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1、直线的两点式,y=kx+b,y- y0 =k(x- x0 ),k为斜率， P0(x0 ,y0)为直线上的一定点,k为斜率，b为截距,1). 直线的点斜式方程：,2). 直线的斜截式方程：,回顾,解：设直线方程为：y=kx+b,例1.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程,一般做法：,由已知得：,解方程组得：,所以:直线方程为: y=x+2,方程思想,还有其他做法吗？,为什么可以这样做，这样做的根据是什么？,即：,得: y=x+2,设P(x,y)为直线上不同于P1 , P2的动点,与P1(1,3)P2(2,4)在同一直线上,根据斜率相等可得：,直线的两点式方程,已知两点P1
2、 ( x1 , y1 ),P2(x2 , y2),求通过这两点的直线方程,解：设点P(x,y)是直线上不同于P1 , P2的点,可得直线的两点式方程：, kPP1= kP1P2,记忆特点：,1.左边全为y，右边全为x,2.两边的分母全为常数,3.分子，分母中的减数相同,推广,不是!,1、是不是已知任一直线中的两点就能用两点式 写出直线方程呢？,两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线,注意：,当x1 x2或y1= y2时,直线P1 P2没有两点式程.(因为x1 x2或y1= y2时,两点式的分母为零,没有意义),2、那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢?,？,思考,3、 若点P1 (x
3、1 , y1 ),P2( x2 , y2)中有x1 x2,或y1= y2,此时过这两点的直线方程是什么?,当x1 x2 时方程为： x x,当 y1= y2时方程为： y = y,例2:已知直线 l 与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a0,b0,求直线l 的方程,解:将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式, 得:,即,所以直线l 的方程为：,直线的截距式方程,截距可是正数,负数和零,注意：,不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线,直线与 x 轴的交点(a, o)的横坐标 a 叫做直线在 x 轴上的截距,是不是任意一条直线都有其截距式方程呢?,截距式直线方
4、程:,直线与 y 轴的交点(0, b)的纵坐标 b 叫做直线在 y 轴上的截距, 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条?,解: 两条,例3:,2、截距为0时,y=2x,所以直线方程为：x+y-3=0,a=3,把(1,2)代入得：,设:直线的方程为:,举例,1、截距不为0时,解：三条（也分为截距为0和部位0两种情况）,(2) 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?,解得：a=b=3或a=-b=-1,直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x,设,截距可是正数,负数和零,例4:已知角形的三个顶点是A(5，0)， B(3，3)，C(0，2)，求BC边
5、所在的直线 方程，以及该边上中线的直线方程.,解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：,整理得：5x+3y-6=0,这就是BC边所在直线的方程.,举例,BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为：,即,整理得：x+13y+5=0 这就是BC边上中线所在的直线的方程.,过A(-5,0),M 的直线方程,M,中点坐标公式：,则,若P1 ，P2坐标分别为( x1 ，y1 ), (x2 ，y2) 且中点M的坐标为(x, y).,B(3,-3),C(0,2) M,即 M,已知直线l :2x+y+3=0,求关于点A(1,2)对称的直线l 1的方程.,解：当x=0时
6、,y=3.点(0,-3)在直线l上,关于(1,2)的对称点为(2,7).,当x=-2时,y=1. 点(-2,1)在直线l上,关于(1,2)的对称点为(4,3). 那么,点 (2,7) ,(4,3)在l 1上.,因此,直线l 1的方程为：,化简得: 2x + y -11=0,思考题,还有其它的方法吗？, l l 1，所以l 与l 1的斜率相同, kl1=-2,经计算，l 1过点(4,3),所以直线的点斜式方程为：y-3=-2(x-4),化简得： 2x + y -11=0,直线方程的四种具体形式,归纳,(1) 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x , y的二元一次方程表示吗？ (2) 每
