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1、第二十四章圆241圆的有关性质24. 1. 1圆1了解圆的基本概念，并能准确地表示出来2. 理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等重点：与圆有关的概念难点：圆的有关概念的理解一、自学指导(10分钟)自学：研读课本P7980内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题探究：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做_圆_，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做_半径_用集合的观点叙述以O为圆心，r为半径的圆，可以说成是到定点O的距离为_r_的所有的点的集合连接圆上任意两点的_线段_叫做弦，经过圆心的弦叫做_直径_；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；
2、圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做_优弧_，小于半圆的弧叫做_劣弧_二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(3分钟)1以点A为圆心，可以画_无数_个圆；以已知线段AB的长为半径可以画_无数_个圆；以点A为圆心，AB的长为半径，可以画_1_个圆点拨精讲：确定圆的两个要素：圆心(定点)和半径(定长)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小2到定点O的距离为5的点的集合是以_O_为圆心，_5_为半径的圆一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(5分钟)1O的半径为3 cm，则它的弦长d的取值范围是_0d6_点拨精讲：直径
3、是圆中最长的弦2O中若弦AB等于O的半径，则AOB的形状是_等边三角形_点拨精讲：与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型3如图，点A，B，C，D都在O上在图中画出以这4点为端点的各条弦这样的弦共有多少条？解：图略.6条二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(15分钟)1(1)在图中，画出O的两条直径；(2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形判断这个四边形的形状，并说明理由解：矩形理由：由于该四边形对角线互相平分且相等，所以该四边形为矩形作图略点拨精讲：由刚才的问题思考：矩形的四个顶点一定共圆吗？2一点和O上的最近点距离为4 cm，最远点距离为10 c
4、m，则这个圆的半径是_3_cm或7_cm_点拨精讲：这里分点在圆外和点在圆内两种情况3如图，图中有_1_条直径，_2_条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有_4_条，劣弧有_4_条点拨精讲：这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数 ,第3题图),第4题图)4如图，O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一直线上，图中弦的条数为_2_点拨精讲：注意紧扣弦的定义5如图，CD为O的直径，EOD72，AE交O于B，且ABOC，求A的度数解：24.点拨精讲：连接OB构造三角形，从而得出角的关系,第5题图),第6题图)6如图，已知AB是O的直径，点C在O上，点D是BC的中点，若AC10
5、cm，求OD的长解：5 cm.点拨精讲：这里别忘了圆心O是直径AB的中点学生总结本堂课的收获与困惑(2分钟)1圆的定义、圆的表示方法及确定一个圆的两个基本条件2圆的相关概念：(1)弦、直径；(2)弧及其表示方法；(3)等圆、等弧学习至此，请使用本课时对应训练部分(10分钟)241.2垂直于弦的直径1圆的对称性2通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论3能运用垂径定理及其推论进行计算和证明重点：垂径定理及其推论难点：探索并证明垂径定理一、自学指导(10分钟)自学：研读课本P8183内容，并完成下列问题1圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心
6、2垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：AB经过圆心O且与圆交于A，B两点；ABCD交CD于E，那么可以推出：CEDE；.3平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧点拨精讲：(1)画图说明这里被平分的弦为什么不能是直径(2)实际上，当一条直线满足过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，这五个条件中的任何两个，就可推出另外三个二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(6分钟)1在O中，直径为10 cm，圆心O到AB的距离为3 cm，则弦AB的长为 _8_cm_2在O中，直径为10 cm，弦AB的长为8 cm，则圆心O到A
