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1、9.1 引言,一输入输出法（端口法）,研究单输入单输出系统； 着眼于系统的外部特性； 基本模型为系统函数，着重运用频率响应特性的概念。,产生于20世纪50至60年代； 卡尔曼(R.E.Kalman)引入； 利用状态变量描述系统的内部特性； 运用于多输入多输出系统； 用n个状态变量的一阶微分（或差分）方程组来描述系统 。,二状态变量分析法,三状态变量分析法优点,(1)提供了系统的内部特性以供研究；,(2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行 数值计算；,(3)便于分析多输入多输出系统；,(4)容易推广应用于时变系统或非线性系统；,(5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。,四名词定义,状态：
2、表示动态系统的一组最少变量（被称为状态 变量），只要知道 时这组变量和 时的输 入，那么就能完全确定系统在任何时间 的行为。,状态变量：能够表示系统状态的那些变量成为状态 变量。例如上例中的 。,状态矢量：能够完全描述一个系统行为的k个状态变 量，可以看作矢量 的各个分量的坐标。 称为 状态矢量。,状态空间：状态矢量 所在的空间。,状态轨迹：在状态空间中状态矢量端点随时间变化 而描出的路径称为状态轨迹。,例9-1-1,微分方程（输入输出描述法）：,其中,写为,写为矩阵形式：,只要知道 的初始状态及输入 即可完全确定电路的全部行为。,输出方程,此方法称为状态变量或状态空间分析法； 为状态变量。,
3、则,9.2 信号流图,概述 系统的信号流图表示法 术语定义 信号流图的性质 信号流图的代数运算,系统框图 信号流图,一概述,利用方框图可以描述系统（连续的或离散的），比用微分方程或差分方程更为直观。,线性系统的仿真（模拟）,连续系统相加、倍乘、积分,离散系统相加、倍乘、延时,由美国麻省理工学院的梅森（Mason）于20世纪50年代首先提出。 应用于：反馈系统分析、线性方程组求解、线性系统模拟及数字滤波器设计等方面。,信号流图方法的主要优点,系统模型的表示简明清楚；,简化系统函数的计算方程。,二系统的信号流图表示法,实际上是用一些点和支路来描述系统：,方框图,流图,称为结点,线段表示信号传输的路
4、径，称为支路。,信号的传输方向用箭头表示，转移函数标在箭头附近，相当于乘法器。,三术语定义,结点：表示系统中变量或信号的点。,转移函数：两个结点之间的增益称为转移函数。,支路：连接两个结点之间的定向线段，支路的增 益即为转移函数。,输入结点或源点：只有输出支路的结点，它对应 的是自变量（即输入信号）。,输出信号或阱点：只有输入支路的结点，它对应 的是因变量（即输出信号）。,混合结点：既有输入支路又有输出支路的结点。,通路：沿支路箭头方向通过各相连支路的途径（不允许有相反方向支路存在）。,开通路：通路与任一结点相交不多于一次。,环路增益：环路中各支路转移函数的乘积。,闭通路：如果通路的终点就是起
5、点，并且与任何 其他结点相交不多于一次。闭通路又称环路。,不接触环路：两环路之间没有任何公共结点。,前向通路：从输入结点（源点）到输出结点（阱点）方向的通路上，通过任何结点不多于一次的 全部路径。,前向通路增益：前向通路中，各支路转移函数的乘积。,四信号流图的性质,支路表示了一个信号与另一信号的函数关系， 信号只能沿着支路上的箭头方向通过。,（1）,（2）,结点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有输出支路。,（3）,具有输入和输出支路的混合结点，通过增加一个具有单传输的支路，可以把它变成输出结点来处理。,（4）,流图转置以后，其转移函数保持不变。所谓转置就是把流图中各支路的信号
