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1、第七章 系统函数,7.1 系统函数与系统特性 一、系统函数的零点与极点 二、系统函数与时域响应 三、系统函数与频域响应 7.2 系统函数的因果性与稳定性 一、系统的因果性 二、系统的稳定性 7.3 信号流图 一、信号流图 二、梅森公式 7.4 系统的结构 一、直接实现 二、级联和并联实现,点击目录 ，进入相关章节,7.1 系统函数与系统特性,7.1 系统函数与系统特性,一、 系统的零点和极点：,LTI系统的系统函数是复变量s或z的有理分式，即：,1、对于连续系统：,7.1 系统函数与系统特性,2、对于离散系统：,零/极点的种类：实数、复数 (复数零、极点必共轭 ),一阶、二阶及二阶以上极点,7
2、.1 系统函数与系统特性,二、 系统函数与时域响应：,1、连续系统H(s) 的零、极点与时域响应 h(t)的关系：,在负实轴上：,二阶极点：,不在负实轴上：,一阶极点：,一阶极点：,二阶极点：,（1）极点在左半平面：,7.1 系统函数与系统特性,（2）极点在 j轴上：,在原点：,二阶极点：,不在原点：,二阶极点：,一阶极点：,一阶极点：,7.1 系统函数与系统特性,（3）极点在右半平面：,在正实轴上：,不在实轴上：,二阶极点：,一阶极点：,二阶极点：,一阶极点：,7.1 系统函数与系统特性,H(s) 的零、极点与 h(t) 的关系：,(1) 零点影响 h(t) 的幅度、相位；,(2) 极点决定
3、 h(t) 的函数形式：,a) 左半平面极点对应 h(t)，随时间增加，是按指数函数规律衰减的；,b) 虚轴上一阶极点对应 h(t) 是稳态分量，二阶及二阶以上极点对应 h(t) 是随时间增加而增大；,c) 右半平面极点对应 h(t) 都是随时间增加按指数函数规律增加的。,7.1 系统函数与系统特性,2、离散系统 H(z)的零、极点与h(k)的关系：,（1）单位圆内的极点：,在实轴上：,二阶极点：,不在实轴上：,二阶极点：,一阶极点：,一阶极点：,7.1 系统函数与系统特性,（2）单位圆上的极点：,在实轴上：,不在实轴上：,7.1 系统函数与系统特性,（3）单位圆外的极点：,在实轴上：,不在实
4、轴上：,7.1 系统函数与系统特性,结论：,（2）H(z)的极点在单位圆上 一阶极点对应h(k)为稳态分量； 二阶及二阶以上极点对应h(k)增长。,（3）H(z)的极点在单位圆外，对应h(k)按指数规律增长。,（1）H(z)的极点在单位圆内，对应h(k)按指数规律衰减；,7.1 系统函数与系统特性,三、系统函数与频域响应,（1）H(s) 与 H(j) 关系：设 h(t) 为因果信号,1、连续系统H(s) 的零、极点与系统频率响应：,这种情况下，h(t) 对应的系统称为因果稳定系统。,7.1 系统函数与系统特性,（2）H(s) 零、极点与连续系统频率特性：,设,则：,7.1 系统函数与系统特性,
5、例：一阶RL系统，U1(s)为输入， U2(s)为输出，求系统频率响应 H(j)。,解：,7.1 系统函数与系统特性,讨论：,7.1 系统函数与系统特性,7.1 系统函数与系统特性,2、离散系统H(z)与系统频率响应：,设H(z)的收敛域包含单位圆，对因果系统，H(z)的极点全部在单位圆内，则系统的频率响应为：,令,则,7.1 系统函数与系统特性,例： 画出系统幅频响应曲线。,因为H(z)的收敛域为 ,故系统频率响应为：,令,把 和 画在z复平面上，如图所示：,解：,7.1 系统函数与系统特性,7.1 系统函数与系统特性,7.2 系统的因果性与稳定性,7.2 系统的因果性与稳定性,一、系统的因
