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1、1,1.4 阶跃函数和冲激函数,阶跃函数和冲激函数不同于普通函数，称为奇异函数。研究奇异函数的性质要用到广义函数（或分配函数）的理论。 这节课首先直观地引出阶跃函数和冲激函数。 一、阶跃函数 下面采用求函数序列极限 的方法定义阶跃函数。 选定一个函数序列n(t)如图所示。,2,阶跃函数性质：,（1）可以方便地表示某些信号,r(t)=t(t),斜升函数,f(t) = 2(t)- 3(t-1) +(t-2) （2）用阶跃函数表示信号的作用区间,3,问：如何用阶跃函数表示如下信号,4,门函数,下图所示矩形脉冲g(t)常称为门函数。,特点:宽度为，幅度为1。,利用移位阶跃函数，门函数可表示为：,5,例
2、如：如下图所示的函数：,可表示为：,6,例如：如下图所示的函数：,可表示为：,7,例如：如下图所示的 序列：,可表示为：,8,二、冲激函数,单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定义（由狄拉克最早提出）,也可采用下列直观定义：对n(t) 求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t) 。,高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。,9,冲激函数与阶跃函数关系,可见，引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。如,f(t) = 2(t +1)-2(t -1) f(t) = 2(t +1)-2(t -1),10,若冲激不是发生在原点，而是在 则记为 ，
3、,a0时，a(t)表示t=0处强度为a的冲激函数； a0时， a(t)表示t=0处强度为|a|的负冲激函数。,11,冲激偶信号,对冲激信号(t)求时间导数，得到一个新的奇异信号，即冲激偶信号，其表示式为,见书p14,12,二、冲激函数的广义函数定义,广义函数 选择一类性能良好的函数(t)(检验函数)，一个广义函数g(t)作用在(t)，得到一个数值Ng(t), (t)。 广义函数g(t)可以写成,冲激函数的广义函数定义,移位,13,冲激函数的导数(t),(t) 也称冲激偶 (t)的定义：,移位,0,14,的定义：,例题,?,15,三、冲激函数的性质（1）,1. 与普通函数f(t) 的乘积取样性质
4、 若f(t)在t = 0 、t = a处存在，则,16,17,18,19,例题：,20,例1-4.2,解：,21,对上式求导，得,常义导数,强度等于2和（-4）的冲激函数。,其波形图见下页：,22,23,一般，设f(t)是分段连续函数，它在 处有第一类间断点。,则分段连续函数f(t)的导数为：,跳跃度,常义导数,强度等于 的冲激函数。,24,例1-4.2,解：,25,(t) 的尺度变换,26,？,27,复合函数形式的冲激函数,实际中有时会遇到形如f(t)的冲激函数，其中f(t)是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的实根ti ( i=1，2，n)；,见书p22,f(t)可以展开成泰勒级
5、数,28,若f(t)=0的n个根t=ti都是单根，即在t=ti处f(ti)0，则在t=ti附近有：,是位于各ti处，n个冲激函数构成的冲击函数序列。,例：若f(t)=4t2-1,则有,29,1.4 系统的描述,30,系统分类： 按数学模型的不同,系统可分为:即时系统与动态系统;连续系统与离散系统;线性系统与非线性系统;时变系统与时不变(非时变)系统等等. 1、即时系统指的是在任意时刻的响应(输出信号)仅决定与该时刻的激励(输入信号),而与它过去的历史状况无关的系统。如 , 加法器，数乘器等。 2、如果系统在任意时刻的响应不仅与该时刻的激励有关而且与它过去的历史状况有关,就称之为动态系统。如累加
6、器，积分器，延时系统等。,31,系统的数学模型,系统的框图表示,系统的描述,3、当系统的激励是连续信号时,若响应也是连续信号,则称其为连续系统。 4、当系统的激励是离散信号时,若其响应也是离散信号,则称其为离散系统。 5、连续系统与离散系统常组合使用,可称为混合系统,32,一、系统的数学模型,数学模型:系统基本特性的数学抽象,是以数学表达式来表征系统的特性.,描述连续系统的数学模型是微分方程,而描述离散系统的数学模型是差分方程。,描述系统的方法有多种形式：方程描述（输入输出方程和状态方程两种）、框图描述、信号流图描述、 系统函数描述等。对于一个确定的系统，输入输出方程形式唯一，系统函数唯一，而
7、状态方程、框图、信号流图均可有多种形式。,33,系统分析的基本思想： 1. 根据工程实际应用，对系统建立数学模型。 通常表现为描述输入输出关系的方程。,2. 建立求解这些数学模型的方法。,34,例1：写出右图示电路的微分方程。,解：根据KVL有,利用以上各元件端电压与电流的关系可得：,35,二、系统的框图表示,系统的数学模型所包括基本运算： 相乘、微分、相加运算。 将这些基本运算用一些理想部件符号表示出来并相互联接表征上述方程的运算关系，这样画出的图称为模拟框图，简称框图。,1、表示系统功能的常用基本单元有: 积分器：,36,见书p25,37,系统模拟：,实际系统方程模拟框图 实验室实现指导实
8、际系统设计 例1：已知y”(t) + ay(t)+ by(t) = f(t)，画框图。 解：将方程写为y”(t) = f(t) ay(t) by(t),38,例二（见书p25）已知某连续系统如下图所示，写出该系统的微分方程。,解：图中有两个积分器，因而系统为二阶系统。设右端积分器的输出为x(t)，那么各积分器的输入分别是 x(t),x(t)。左方加法器的输出为,39,为了得到系统的微分方程，要消去x(t)及其导数。,右方加法器的输出为,以上三式相加并整理得：,40,二、离散系统,设第k个月初的款数为y(k),这个月初的存款为f(k),上个月初的款数为y(k-1)，利息为y(k-1), 则y(k
9、)=y(k-1)+ y(k-1)+f(k) 即y(k)-(1+)y(k-1) = f(k) 若设开始存款月为k=0，则有y(0)= f(0)。 上述方程就称为y(k)与f(k)之间所满足的差分方程。 所谓差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为差分方程的阶数。上述为一阶差分方程。,1. 解析描述建立差分方程 例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为元/元，求第k个月初存折上的款数。,41,由n阶差分方程描述的系统称为n阶系统。 2. 差分方程的模拟框图 基本部件单元有： 数乘器，加法器，迟延单元（移位器）,42,例：已知框图，写出系统的差分方程。,解：设辅助变量x(k)如图 x(k)= f(k) 2x(k-1) 3x(k-2) 即x(k) +2x(k-1) +3x(k-2) = f(k) y(k) = 4x(k-1) + 5x(k-2) 消去x(k) ，得 y(k) +2y(k-1) +3y(k-2) = 4f(k-1) + 5f(k-2) 方程框图用变换域方法和梅森公式简单，后面讨论。,43,根据框图求解微分或差分方程的一般步骤：,(1)选中间变量x()。对于连续系统,设其最右端积分器的输出x(t);对于离散系统，设其最左端延迟单元的输入为x(k)；,（2）写出各加法器输出信号的方程；,（3）消去中间变量x(),
