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1、第十八章：平行四边形,复习课,四 边 形,平行四边形,一 般 四 边 形,一般的平行四边形,特 殊 的平行四边形,菱 形,矩 形,正方形,平 行 四 边 形,性质,文字语言叙述,几何符号表述,对边平行且相等,对角相等，邻角互补,对角线互相平分,AB=CD AD=BC,A=C， B=D,OA=OC OB=OD,判别,两组对边分别平行的,两组对边分别相等的,一组对边平行且相等的,对角线互相平分的,四 边 形,在四边形ABCD中,ABCD ADBC,AB=CD ABCD,两组对角相等的,练一练,1、在 ABCD中，已知AB=8，AO=3，B=50 则CD=_，AC=_ A=_， D=_,2、在 AB
2、CD中， A+ C= 150那么 A=_，D=_,3、在 ABCD中， A:B= 5:4，那么 B=_，C=_,4、请在横线上写出结论，在括号里填理由 四边形ABCD是平行四边形 _( ),8,130,6,75,50,105,80,100,平行四边形的特征(5个,详见前知识点),矩 形,定义：,有一个内角是直角的平行四边形是矩形,性质,对称性：是轴对称图形,判别,（2）有三个角都是直角的四边形,（4）对角线互相平分且相等的四边形,（1）有一个角是直角的平行四边形,（3）对角线相等的平行四边形,边：对边平行且相等,对角线： 对角线相等且互相平分,角：四个角都是直角,1、如图，在矩形ABCD中，A
3、C、BD相交于点O， AOB= 60，AB=6，则AC=_,练一练,2、已知矩形的周长是24，相邻两边之比是1：2，那么这个矩形的面积是_,3、矩形的两条对角线的夹角为60，一条对角线与短边的和为15，则短边长为_,4、请在横线上写出原因，在括号里填理由 四边形ABCD是矩形 _ ( ),12,32,5,5、矩形具有而一般的平行四边形不具有的性质是( ) A、对角相等 B、对边相等 C、对角线相等 D、对角线互相平分,6、把一张长方形的纸条按图那样折叠，若得到 AME70o ，则EMN（ ） A、45o B、50o C、55o D、60o,7、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的
4、F点处， 如果BAF=60，那么DAE等于（ ） A15 B30 C45 D60,A,C,C,菱 形,性质,判别,有一组邻边相等的平行四边形,四条边都相等的四边形,对角线互相垂直平分的四边形,对角线互相垂直的平行四边形,菱形,边：四条边都相等，对边平行,对角线： 对角线互相垂直平分,对称性：即是轴对称图形， 又是中心对称图形,角：对角相等，邻角互补,1、如图，在菱形ABCD中，AB=10，OA=8，OB=6，则菱形的周长是_，面积是_,2、如图，在菱形ABCD中， B= 120，则 DAC=_,3、菱形的一个内角为120，较短的对角线长为10，那么菱形的周长是_,96,40,30,40,练一练
5、,4、菱形有而一般的平行四边形不具有的性质是( ) A、对角相等 B、对角线互相平分 C、对边平行且相等 D、对角线互相垂直,5、如图，小强拿一张正方形的纸（图(1)），沿虚线对折 一次得图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3） 中的虚线剪成两部分，再把所得的三角形的部分打开后的 形状一定是（ ） A一般的平行四边形 B、菱形 C、矩形 D、正方形,(1),(2),(3),D,B,正 方 形,定义：一组邻边相等且有一个角是直角的四边形叫正方形,性质,判别,先判定四边形是矩形；再判定这个矩形是菱形,先判定四边形是菱形；再判定这个菱形是矩形,对称性：即是轴对称图形又是中心对称图形,边：
6、四条边都相等，对边平行,对角线： 对角线相等且互相垂直平分,角：四个角都是直角,练一练,1、如图，已知正方形ABCD对角线交于点O，则BOC=_,2、如图，以定点A、B为其中两个顶点作为正方形，一共可以作（ ） A、4个 B、3个 C、2个 D、1个,A,B,B,90,三角形的中位线的性质： 三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半。,数学语言：,在ABC中，D 、E分别 是AB 、AC的中点. DEBC, DE= BC,平行四边形,矩形,菱形,正方形,平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系,三、特殊四边形的常用判定方法,平行 四边形,（1）两组对边分别平行；,（2）两组对边分别相等；,
7、（4）对角线互相平分；,（5）一组对边平行且相等,矩 形,（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；,（2）有三个角是直角的四边形是矩形；,（3）对角线相等的平行四边形是矩形。,菱 形,（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；,（2）四条边都相等的四边形是菱形；,（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。,正方形,（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；,（3）有一个角是直角的菱形是正方形。,分别相等;,（1）有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；,巩固练习,（一）判断题：,1.平行四边形的对角线相等； （ ）,2.矩形的四个角都相等； （ ）,3.菱形的对角线互相垂直平分； （ ）,4