6、果性：,因果系统（连续的或者离散的）指的是，系统的零状态响应 不出现于激励 之前的系统。也就是说，对于t=0(或k=0)接入的任意激励 ，即对于任意的,就称该系统为因果系统，否则为非因果系统。,如果系统的零状态响应都有,7.2 系统的因果性与稳定性,连续因果系统的充分条件：,或者，系统函数H(s)的收敛域为：,离散因果系统的充分条件：,或者，系统函数H(z)的收敛域为：,即其收敛域为收敛坐标 以右的半平面。,即其收敛域为半径等于 的圆外区域。,证明略。,7.2 系统的因果性与稳定性,二、系统的稳定性：,系统的稳定性是系统设计和分析中的关键问题；系统传输函数 H(s) 的零、极点分布与系统的稳定
7、性有密切的关系。,1、稳定系统的定义：,一个系统（连续的或离散的），如果对任意有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(BIBO)稳定系统。,7.2 系统的因果性与稳定性,2、连续系统的稳定性：,（1）连续系统稳定的充分必要条件：, 时域充要条件：,证明：,充分性：,即：,设,7.2 系统的因果性与稳定性,必要性：,令,则, S 域充要条件：,的极点全部在左半开平面。,设,7.2 系统的因果性与稳定性,（2）稳定系统的 S 域判别方法：, 必要条件：, 充分必要条件：,霍尔维兹多项式：所有根均在左半开平面的多项式。,连续系统稳定准则也称为罗斯-霍尔维兹准则。,罗斯阵列：,
8、7.2 系统的因果性与稳定性,( R-H排列 ),7.2 系统的因果性与稳定性,第3行及以后各行计算公式：,罗斯-霍尔维茨准则 ( R-H 准则 )：,若罗斯阵列 ( R-H 排列 ) 第一列元素 ( 第一行至n+1行 ) 的符号相同 ( 全为 “+”号或全为 “-”号 )，则 H(s) 的极点 (A(s)的零点 ) 全部在左半平面，系统稳定。,罗斯阵列：,第一列元素全为正，故系统稳定。,7.2 系统的因果性与稳定性,解：,7.2 系统的因果性与稳定性,解：,罗斯阵列：,当,即，当 时，系统稳定。,7.2 系统的因果性与稳定性,3、离散系统稳定性：,（1）离散系统稳定的充分必要条件：,设系统的
9、单位响应为h(k),充要条件：,7.2 系统的因果性与稳定性,证明：,即：, 充分性：,设, 必要性：,7.2 系统的因果性与稳定性,若 ，则至少有一个有界输入 产生 无界输出 。,若,则,即 无界。,7.2 系统的因果性与稳定性,（2）离散系统稳定性判别：, 离散系统稳定性的Z域充要条件：,若LTI因果离散系统的系统函数H(z)的极点全部在单位圆内，则系统为稳定系统。, 朱里准则：,朱里排列：设 ，z的正幂分式,对系数 排列如下：,7.2 系统的因果性与稳定性,7.2 系统的因果性与稳定性,朱里准则：,上式关于元素的条件就是：各奇数行，其第一个元素必大于最后一个元素的绝对值。,7.2 系统的
10、因果性与稳定性,A(z)=0的所有根都在单位圆内的充要条件是：,7.2 系统的因果性与稳定性,例： 判断系统是否稳定。,解：,朱里阵列：,由上表可见：,根据朱里准则可知，系统稳定。,7.3 信号流图,7.3 信号流图,一、连续系统的方框图表示,方框图表示：,系统的串联：,(a) 时域:,若 为因果信号.,(b) S域:,7.3 信号流图,系统的并联：,(a) 时域:,(b) S域:,若 为因果信号.,7.3 信号流图,例：LTI连续系统的框图如下，求描述系统的微分方程。,系统方程：,解：,7.3 信号流图,式代入式：,由单边拉氏变换的时域微分性质，得：,二、连续系统的信号流图表示：,(1) 用
