD，ADC=60, 请直接写出线段 CD 与 AF+BE 之间所满足的等量关系; （2）如图 2, 若 AE=AD，你在（1）中得到的结论是否仍然成立, 若成立,对你的结论加以证明, 若不成

5、立, 请说 明理由； （3）如图 3, 若 AE AD =a b，试探究线段 CD、AF、BE 之间所满足的等量关系，请直接写出你的结论. 解解: （1）线段 CD 与 AF+BE 之间所满足的等量关系为: . （2） 图 1 图 2 D A F C E B A B E C D F B EC D A F O x y -1 -1 1 1 2 3 4 -2-3-4 -4 -3 -2 432 3 （3）线段 CD、AF、BE 之间所满足的等量关系为: . 图 3 25. 如图, 已知抛物线经过坐标原点 O 及，其顶点为 B(m,3),C 是 AB 中点，点 E 是直线 OC 上的)0, 32(A 一

6、个动点 (点 E 与点 O 不重合)，点 D 在 y 轴上, 且 EO=ED . （1）求此抛物线及直线 OC 的解析式； （2）当点 E 运动到抛物线上时, 求 BD 的长； （3）连接 AD, 当点 E 运动到何处时，AED 的面积为，请直接写出此时 E 点的坐标. 4 33 2012 西城北区一统西城北区一统 8如图，在平面直角坐标系 xOy 中，C 的圆心为点，半径为 1若 D 是C 上(2,0)A(0,2)B( 1,0)C 的一个动点，线段 DA 与 y 轴交于点 E，则ABE 面积的最大值是 A2 B 8 3 C B A y x O 4 C D 2 2 2 2 2 2 12已知二次

7、函数， （1）它的最大值为 ；（2）若存在实数 m，n 使得当自变量 x 的取值范 2 1 2 yxx 围是 mxn 时，函数值 y 的取值范围恰好是 3my3n，则 m= ，n= 20已知函数（x 0） ，满足当 x =1 时，且当 x = 0 与 x =4 时的函数值相等 2 yxbxc1y （1）求函数（x 0）的解析式并画出它的图象（不要求列表） ； 2 yxbxc （2）若表示自变量 x 相对应的函数值，且又已知关于 x 的方程( )f x 2 (0), ( ) 2 (0), xbxc x f x x 有三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数 k 的取值范围( )f xxk 22

8、阅读下列材料： 题目：已知实数a，x满足a2 且x2，试判断与的大小关系，并加以说明.axax 思路：可用“求差法”比较两个数的大小，先列出与的差，再说明y的符号即可.axax()yaxax 现给出如下利用函数解决问题的方法： 简解：可将y的代数式整理成，要判断y的符号可借助函数的图象和性质解决. (1)yaxa(1)yaxa 参考以上解题思路解决以下问题： 已知 a，b，c 都是非负数，a5，且 ， 2 220aabc2230abc （1）分别用含 a 的代数式表示 4b，4c； （2）说明 a，b，c 之间的大小关系 5 23已知抛物线（其中） 2 (2)2ykxkx0k （1）求该抛物线

9、与 x 轴的交点坐标及顶点坐标(可以用含 k 的代数式表示)； （2）若记该抛物线的顶点坐标为，直接写出的最小值；( , )P m nn （3）将该抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，随着的变化，平移后的抛物线的顶点 1 2 1 k k 都在某个新函数的图象上，求这个新函数的解析式（不要求写自变量的取值范围） 24已知：如图，正方形 ABCD 的边长为 a，BM，DN 分别平分正方形的两个外角，且满足，连45MAN 结 MC，NC，MN （1）填空：与ABM 相似的三角形是 ，= ；（用含 a 的代数式表示） BM DN （2）求的度数； MCN （3）猜想线段 BM，DN 和