6、传输方向调转，同时把输入输出结点对换。,给定系统，信号流图形式并不是惟一的。这是由于同一系统的方程可以表示成不同形式，因而可以画出不同的流图。,（5）,五信号流图的代数运算,（1）,（2）,有一个输入支路的结点值等于输入信号乘以支路增益。,串联支路的合并,总增益等于各支路增益的乘积。,（3）,并联支路的合并：并联相加,（4）,混合结点的消除,（5）,环路的消除,总结：可以通过如下步骤简化信号流图，从而求得系 统函数。 串联支路合并，减少结点； 并联支路合并，减少支路； 消除环路。,（6）,信号流图的梅森增益公式,式中：,称为流图的特征行列式。,表示由源点到阱点之间第k条前向通路的 标号。,表示
7、由源点到阱点之间的第 条前向通路的增益。,称为对于第 条前向通路特征行列式的余因子。它是除去与k条前向通路相接触的环路外，余下的特征行列式。,例9-2-1,求下图信号流图表示的系统的系统函数。,为了求出特征行列式，先求出有关参数。图中的流图共有4个回路，各回路增益为,没有三个以上的互不接触回路。所以,它只有一对两两互不接触的回路,其回路增益乘积为,例图中有两条前向通路，对于前向通路,由于各回路都与该通路相接触，故,对于前向通路,不与g2 接触的回路有,其增益,其增益,9.3 连续时间系统状态方程的建立,状态方程的一般形式和建立方法概述 由电路图直接建立状态方程 由系统的输入-输出方程或流图建立
8、状态方程 将系统函数分解建立状态方程,一状态方程的一般形式和建立方法概述,一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号的各阶导数来描述。作为连续系统的状态方程表现为状态变量的联立一阶微分方程组，即,为系统的k个状态变量。,m个输入信号,r个输出信号,状态方程,输出方程,如果系统是线性时不变的，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线性组合，即：,表示为矢量矩阵形式,状态方程,输入方程,状态方程和输出方程分析的示意结构图,是积分环节，它的输入为 ，输出为 。,若 矩阵是 的函数，表明系统是线性时变 的，对于线性时不变系统， 的各元素都为常 数，不随 改变。,状态变量的特性,每一状态变量的导数是所
9、有状态变量和输入激 励信号的函数；,每一微分方程中只包含有一个状态变量对时间的导数；,输出信号是状态变量和输入信号的函数；,通常选择动态元件的输出作为状态变量，在连续系统中是选积分器的输出。,建立给定系统的状态方程的方法分为直接法和间接法两类：,直接法主要应用于电路分析、电网络（如滤 波器）的计算机辅助设计；,间接法常见于控制系统研究。,二由电路图直接建立状态方程,(1)选取独立的电容上电压和电感中电流为状态变量，有时也选电容电荷与电感磁链。,，对连接有电容的结点列结点电流方程，其,(3)把方程中非状态变量用状态变量表示。,(4)把状态方程和输出方程用矩阵形式表示。,状态变量的个数 等于系统的
10、阶数。,对于较简单的电路，用直观的方法容易列写状态方程。当电路结构相对复杂时，往往要借助计算机辅助设计（CAD）技术。,三由系统的输入-输出方程或流图建立状态方程,假定某一物理系统可用如下微分方程表示,此系统为k 阶系统，输入信号的最高次导数也为k 次 系统函数为,为便于选择状态变量，系统函数表示成,当用积分器来实现该系统时，其流图如下,取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的,状态方程,输出方程,表示成矢量矩阵的形式,状态方程,输出方程,简化成,对应A,B,C,D的矩阵分别为,（二）用流图的串联结构形式列状态方程,四将系统函数分解 建立状态方程,将系统函数的分母分解因式，可以对应构成并联或串
