《复变函数论.》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数论.（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、复变函数论,主讲：王明华,1复数,1、复数域,2、复平面,3、复数的模与辐角,4、复数的乘幂与方根,5、公轭复数,3复变函数,1、复变函数的概念,4、复球面与无穷远点,3、复变函数的连续性,2、复变函数的极限,6、复数在集合上的应用,2复平面上的点集,1、平面点集的基本概念,2、 区域与曲线,第一章 复数与复变函数,第一章 复数与复变函数,1复数,。,1、复数域：,复数z1=x1+iy1和z2=x2+iy2相等是指它们的实部与虚部分别相等。 如果Imz=0，则z可以看成一个实数；如果Imz0，那么z称为一个虚数；如果Imz0，而Rez=0，则称z为一个纯虚数。,2、复平面：,复数的四则运算定义
2、为：设z1=x1+iy1和z2=x2+iy2,复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C。,C也可以看成平面 R2，我们称为复平面。 作映射： 则在复数集与平面R2之间建立了一个1-1对应。 横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等。,复数可以等同于平面中的向量，z=x+iy。 引进了复平面后，我们在“数”和“点”之间建立了联系。为了方便起见，今后我们不在区分“数”和“点”。,3、复数的模与辐角,、,设z1、z2是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：,注意1：,那么z的全部辐角为,注意2：,当z=0时，辐角不确定，没有辐角。,
3、辐角主值的定义：,，,解:,我们分别称(1.6)、(1.9)为非零复数的三角形式和指数形式. 利用 复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法： 设z1、z2是两个非零复数，则有,则有,即 ，,其中后一个式子应理解为集合相等。,同理，对除法，有,即,，,其后一个式子也应理解为集合相等。,4、复数的乘幂与方根 41 乘幂,两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和。,当r=1时，则得De Moivre公式：,42 开方,。,例2：求,解：,5、公轭复数,注：,，,例3.证明,证明：,6、复数在集合上的应用,6.1 曲线的复方程,1) 、连接z1和z2两点
4、的线段:,过z1和z2两点的直线:,注:,4)、射线,6.2 用复数证明几何问题,证明:,为等边,2复平面上的点集,1、平面点集的基本概念,1.1 原始概念-距离,1.2 基础概念-领域,1.3 点与点集关系概念,注: 聚点的其他三个等价定义,注:,2、 区域与曲线,2.1 区域,定义6: 若E的所有点为内点的,则E为开集. 若E的所有聚点均属于E ,则E为闭集.,定义7: 点集E，如果满足：,（1）是开集；,（2） E中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来， 而使这条折线上的点完全属于E 。 (或连通),例,2.2曲线,，那么上述集合称为一条简单连续曲线，或若尔当曲线。若还有z
5、(a)=z(b)，则称为一条 简单连续闭曲线，或若尔当闭曲线。,定理1(若尔当定理)：任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区 域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。,光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区间a,b上连续，且有连续的导函数，在a,b上，,设D是一个区域，在复平面C上，如果D内任何简单闭曲线的内区域中每一点都 属于D，则称D是单连通区域，否则称D是多连通区域。,2.3 几个重要的定理 定理2: 有界无穷点集必有聚点 定理3: (闭集套定理) 定理4: 有界闭域存在有限覆盖,3复变函数,1、复变函数的概念,例：,单值函数,多值函数,注 1：若无声明，一般均指单值函数,1.2 几何表示,解：因为,所以,1) 以原点为心，2为半径，在第一象限里的圆弧,3) 双曲线,解：设,则,从而,2、复变函数的极限,注3：复变函数极限有与实变函数类似性质： 唯一性、局部有解性、局部保号性、四则运算。,注4：,定理1：设,则,证明：,由此即证。,解：当z沿直线y=mx趋于0时有,3、复变函数的连续性,注5：复变函数连续与实变函数类似性质： 局部有解性、局部保号性、四则运算连续性、复合函数的连续性,4、复球面与无穷远点,1扩充复平面：复平面+无穷远点,2扩充复平面解析集合模型：复球面,我们称上面的映射为球极射影。,本章完,