11、点表示信号 (变量)：,(2) 用有向线段表示信号方向和传输函数：,1. 信号流图的有关规定：,7.3 信号流图,(3) 基本规则：,7.3 信号流图,2、系统的信号流图表示：,可用信号流图表示系统框图等：,例：LTI连续系统的框图如下，画出系统的信号流图。,7.3 信号流图,一般步骤：,(1) 选输入、输出、积分器输出、加法器输出为变量；,(2) 建立变量间的传输关系和传输函数，根据变量间的传输关系和信号流图的规定画信号流图。,3、由信号流图求系统函数梅森公式（Masons rule）,(1) 流图术语：,支路：两点间的有向线段称一条支路；,通路：从某一节点出发，沿支路方向，连续经过节点 和
12、支路到达另一节点，所经过的路径称通路；,开路：从一节点到达另一节点，并且节点不重复的通 路称为开路；,7.3 信号流图,环：从一节点出发，经过节点和支路又回到该节点的闭合通路称为环或回路；,开路传输函数：组成一条开路的所有支路传输函数的乘积称为该条开路的传输函数, pi；,环传输函数：组成一个环的所有支路传输函数的乘积 称为该环的环传输函数, Li。,(2) 梅森公式：,设,则：,7.3 信号流图,其中：称为流图行列式（特征行列式）, 流图中所有环传输函数 之和；,除去第i条开路，剩余流图的流图行列式；, 流图中所有两两不相接触的环传输 函数乘积之和；,流图中所有三个不相接触环的环传 输函数乘
13、积之和；,从 F(s) 到 的所有开路数。,由 F(s)到 的第i条开路的传输函数；,7.3 信号流图,例1：求 H(s)。,解：,7.3 信号流图,例2：求 H(s)。,解：,7.3 信号流图,三、离散系统的方框图表示：,1、简单的方框图表示：,2、系统的串、并联：（LTI因果系统）,串联：,设串联复合系统的冲激响应为 ，,则,7.3 信号流图,并联：,设并联复合系统的冲激响应为 ，,则,7.3 信号流图,3、用基本运算器表示系统：,7.3 信号流图,例1：图示离散系统，求系统差分方程。,解：,系统差分方程为：,由加法器输出端可列出方程：,7.3 信号流图,例2：图示离散系统，求系统差分方程
14、,解：,设左边加法器输出为X(z),由两个加法器可得方程：,-（1）,-（2）,7.3 信号流图,（1）式代入（2）式得：,7.3 信号流图,四、离散系统的信号流图表示：,1、框图表示与信号流图对应关系：,7.3 信号流图,2、信号流图规则：同于连续系统信号流图规则,7.3 信号流图,3、从框图表示到信号流图表示：,方法：,（2）根据信号流图规定和框图中信号传输关系画出信号流图。,（1）选输入、输出、加法器输出、单位延迟器输出为变量，用点表示；,例：LTI离散系统的框图如下，画出系统的信号流图。,7.3 信号流图,4、梅森公式：,设LTI离散系统的输入为 ，零状态响应为,（单边Z变换对）,：流
15、图行列式（特征行列式）,：除去第 条开路后剩余流图的流图行列式；,：第 条开路的开路传输函数；,：从 到 的开路数。,其中：,7.3 信号流图,例：图示离散系统，求系统函数H(z)。,（1）流图的环传输函数 及 ：,两个不接触环的环传输函数：,解：,7.3 信号流图,（2）流图的开路传输函数 及 ：,（3）由梅森公式求,7.4 系统的结构,7.4 系统的结构,一、连续系统的模拟由 H(s) 到信号流图、框图：,1、 直接形式：,由梅森公式：流图包含两条开路，一个环。,解：,（形式1）,由梅森公式：流图包含3条开路和两个相接触环。,7.4 系统的结构,（形式2）,解：,7.4 系统的结构,（形式2）,（形式1）,2. 串联形式：,例：,7.4 系统的结构,3. 并联形式：,例：,7.4 系统的结构,7.4 系统的结构,7.4 系统的结构,二、离散系统的模拟由 H(z) 到信号流图、框图：,例1： 已知系统函数 ，画出系统框图。,设,解：,7.4 系统的结构,由上式得框图：,例2：已知系统函数 ，求系统框图。,设,解：,7.4 系统的结构,-（1）,引入辅助函数 x(k)，令,-（2）,（2）式代入（1）式，比较等式两边得,-（3）,7.