11、联形式的流图结构，即可列出不同形式的状态方程。,（一）用流图的并联结构形式列状态方程,电容独立性的讨论,(a) (b),(a)将电压源Vs接到相互串联电容的两端，这两个电容上的电压不独立，只能选择其中之一为状态变量。,(b)任一电容电压都受到其余两电容电压值的约束，若要选取电容电压为状态变量，它们之中只有两个是独立的。,(a) (b),由于电流源Is 的约束作用，只能选一个电感电流作独立的状态变量 ；,(b)若要选取电感电流作状态变量，三个电流之中只有两个是独立的。,电感独立性的讨论,例9-3-1,写出下图所示电路的状态方程和输出方程。,选电感电流 和电容两端电压 作为 状态变量,对连接电容的
12、结点A列结点电流方程,对包含电容的回路 列回路电压方程,整理,写成矩阵形式,输出方程为,将H(s) 作部分分式展开，得到,例9-3-2,用流图的并联结构形式建立状态方程。,其中每一个子系统的形式为,表示成流图为,这样， 的流图形式可表示为,取积分器的输出为状态变量，则有,表示成矩阵形式：,例9-3-3,用流图的串联结构形式建立状态方程。,把 作因式分解,画成流图形式,选积分器输出为状态变量,或,例9-3-4,用并联结构形式表示下式为状态方程的形式,用并联结构形式表示时，对上式用部分分式展开,对应此式的流图结构形式如图（a）所示。,选积分器输出为状态变量：,表示成矩阵形式为,本例说明,当系统传输
13、算子用部分分式展开具有重根时，则A矩阵 成为约当阵的形式。线性代数里已经证明任何矩阵都和 一个约当阵相似（对角阵是约当阵的一种特殊情况）， 所以尽管状态变量选择不同，对同一系统而言不同形式 的A矩阵都是相似的。,9.4 连续时间系统状态方 程的求解,用拉普拉斯变换法求解状态方程 用时域法求解状态方程,时域方法借助计算机,变换域方法简单,由状态方程求系统函数,一用拉普拉斯变换法求解状态方程,方程两边取拉氏变换,整理得,因而时域表示式为,可见，在计算过程中最关键的一步是求 。,若系统为零状态的，则,则系统的转移函数矩阵为,是第i个输出分量对第j个输入分量的转移函数。,1矩阵指数 的定义,二用时域法
14、求解状态方程,(一)矩阵指数,式中 为 方阵, 也是一个 方阵,2.主要性质,(二)用时域方法求解状态方程,1. 求状态方程和输出方程,若已知,并给定起始状态矢量,对式(1)两边左乘 ，移项有,(1),化简，得,两边取积分，并考虑起始条件，有,对上式两边左乘 ，并考虑到 ，可得,为方程的一般解,求输出方程r(t),依此原理，将 无穷项之和的表示式中高于 次的各项全部化为 幂次的各项之和，经整理后即可将 化为有限项之和,对于 方阵A有如下特性：,凯莱-哈密顿定理（Cayley-Hamiton theorem）：,也即，对于 ，可利用 以下幂次的各项之和表示 ，式中 为各项系数。,(2),(3),
15、式中各系数 c 都是时间t 的函数，为书写简便省略了 变量t。,按照凯莱-哈密顿定理，将矩阵A的特征值代入式(2)后，方程仍满足平衡，利用这一关系可求得式(3)中的系数c ，最后解出 。,具体计算步骤：,求矩阵A的特征值；,将各特征值分别代入式（3），求系数c。,第一种情况,A的特征值各不相同，分别为 ，代入式 (3)有,(4),第二种情况,若A的特征根 具有m阶重根，则重根部分方程为,其他非重根部分与式(4)相同处理，两者联立解得要求的系数。,(5),例9-4-1,已知系统的状态方程和起始条件为,试求系统的状态变量。,(1)求特征矩阵,其行列式和伴随矩阵分别为,所以预解矩阵为,则状态变量矩阵为,例9-4-2,已建立状态方程和输出方程为,起始状态为,输入矩阵为,用拉氏变换法求响应 和转移函数矩阵 。,所以预解矩阵 为,(1)求特征矩阵,其行列式和伴随矩阵分别为,（2）求转移函数矩阵,（3）求输出矩阵,例9-4-3,已知 ，求 。,列出A的特征方程,其特征根为,代入式(4)有,因而,解得,例9-4-4,已知 ，求 。,列出A的特征方程,特征根