7、B的距离为_3_cm_点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个3O的半径OA5 cm，弦AB8 cm，点C是AB的中点，则OC的长为_3_cm_点拨精讲：已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂线是常用的辅助线4某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少米？(8米)点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(6分钟)1AB是O的直径，弦CDAB，E为垂足，若AE9，BE1，求CD的长解：6.点拨精讲：常用辅助线：连接半径，由半径、半弦
8、、弦心距构造直角三角形2O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为_3_，最大值为_5_点拨精讲：当OM与AB垂直时，OM最小(为什么)，M在A(或B)处时OM最大3如图，线段AB与O交于C，D两点，且OAOB.求证：ACBD.证明：作OEAB于E.则CEDE.OAOB，OEAB，AEBE，AECEBEDE.即ACBD.点拨精讲：过圆心作垂线是圆中常用辅助线二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(10分钟)1在直径是20 cm的O中，AOB的度数是60，那么弦AB的弦心距是_5_cm.点拨精讲：这里利用60角构造等边三角形，从而得出弦
9、长2弓形的弦长为6 cm，弓形的高为2 cm，则这个弓形所在的圆的半径为_cm.3如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点求证：ACBD.证明：过点O作OEAB于点E.则AEBE，CEDE.AECEBEDE.即ACBD.点拨精讲：过圆心作垂径4已知O的直径是50 cm，O的两条平行弦AB40 cm，CD48 cm，求弦AB与CD之间的距离解：过点O作直线OEAB于点E，直线OE与CD交于点F.由ABCD，则OFCD.(1)当AB，CD在点O两侧时，如图.连接AO，CO，则AOCO25 cm，AE20 cm，CF24 cm.由勾股定理知OE15 cm，OF7 cm.EFO
10、EOF22 (cm)即AB与CD之间距离为22 cm.(2)当AB，CD在点O同侧时，如图，连接AO，CO.则AOCO25 cm，AE20 cm，CF24 cm.由勾股定理知OE15 cm，OF7 cm.EFOEOF8 (cm)即AB与CD之间距离为8 cm.由(1)(2)知AB与CD之间的距离为22 cm或8 cm.点拨精讲：分类讨论，AB，CD在点O两侧，AB，CD在点O同侧学生总结本堂课的收获与困惑(3分钟)1圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴2垂径定理及其推论以及它们的应用学习至此，请使用本课时对应训练部分(10分钟)241.3弧、弦、圆心角1. 通过学习圆的旋转性，理
11、解圆的弧、弦、圆心角之间的关系2. 运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题重点：圆的弧、弦、圆心角之间的关系定理难点：探索推导定理及其应用一、自学指导(10分钟)自学：自学教材P8384内容，回答下列问题探究：1顶点在_圆心_的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做_等圆_；能够_重合_的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合，这就是圆的_旋转性_2在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_相等_，所对的弦也_相等_3在同圆或等圆中，两个_圆心角_，两条_弦_，两条_弧_中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等4在O中，AB，CD是两条弦，(1)如果ABCD，那么_，_AOBCO
12、D_；(2)如果，那么_ABCD_，_AOBCOD；(3)如果AOBCOD，那么_ABCD_，_二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(6分钟)1如图，AD是O的直径，ABAC，CAB120，根据以上条件写出三个正确结论(半径相等除外)(1)_ACO_ABO_；(2)_AD垂直平分BC_；(3).2如图，在O中，ACB60，求证：AOBBOCAOC.证明：，ABAC.又ACB60，ABC为等边三角形，ABACBC，AOBBOCAOC.,第2题图),第3题图)3如图，(1)已知.求证：ABCD.(2)如果ADBC，求证：.证明：(1)，ABCD.(2)ADBC，即.一、小组合作：
13、小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(7分钟)1O中，一条弦AB所对的劣弧为圆周的，则弦AB所对的圆心角为_90_点拨精讲：整个圆周所对的圆心角即以圆心为顶点的周角2在半径为2的O中，圆心O到弦AB的距离为1，则弦AB所对的圆心角的度数为_120_3如图，在O中，ACB75，求BAC的度数解：30.,第3题图),第4题图)4如图，AB，CD是O的弦，且AB与CD不平行，M，N分别是AB，CD的中点，ABCD，那么AMN与CNM的大小关系是什么？为什么？点拨精讲：(1)OM，ON具备垂径定理推论的条件(2)同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等解：AMNCNM.ABCD，M，N为AB，CD中点，OMON，OMAB，ONCD，OMAONC，OMNONM，OMAOMNONCONM.即AMNCNM.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(10分钟)1如图，AB是O的直径，COD35，求AOE的度数解：75.,第1题图),第2题图)2如图所示，CD为O的弦，在CD上截取CEDF，连接OE，OF，它们的延长线交O于点A，B.(1)试判断OEF的形状，并说明理由；(2)求证：.解：(1)OEF为