7、一个关于x , y的二元一次方程都表示直线吗？,分析1：直线方程 二元一次方程,（2）当斜率不存在时L可表示为 x - x0=0,亦可看作y的系数为0的二元一次方程. (x-x0+0y=0),结论1：平面上任意一条直线都可以用一个关于 x , y 的二元一次方程表示.,(1) 当斜率存在时L可表示为 y=kx+b 或 y - y0 = k ( x - x0 ) 显然为二元一次方程.,即：对于任意一个二元一次方程 Ax+By+C=0 (A.B不同时为0)，判断它是否表示一条直线？,（2）当B=0时，因为A,B不同时为零，所以A一定不为零,于是方程可化为 ，它表示一条与 y 轴平行或重合的直线.,
8、结论2: 关于 x , y 的二元一次方程,它都表示一条直线.,分析2：直线方程 二元一次方程,由分析1，2可知： 直线方程 二元一次方程,定义：我们把关于 x , y 的二元一次方程 Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0) 叫做直线的一般式方程，简称一般式.,定义,注意：一般式中， x的系数为正； A、B、C一般不为分数； 先写x项，再写y项，最后写常数项,在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线 （1）平行于x轴：（2）平行于y轴： （3）与x轴重合：（4）与y轴重合：,分析: (1)直线平行于x轴时,直线的斜率不存在,在x轴上的截距不为0即 A=0 , B 0,
9、C 0.,(2) B=0 , A 0 , C 0. (3) A=0 , C=0 , B 0. (4) B=0 , C=0 , A 0.,探究,例 1 已知直线过点A(6，4)，斜率为 ,求直线的点斜式和一般式方程.,解：代入点斜式方程有 y+4= (x-6). 化成一般式，得 4x+3y-12=0.,举例,例2 把直线L的一般式方程 x-2y+6=0 化成斜截式,求出L的斜率以及它在x轴与y轴上的截距,并画出图形.,解：化成斜截式方程 y= x+3 因此，斜率为k= ,它在y轴上的截距是3. 令y=0 得x=6.即L在x轴上的截距是6. 由以上可知L与x 轴,y轴的交点 分别为A(-6，0)B
10、(0，3),过 A，B做直线,为L的图形.,举例,m , n 为何值时,直线mx+8y+n=0和2x+my-1=0垂直?,解:（1）若两条直线的斜率都存在，则m不等于0， 且两条直线的斜率分别为 但由于 所以两条直线不垂直.,（2）若m=0，则两条直线中一条直线的斜率为0，另一条斜率不存在，这时两条直线垂直，方程分别为,综上知：m=0，n为全体实数时，两条直线垂直.,点评:分类讨论思想的运用,如不分类将找不到正确答案.,练习,3)中点坐标：,1)直线的两点式方程,2) 直线方程的一般式Ax+By+C=0,小结,直线的截距式方程：,五种形式的直线方程的对比,求直线方程的几种形式 例 1：已知直线
11、 l 经过点 A(5,6)和点 B(4,8)，求直线的 一般式方程、斜截式方程及截距式方程，并画图,求直线方程时，结果在未作要求的情况下 一般都整理成一般式把一般式化为截距式时方法有两种： 分别令 x0，y0 求 b 和 a；移常数项，如 AxByC， 两边同除以C(C0)，再整理成截距式的形式 11.已知直线 mxny120 在 x 轴、y 轴上的截距分别 是3 和 4，求 m、n 的值,利用一般式方程求斜率,例 2：已知直线 AxByC0(A、B 不全为 0). (1)当 B0 时，斜率是多少？当 B0 时呢？ (2)系数取什么值时，方程表示通过原点的直线？,当 B0 时，直线 AxByC
12、0 的斜率是,一般式化为斜截式后求解,21.设直线 l 的方程为(m22m3)x(2m2m1)y6,2m0，根据下列条件分别确定实数 m 的值,(1)l 在 x 轴上的截距是3； (2)斜率是1.,1过点 A(2,3)和点 B(2，3)的直线的一般式方程是( ）,B,Ax2 Cy2,Bx20 Dy20,C,2斜率为 k 且过原点的直线的一般式方程是( ） Aykx Bxky0 Ckxy0 Dkxy0,练习：,3直线 l 的方程为 AxByC0，若 l 过原点和二、四象,限，则(,),D,解析：l 过原点，C0，又 l 过二、四象限，,4直线 2xy70 在 x 轴上的截距为 a，在 y 轴上的
13、截,),D,距为 b，则 a、b 的值是( Aa7，b7,思考：,若方程 表示一条直线，求实数m的取值范围,解：若方程表示一条直线，则 与 不能同时成立.,由: 得:,所以m的 取值范围是：,如果直线 l 经过点 P(2,1)，且与两坐标轴围成的三角,形面积为 S.,(1)当 S3 时，这样的直线 l 有多少条，并求直线的方程； (2)当 S4 时，这样的直线 l 有多少条，并求直线的方程； (3)当 S5 时，这样的直线 l 有多少条，并求直线的方程； (4)若这样的直线 l 有且只有 2 条，求 S 的取值范围； (5)若这样的直线 l 有且只有 3 条，求 S 的取值范围； (6)若这样的直线 l 有且只有 4 条，求 S 的取值范围,思考：,思维突破：本题主要考查直线方程、一元二次方程以及不 等式的基础知识，因为关系到直线与两坐标轴围成的三角形面,
