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1、高二数学（选修2-2）理科第一章 导数及其应用导数研究函数性质综合应用1、设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为_。2、设函数.（）若曲线在点处与直线相切，求的值；（）求函数的单调区间与极值点.3、已知函数（）求函数在点处的切线方程；（）求函数的单调区间和极值4、已知函数，.（）若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；（）求函数在区间上的最小值.5、已知函数（）若，求函数的极值和单调区间；（）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.6、设函数.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）求函数单调区间.7、已知函数.（）求的单调区间；（）是否存在实数，使得函数的极大值等于？若存在，求出
2、的值；若不存在，请说明理由.8、已知函数（）当时，求函数的单调递减区间；（）求函数的极值；（）若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围9、已知函数（）若，求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）设函数若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围10、已知函数是常数（）求函数的图象在点处的切线的方程；（）证明函数的图象在直线的下方； （）讨论函数零点的个数导数研究函数性质综合应用（中档较难）参考答案1、4解：若x0，则不论取何值，0显然成立；当x0 即时，0可化为，设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而4；当x0 即时，0可化为， 在区间上单调递增，因此，从而4。
3、综上42、解：（）,曲线在点处与直线相切，（）,当时，函数在上单调递增，此时函数没有极值点.当时，由，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，此时是的极大值点，是的极小值点.3、解：（）, , 所以函数在点处的切线方程为（）函数的定义域为令,得 解得：当时,列表：(-1,0)0+0-0+极大极小可知的单调减区间是，增区间是(-1,0)和； 极大值为,极小值为当时,列表： 0+0-0+极大极小可知的单调减区间是，增区间是和； 极大值为,极小值为当时, ，可知函数在上单增, 无极值 4、解：（）直线的斜率为1.函数的导数为，则，所以. （），.当时，在区间上，此时在区间上单调递
4、减，则在区间上的最小值为.当，即时，在区间上，此时在区间上单调递减，则在区间上的最小值为.当，即时，在区间上，此时在区间上单调递减；在区间上，此时在区间上单调递增；则在区间上的最小值为. 当，即时，在区间上，此时在区间上为单调递减，则在区间上的最小值为.综上所述，当时，在区间上的最小值为；当 时，在区间上的最小值为. 5、解：（I）因为 ，当， ， 令，得 ，又的定义域为，随的变化情况如下表：0极小值 所以时，的极小值为1 . 的单调递增区间为，单调递减区间为； （II）解法一：因为 ，且，令，得到 ， 若在区间上存在一点，使得成立， 其充要条件是在区间上的最小值小于0即可. （1）当，即时，
5、对成立，所以，在区间上单调递减，故在区间上的最小值为， 由，得，即 （2）当，即时， 若，则对成立，所以在区间上单调递减， 所以，在区间上的最小值为，显然，在区间上的最小值小于0不成立 若，即时，则有极小值 所以在区间上的最小值为，由，得 ，解得，即. 综上，由(1)（2）可知：符合题意. 解法二：若在区间上存在一点，使得成立， 即，因为, 所以，只需 ，令，只要在区间上的最小值小于0即可因为，令，得 （1）当时：极大值 因为时，而， 只要，得，即 （2）当时：极小值 所以，当 时，极小值即最小值为，由， 得 ，即. 综上，由(1)（2）可知，有 . 6、解：因为所以. （）当时, , 所以
6、. 所以曲线在点处的切线方程为. （）因为， （1）当时,由得；由得. 所以函数在区间单调递增, 在区间单调递减. （2）当时, 设，方程的判别式 当时，此时. 由得,或； 由得. 所以函数单调递增区间是和, 单调递减区间. 当时，此时.所以， 所以函数单调递增区间是. 当时，此时. 由得； 由得,或. 所以当时,函数单调递减区间是和, 单调递增区间. 当时, 此时，所以函数单调递减区间是.7、解：（）的定义域为. ，即 . 令，解得：或. 当时，故的单调递增区间是. 当时，随的变化情况如下：极大值极小值所以函数单调递增区间是和，单调递减区间是. 当时，随的变化情况如下：极大值极小值所以函数单
7、调递增区间是和，单调递减区间是.（）当时，的极大值等于. 理由如下： 当时，无极大值.当时，的极大值为， 令，即 解得 或（舍）. 当时，的极大值为. 因为 ， 所以 .因为 ，所以 的极大值不可能等于. 综上所述，当时，的极大值等于. 8、解：（I）依题意，函数的定义域为， 当时， 由得，即解得或，又，的单调递减区间为 （II），（1）时，恒成立，在上单调递增，无极值. （2）时，由于所以在上单调递增，在上单调递减，从而 （III）由（II）问显然可知，当时，在区间上为增函数，在区间不可能恰有两个零点 当时，由（II）问知，又，为的一个零点 若在恰有两个零点，只需即 9、解：函数的定义域为，
8、 （）当时，函数，所以曲线在点处的切线方程为，即 （）函数的定义域为 （1）当时，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减 （2）当时，（）若，由，即，得或； 由，即，得 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为 （）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增 （）因为存在一个使得，则，等价于 令，等价于“当 时，”. 对求导，得. 因为当时，所以在上单调递增所以，因此.另解：设，定义域为，.依题意，至少存在一个，使得成立，等价于当 时，. （1）当时，在恒成立，所以在单调递减，只要，则不满足题意. （2）当时，令得.（）当，即时，在上，所以在上单调递增，所以，由得，所以. （）当，
9、即时，在上，所以在单调递减，所以，由得 （）当，即时， 在上，在上，所以在单调递减，在单调递增，等价于或，解得，所以，.综上所述，实数的取值范围为. 10、（） ，所以切线的方程为，即 （）令最大值，所以且，即函数的图像在直线的下方 （）令， . 令 ， 则在上单调递增，在上单调递减，当时，的最大值为. 所以若，则无零点；若有零点，则 若，由（）知有且仅有一个零点.若，单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知有且仅有一个零点（或：直线与曲线有一个交点）.若，解得，由函数的单调性得知在处取最大值，由幂函数与对数函数单调性比较知，当充分大时，即在单调递减区间有且仅有一个零点；又因为，所以在单调递增区间有且仅有一个零点.综上所述，当时，无零点；当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点. 高二下数学 第20页（共5页）
