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1、第二十四章 圆 241 圆的有关性质 24. 1. 1 圆 1了解圆的基本概念，并能准确地表示出来 2. 理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等 重点：与圆有关的概念 难点：圆的有关概念的理解 一、自学指导(10 分钟) 自学：研读课本 P7980 内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题 探究： 在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫 做_圆_，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做_半径_ 用集合的观点叙述以 O 为圆心，r 为半径的圆，可以说成是到定点 O 的距离为_r_的所有 的点的集合 连接圆上任意两点的_
2、线段_叫做弦，经过圆心的弦叫做_直径_；圆上任意两点间的部 分叫做圆弧；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫 做_优弧_，小于半圆的弧叫做_劣弧_ 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(3 分钟) 1以点 A 为圆心，可以画_无数_个圆；以已知线段 AB 的长为半径可以画_无数_个圆； 以点 A 为圆心，AB 的长为半径，可以画_1_个圆 点拨精讲：确定圆的两个要素：圆心(定点)和半径(定长)圆心确定圆的位置，半径确定圆的 大小 2到定点 O 的距离为 5 的点的集合是以_O_为圆心，_5_为半径的圆 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，
3、小组活动后，小组代表展示活动成果(5 分钟) 1O 的半径为 3 cm，则它的弦长 d 的取值范围是_0d6_ 点拨精讲：直径是圆中最长的弦 2O 中若弦 AB 等于O 的半径，则AOB 的形状是_等边三角形_ 点拨精讲：与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型 3如图，点 A，B，C，D 都在O 上在图中画出以这 4 点为端点的各条弦这样的弦共有多 少条？ 解：图略.6 条 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(15 分钟) 1(1)在图中，画出O 的两条直径； (2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形判断这个四边形的形状，并说明理由 解：矩形理由
4、：由于该四边形对角线互相平分且相等，所以该四边形为矩形作图略 点拨精讲：由刚才的问题思考：矩形的四个顶点一定共圆吗？ 2一点和O 上的最近点距离为 4 cm，最远点距离为 10 cm，则这个圆的半径是_3_cm 或 7_cm_ 点拨精讲：这里分点在圆外和点在圆内两种情况 3如图，图中有_1_条直径，_2_条非直径的弦，圆中以 A 为一个端点的优弧有_4_条，劣 弧有_4_条 点拨精讲：这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数 ,第 3 题图) ,第 4 题图) 4如图，O 中，点 A，O，D 以及点 B，O，C 分别在一直线上，图中弦的条数为_2_ 点拨精讲：注意紧扣弦的定义
5、5如图，CD 为O 的直径，EOD72，AE 交O 于 B，且 ABOC，求A 的度数 解：24. 点拨精讲：连接 OB 构造三角形，从而得出角的关系 ,第 5 题图) ,第 6 题图) 6如图，已知 AB 是O 的直径，点 C 在O 上，点 D 是 BC 的中点，若 AC10 cm，求 OD 的长 解：5 cm. 点拨精讲：这里别忘了圆心 O 是直径 AB 的中点 学生总结本堂课的收获与困惑(2 分钟) 1圆的定义、圆的表示方法及确定一个圆的两个基本条件 2圆的相关概念：(1)弦、直径；(2)弧及其表示方法；(3)等圆、等弧 学习至此，请使用本课时对应训练部分(10 分钟) 241.2 垂直
6、于弦的直径 1圆的对称性 2通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论 3能运用垂径定理及其推论进行计算和证明 重点：垂径定理及其推论 难点：探索并证明垂径定理 一、自学指导(10 分钟) 自学：研读课本 P8183内容，并完成下列问题 1圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中 心为圆心 2垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：AB 经过圆心 O 且与圆交于 A，B 两点；ABCD 交 CD 于 E，那么可以推出：CEDE； CB DB . CA DA 3平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 点拨精讲：
7、(1)画图说明这里被平分的弦为什么不能是直径 (2)实际上，当一条直线满足过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣 弧，这五个条件中的任何两个，就可推出另外三个 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(6 分钟) 1在O 中，直径为 10 cm，圆心 O 到 AB 的距离为 3 cm，则弦 AB 的长为 _8_cm_ 2在O 中，直径为 10 cm，弦 AB 的长为 8 cm，则圆心 O 到 AB 的距离为_3_cm_ 点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个 3O 的半径 OA5 cm，弦 AB8 cm，点 C 是 AB 的中点，则
