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1、2012考前90天突破高考核心考点专题十 排列、组合、二项式定理【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布2012考纲解读（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.（2）排列与组合理解排列、组合的概念.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.能解决简单的实际问题.（3）二项式定理能用计数原理证明二项式定理.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.近几年考点分布排列、组合、二项式定理是高考数学相对独立的内容，也是密切联系实际的一部分。在高考中，注重基本概念，基础知识和基本运算的考查
2、。试题难度不大，多以选择、填空的形式出现。排列组合的试题会以现实生活中的生产问题、经济问题为背景，不会仅是人或数的排列。以排列组合应用题为载体，考查学生的抽象概括能力，分析能力，综合解决问题的能力。将排列组合与概率统计相结合是近几年高考的一大热点，应引起重视。二项式定理的知识在高考中经常以客观题的形式出现，多为课本例题、习题迁移的改编题，难度不大，重点考查运用二项式定理去解决问题的能力和逻辑划分、化归转化等思想方法。为此，只要我们把握住二项式定理及其系数性质，会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决，就可顺利获解。【考点pk】名师考点透析考点一、计数原理例1电视台在“欢乐在今宵”节目中拿
3、出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有封，乙箱中有封，现有主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，有多少种不同结果？解：分两类：（1）幸运之星在甲箱中抽，选定幸运之星，再在两箱内各抽一名幸运观众有种；（2）幸运之星在乙箱中抽取，有种，共有不同结果种。 【名师点睛】.运用分步乘法计数原理时，也要确定分步的标准，分布必须满足：完成一件事情必须且只需完成这几步，即各个步骤是相互依存的，注意“步”与“步”的连续性。例2.某单位职工义务献血，在体检合格的人中，型血的共有人，型血的共有人，型血的共有人，型血的共有人。（1）从中任选人去献血，有多少种不同的
4、选法？（2）从四种血型的人中各选人去献血，有多少种不同的选法？解：从型血的人中选人有种不同的选法，从型血的人中选人共有种不同的选法，从型血的人中选人共有种不同的选法，从型血的人中选人共有种不同的选法。（1）任选人去献血，即不论选哪种血型的哪一个人，这件“任选人去献血”的事情已完成，所以用分类计数原理，有种不同选法。（2）要从四种血型的人中各选人，即要在每种血型的人中依次选出人后，这件“各选人去献血”的事情才完成，所以用分步计数原理。有种不同的选法。【名师点睛】.运用分类加法计数原理，首先要根据问题的特点，确定分类标准，分类应满足：完成一件事情的任何一种方法，必须属于某一类且仅属于某一类，即类与
5、类的确定性与并列性。例3、某城市在市中心广场建造一个花圃，花圃分为个部分如图，现要栽种种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种。（用数字作答）解法一：先排区，有种方法，把其余五个分区视为一个圆环（如图），沿着圆环的一个边界剪开并把圆环拉直，得到如下图的五个空格，在五个空格中放三种不同的元素，且：相同元素不相邻。两端元素不能相同，共有种不同方法。然后再把下图粘成圆形即可，下面解决两端元素相同的情况。在这种情况下我们在下图六个空格中。要求：相同元素不能相邻。两端元素必须相同，共有种不同方法，然后再把最下图粘成圆环形，把两端的两格粘在一起看成一个格即可，综上
6、，共有种方法。解法二：先分类：五大类：第一类：区和区、区和区、区、区各栽一色花。第二类：区和区、区和区、区、区各栽一色花。第三类：区和区、区和区、区、区各栽一色花。第四类：区和区、区和区、区、区各栽一色花。第五类：区和区、区和区、区、区各栽一色花。每一类中其栽法为（分步进行），答案共有种。【名师点睛】如何选用分类加法计数原理和分步计数乘法原理。在处理具体的应用问题时，必须先分清是“分类”还是“分步”，“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事情。考点二、排列组合例4、7名学生站成一排，下列情况各有多少种不同的排法？（1）甲乙必须排在一起；（2）甲
7、、乙、丙互不相邻；（3）甲乙相邻，但不和丙相邻.（1）解：捆绑法，=1440.点评：捆绑法应用于相邻问题.（2）解：插空法，=1440.点评：插空法应用于不相邻问题.（3）解：捆绑插空相结合，.点评：两种方法相结合的问题，综合考察知识方法的应用能力.【名师点睛】1、解排列组合题的基本思路：将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步 对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；例5、5个人排成一排.（1）甲不站在左端，乙不站在右端，有多少种不同的排法？（2）若甲、乙两人不站在两端，有多少种不同的排法？（3）若甲乙两
8、人之间有且只有1人，有多少种不同的排法？本题为特殊元素，也用到了分类，一类是甲站结尾，此时是；另一类是甲不站结尾，此时是，两类相加，结果为：3720. 基础知识聚焦：特殊位置或元素优先安排.（2）提示或答案：甲乙先站，其他人再站，=1200. 基础知识聚焦：特殊位置或元素优先安排.（3）提示或答案：从其他5人中选1人站在甲乙中间，然后把甲乙排列，然后把此三个人看作一个元素，和其他4人全排列，=1200.【名师点睛】解排列组合题的基本方法：（1）优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；（2）排异法：对有限制条件的