8、.有一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形； （ ）,5.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （ ）,6.对角线相等的四边形是矩形； （ ）,（二）选择题：,D,B,D,B,C,B,D,典型例题：,证法1：四边形ABCD是平行四边形 BC=AD，1=2 在BCE与DAF中 BC=AD 1=2 CE=AF BCEDAF BE=DF， 3=4 BEDF,猜想：BEDF,BE=DF,证法2： 连接BD，交AC于点O，连接DE,BF 四边形ABCD是平行四边形 BO=OD, AO=CO 又AF=CE AF-AO=CE-CO 即EO=FO 四边形BEDF是平行四边形 BE=DF， BEDF,例
9、2如图，在ABC中，AB=AC,ADBC,垂足为点D，AN是三角形外角 CAM的平分线， CEAN,垂足为点E. （1）求证：四边形为矩形； （2）当满足什么条件时，四边形是正方形？ 证明你的结论。,走进中考,A,B,C,D,E,F,证法1：四边形ABCD是平行四边形 BC=AD，1=2 在BCE与DAF中 BC=AD 1=2 CE=AF BCEDAF BE=DF， 3=4 BEDF,1,2,3,4,猜想：BEDF,BE=DF,证法2： 连接BD，交AC于点O，连接DE,BF 四边形ABCD是平行四边形 BO=OD, AO=CO 又AF=CE AE=CF EO=FO 四边形BEDF是平行四边形
10、 BE=DF， BEDF,o,典例2 如图1，2所示，将一张长方形的纸片 对折两次后，沿图3中的虚线AB剪下， 将AOB完全展开 (1)画出展开图形，判断其形状， 并证明你的结论； (2)若按上述步骤操作，展开图形 是正方形时，请写出AOB应满足的条件,(1)展开图如图所示，它是菱形 证明：由操作过程可知 OA=OC，OB=OD， 四边形ABCD是平行四边形 又 OAOB，,即ACBD， 四边形ABCD是菱形 (2)AOB中，ABO=45 (或BAO=45或OA=OB),BM,AB,证明：,把正方形ABCD绕着点A，按顺时针 方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交 于点H（如图）。 试问线
11、段HG与线段HB相等吗？ 请先观察猜想，然后再证明你的猜想。,典例4,证法2：连结GB 四边形ABCD，AEFG都是正方形 ABC=AGF=90 由题意知AB=AG AGB=ABG ABC-ABG =AGF-AGB 即HBG=HGB HG=HB,认真想 准确填,1.两组对角分别相等的四边形是 。 2.对角线互相垂直、平分且相等的 四边形是 。 3.四边形绕其对角线交点旋转90度后与原四边形重合，这个四边形是 。 4.用一根较长的绳子怎样检验方桌面是否为矩形？ 。,平行四边形,正方形,正方形,仔细观 细心算,1.菱形对角线长为4cm、8cm，其边长为 cm，面积为 cm 2.如图，延长正方形AB
12、CD的边BC到E，使CE=CA，连接AE交DC于F，则E= ，AFC= 。,16,22.5,112.5,证明： 四边形ABCD是正方形 B=900 ACB=450 AEF=900 AB=AE， AF=AF ABFAFE（HL） BF=EF 又FEC=900 EFC=450 EC=EF（等角对等边） BF=EF=EC,典例6 已知如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC=6，BD=8，求菱形的高。,A,B,C,D,O,E,解：,作边BC上的高AE,AC与BD垂直平分,AC=6， BD=8,CO=3，BO=4,BC=5,BCAE=1/2ACBD,5AE=1/268,AE=4.8,等式左右
13、两边都表示这个菱形的面积 。,典例7 如图,E为菱形ABCD边BC上的一点，AB=AE，AE交BD于F，DAE=2BAE (1)求证：EB=FA (2)求ABC的度数。,A,B,C,D,E,F,(1)证明,AD/BC,1=BAE,1,AE=AB, 1=ABC,ABC=DAE=2BAE,BAE=DBE=ADB,ABEDAF,BE=AF,(2)解：,设BAE为x，则ABE=AEB=2x,x+2x+2x=180,x=36,ABC=72,典例8、在正方形ABCD中，F是CD上的点，E是BC延长线上的点，CE=CF 求证：BF=DE,A,B,C,D,E,F,证明：,四边形ABCD是正方形,BC=DC B
14、CD=DCE,又CF=CE,BCFDCE,BF=DE,典例9 过正方形ABCD对角线BD上的一点P，作PEBC于E，PFCD于F 求证：AP=EF,P ,A,B,C,D,E,F,证明：,连结AC、PC,正边形ABCD是正方形,BD垂直且平分AC,PA=PC, PEBC， PFCD，BCD=90,四边形PECF是矩形,EF=PC,AP=EF,典例10、如图，在正方形ABCD中，M是BC上一点，N是CD上一点，且MCN的周长等于正方形周长的一半， 求MAN的度数。,A,B,C,D,M,N,F,提示：延长ND至F，使得 DF=BM，连结AF 证明ANFANM,从而得出：FAN=NAM； FAN+NAM=90 最后得出MAN=45 ,