10、MN 之间的等量关系并证明你的结论 6 25已知：在如图 1 所示的平面直角坐标系 xOy 中，A，C 两点的坐标分别为，(2,3)A （其中 n0） ，点 B 在 x 轴的正半轴上动点 P 从点 O 出发，在四边形 OABC 的边上依次沿 OA( , 3)C n BC 的顺序向点 C 移动，当点 P 与点 C 重合时停止运动设点 P 移动的路径的长为 l，POC 的面积为 S，S 与 l 的函数关系的图象如图 2 所示，其中四边形 ODEF 是等腰梯形 （1）结合以上信息及图 2 填空：图 2 中的 m= ； （2）求 B，C 两点的坐标及图 2 中 OF 的长； （3）在图 1 中，当动点

11、 P 恰为经过 O，B 两点的抛物线 W 的顶点时， 求此抛物线 W 的解析式； 若点 Q 在直线上方1y 的抛物线 W 上，坐标平面内另有一点 R， 满足以 B， P，Q，R 四点为顶点的四边 形是菱形，求点 Q 的坐标 2012 西城南区一统西城南区一统 24已知：O 是ABC 的外接圆，点 M 为O 上一点. （1）如图，若ABC 为等边三角形，BM=1，CM=2，求 AM 的长； （2）若ABC 为等腰直角三角形，BAC=，（其中） ，90BMaCMbba 7 Q P N M O C B A 直接写出 AM 的长(用含有 a，b 的代数式表示). 2012 东城一统东城一统 8. 已知

12、二次函数的图象如图所示，那么一次函数与反比例函数在 2 yaxbxc 2 4ybxbac 2cb y x 同一坐标系内的图象大致为 12如图，在 RtABC 中，ACB=90，ABC=30，直角MON 的顶点 O 在 AB 上， OM、ON 分别交 CA、CB 于点 P、Q，MON 绕点 O 任意旋转当时, 的值为 ；当时， 1 2 OA OB OP OQ 1OA OBn 的值为 .(用含 n 的式子表示) OP OQ 23已知：关于的方程.x 2 (1)(1)20axax （1）当 a 取何值时，方程有两个不相等的实数根； 2 (1)(1)20axax （2）当整数 a 取何值时，方程的根都

13、是正整数. 2 (1)(1)20axax 8 图 1 F E D C B A 图 2 A B C D E F 图3 A B C D E F 24已知ABC 和ADE 是等腰直角三角形，ACB=ADE=90，点 F 为 BE 中点，连结 DF、CF. （1）如图 1, 当点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，请直接写出此时线段 DF、CF 的数量关系和位置关系（不用证 明） ； （2）如图 2，在（1）的条件下将ADE 绕点 A 顺时针旋转 45时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立， 并证明你的判断； （3）如图 3，在（1）的条件下将ADE 绕点 A 顺时针旋转 90时，若 AD=

14、1，AC=，求此时线段 CF 的长2 2 (直接写出结果). 9 25在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 2 35ymxxm y 轴交于点 C（0 , 4） ，D 为 OC 的中点. （1）求 m 的值； （2）抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E，在直线 AD 上是否存在点 F，使得以点 A、B、F 为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出点 F 的坐标，若不存在，请说明理由；ADE （3）在抛物线的对称轴上是否存在点 G，使GBC 中 BC 边上的高为？若存在，求出点 G 的坐标；若不 5 2 2 存在，请说明理由 2012 朝阳

15、一统朝阳一统 8. 如图，RtABC 中，C90，AC3，BC4，P 是斜边 AB 上一动点（不与点 A、B 重合） ，PQAB 交 ABC 的直角边于点 Q，设 AP 为 x，APQ 的面积为 y，则下列图象中，能表示 y 关于 x 的函数关系的图象大致 是 Q B AC P 10 A. B. C. D. 12. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10 ， 这样的数称为“三角形数”（如图） ，而把 1，4，9，16，这样的数称为“正方形数”（如图） 如果规定，； 1 1a 2 3a 3 6a 4 10a ，；，那 1 1b 2 4b 3 9b 4 16b 111 2yab 222 2yab 333 2yab 444 2