9、问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。（3）分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意：分类不重复不遗漏。（4）分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步。（5）插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。（6）捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。（7）穷举法
10、：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数比较少的问题。考点三、二项式定理例6在的展开式中，含的项的系数是 （A）-15 （B）85 （C）-120 （D）274解：本题可通过选括号（即5个括号中4个提供，其余1个提供常数）的思路来完成。故含的项的系数为【名师点睛】求二项展开式中的指定项问题：方法主要是运用二项式展开的通项公式；例7已知在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大.求n;求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项.解：(1)因为展开式中只有第6项的二项式系数最大,所以n为偶数，第6项即为中间项，得n=10.(2) 展开式的通项是系数的绝对值是，若它最大则.,
11、r=3，系数绝对值最大的项是第4项，即，系数最大的项应在项数为奇数的项之内，即r取偶数0，2，4，6，8时，各项系数分别为,，.系数最大的项是第5项，即【名师点睛】求展开式中系数最大项的步骤是：先假设第r+1项系数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式并求解此不等式组求得。【金题热身】11年高考试题及解析1、（全国文9、理7）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（A）12种 （B）24种 （C）30种 （D）36种【解析】分两类：取出的1本画册，3本集邮册，此时赠送方法有种；取出的2本画册，2本集邮册，此时赠送方法有种。总的赠送方法有种。【答案】
12、B2、（广东理7）正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（ ）A20B15C12D10【解析】先从5个侧面中任意选一个侧面有种选法，再从这个侧面的4个顶点中任意选一个顶点有种选法，由于不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，所以除去这个侧面上、相邻侧面和同一底面上的共8个点，还剩下2个点，把这个点和剩下的两个点连线有种方法，但是在这样处理的过程中刚好每一条对角线重复了一次，所以最后还要乘以所以这个正五棱柱对角线的条数共有,所以选择A.3、（北京理12）.用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样
13、的四位数共有_个(用数字作答)【解析】个数为。4、给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：n=1n=2n=3 n=4 由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种.（结果用数值表示）5、（陕西理4）、的展开式中的常数项是 （A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】：令，于是展开式中的常数项是故选C6、（四川文13）. 的展开式中的系数是 （用数字作答）解析：的展开式中的系数是.7、（广东文10）.的展开式中， 的系数是_ (用数字作答).【解析】8、（山东理
14、14）. 若展开式的常数项为60，则常数的值为 .【答案】4【解析】因为,所以r=2, 常数项为60,解得.9、（全国文、理13） (1-)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为: .【解析】，令所以x的系数为，故x的系数与的系数之差为-=010、（浙江理13）.若二项式的展开式中3的系数为，常数项为，若，则的值是 .【解析】：令得则A令得则B，由又B=4A得则11、（课标卷理8）. 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40 解析：因为展开式各项系数和为2所以取得：，二项式即为：，它的展开式的常数项为：点评：此题考查二项式定理、展开式的系数、系数和以及运算能力，正确的把握常数项的涞源和构成是解决问题的关键。12、（湖北文12、理11）. 的展开式中含的项的系数为 （结果用数值表示）解析：由 令，解得r=2，故其系数为13、（福建理6）.(1+2x)3的展开式中，x2的系数等于A.80 B.40 C.20 D.10【解析】： ，x2的系数等于故选B14、（天津理5）.的二项展开式中，的系数为（ ）A B C D【解析】因为,所以容易得C正确.15、（安徽理12）.设，则 .【命题意图】本题考查二项展开式.难度中等.【解析】，所以.16、（重庆文11）的展开式中的系数是 17、（重庆理4）.（其中且）的展开式