8、 OC 的长为_3_cm_ 点拨精讲：已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂线是常用的辅助线 4某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为 24 米，拱的半径为 13 米，则拱高为多少米？ (8 米) 点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(6 分钟) 1AB 是O 的直径，弦 CDAB，E 为垂足，若 AE9，BE1，求 CD 的长 解：6. 点拨精讲：常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形 2O 的半径为 5，弦 AB 的长为 8，M 是弦 AB 上的动点，则线段 OM
9、 的长的最小值为 _3_，最大值为_5_ 点拨精讲：当 OM 与 AB 垂直时，OM 最小(为什么)，M 在 A(或 B)处时 OM 最大 3如图，线段 AB 与O 交于 C，D 两点，且 OAOB.求证：ACBD. 证明：作 OEAB 于 E.则 CEDE. OAOB，OEAB， AEBE， AECEBEDE. 即 ACBD. 点拨精讲：过圆心作垂线是圆中常用辅助线 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(10 分钟) 1在直径是 20 cm 的O 中，AOB 的度数是 60，那么弦 AB 的弦心距是_5_cm. 3 点拨精讲：这里利用 60角构造等边三角形，从而
10、得出弦长 2弓形的弦长为 6 cm，弓形的高为 2 cm，则这个弓形所在的圆的半径为_cm. 13 4 3如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点求证：ACBD. 证明：过点 O 作 OEAB 于点 E. 则 AEBE，CEDE. AECEBEDE. 即 ACBD. 点拨精讲：过圆心作垂径 4已知O 的直径是 50 cm，O 的两条平行弦 AB40 cm，CD48 cm，求弦 AB 与 CD 之间 的距离 解：过点 O 作直线 OEAB 于点 E，直线 OE 与 CD 交于点 F.由 ABCD，则 OFCD. (1)当 AB，CD 在点 O 两侧时，如图.连
11、接 AO，CO，则 AOCO25 cm，AE20 cm，CF24 cm. 由勾股定理知 OE15 cm，OF7 cm. EFOEOF22 (cm) 即 AB 与 CD 之间距离为 22 cm. (2)当 AB，CD 在点 O 同侧时，如图，连接 AO，CO.则 AOCO25 cm，AE20 cm，CF24 cm. 由勾股定理知 OE15 cm，OF7 cm. EFOEOF8 (cm) 即 AB 与 CD 之间距离为 8 cm. 由(1)(2)知 AB 与 CD 之间的距离为 22 cm 或 8 cm. 点拨精讲：分类讨论，AB，CD 在点 O 两侧，AB，CD 在点 O 同侧 学生总结本堂课的
12、收获与困惑(3 分钟) 1圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 2垂径定理及其推论以及它们的应用 学习至此，请使用本课时对应训练部分(10 分钟) 241.3 弧、弦、圆心角 1. 通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系 2. 运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题 重点：圆的弧、弦、圆心角之间的关系定理 难点：探索推导定理及其应用 一、自学指导(10 分钟) 自学：自学教材 P8384 内容，回答下列问题 探究： 1顶点在_圆心_的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做_等圆_；能够_重合_的弧叫做等 弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合，这就是圆的_旋转
13、性_ 2在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_相等_，所对的弦也_相等_ 3在同圆或等圆中，两个_圆心角_，两条_弦_，两条_弧_中有一组量相等，它们所对应 的其余各组量也相等 4在O 中，AB，CD 是两条弦， (1)如果 ABCD，那么_，_AOBCOD_； AB CD (2)如果，那么_ABCD_，_AOBCOD； AB CD (3)如果AOBCOD，那么_ABCD_，_ AB CD 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(6 分钟) 1如图，AD 是O 的直径，ABAC，CAB120，根据以上条件写出三个正确结论(半 径相等除外) (1)_ACO_ABO_； (2)_A
14、D 垂直平分 BC_； (3). AB AC 2如图，在O 中，ACB60，求证：AOBBOCAOC. AB AC 证明：，ABAC. AB AC 又ACB60， ABC 为等边三角形， ABACBC， AOBBOCAOC. ,第 2 题图) ,第 3 题图) 3如图，(1)已知.求证：ABCD. AD BC (2)如果 ADBC，求证：. DC AB 证明：(1)， AD BC ， AD AC BC AC ，ABCD. DC AB (2)ADBC， ， AD BC ，即. AD AC BC AC DC AB 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(7 分钟) 1
15、O 中，一条弦 AB 所对的劣弧为圆周的 ，则弦 AB 所对的圆心角为_90_ 1 4 点拨精讲：整个圆周所对的圆心角即以圆心为顶点的周角 2在半径为 2 的O 中，圆心 O 到弦 AB 的距离为 1，则弦 AB 所对的圆心角的度数为 _120_ 3如图，在O 中，ACB75，求BAC 的度数 AB AC 解：30. ,第 3 题图) ,第 4 题图) 4如图，AB，CD 是O 的弦，且 AB 与 CD 不平行，M，N 分别是 AB，CD 的中点，ABCD， 那么AMN 与CNM 的大小关系是什么？为什么？ 点拨精讲：(1)OM，ON 具备垂径定理推论的条件 (2)同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等 解：AMNCNM. ABCD，M，N 为 AB，CD 中点， OMON，OMAB，ONCD， O
