DSP第三章离散傅立叶变换

《DSP第三章离散傅立叶变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《DSP第三章离散傅立叶变换（97页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第三章 离散傅立叶变换,3.1 离散傅立叶变换的定义 3.2 离散傅立叶变换性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT应用实例,实质： 有限长序列傅立叶变换的有限点离散采样。,意义： 开辟了频域离散化的道路，使数字信号处理可以在频域采用数字运算的方法进行，大大增加了数字信号处理的灵活性。,3.1 离散傅立叶变换的定义,3.1.1 DFT的定义,说明： x(n)是一个长度为M的有限长序列，X(k)是x(n)的N点离散傅立叶变换。,设x(n)=R4(n)，将x(n)的8点和16点的DFT。,3.1.2 DFT与z变换、FT的关系,a.与z变换的关系,含义： DFT可以通过2/N间隔对FT均匀采样得到

2、。,b.与FT的关系,3.1.3 DFT的隐含周期性,任何周期为N的周期序列 都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是 的一个周期， 即,a.周期延拓序列,关系： 是x(n)的周期延拓序列；x(n)是 主值序列。,b.周期延拓序列的DFS,3.2 离散傅立叶变换性质,1.两序列都是N点时 如果 则有：,和 的长度N1和N2不等时，选择变换 长度 ，短者进行补零达到N点。,3.2.1 线性,1.定义 一个有限长序列 的循环移位定义为 这里包含三层意思：,再进行移位,最后取主值序列：,3.2.2 序列的循环移位（圆周移位）,2.循环位移的含义 由于我们取主值序列，即只观

3、察n=0到N-1这一主值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来。如果把 排列一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于 在圆上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时，看到就是周期序列 : 。,3.它的DFT：,1定义,说明：可以理解为将原先的序列先周期延拓，再反转，最后取其主值序列,3.2.3 循环反转,2循环反转序列的DFT,1定义,不同： 循环卷积结构上类似于线性卷积，差别在于求和极限和N点的循环移位上。,3.2.4 循环卷积,2循环卷积的DFT,结论：当两个N点的DFT在频域相乘时，在时域就得到循环卷积。,3循环卷积的求法 a.时域解法：,步骤：反转、

4、移位、相乘、求和,b.频域解法,步骤：先求出两个序列的N点DFT，然后在频域相乘，最后将乘积求IDFT。,4.例题 令x1(n)=1,2,2,x2(n)=1,2,3,4,试计算4点的循环卷积x1(n)x2(n)。,先将x1(n)补零，使之成为4点序列。 x1(m)=1,2,2,0,当n=0,解：,当n=1,当n=2,当n=3,所以，,x1(n)x2(n)=15,12,9,14,b.频域解法 x1(n)的4点DFT： X1(k)=5,-1-2j,1,-1+2j x2(n)的4点DFT: X2(k)=10,-2+2j,-2,-2-2j X1(k)X2(k)=50,6+2j,-2,6-2j IDFT

5、X1(k)X2(k)=x1(n)x2(n) =15,12,9,14,c.由线性卷积求解：,x1(n)=1,2,2,x2(n)=1,2,3,4,所以，x(n)=1,4,9，14，14，8,而x1(n)x2(n)=15,12,9,14,关系？,1定义,3.2.5 复共轭序列的DFT,证明：根据DFT的唯一性，只要证明等式右边等于左边即可。,由于X(k)的隐含周期性，有 X(N)=X(0),同理可证,3.2.6 DFT的共轭对称性,注意：,这里的对称性是关于N/2点的对称性，不是关于y轴的对称性。,1有限长共轭对称序列和轭对称序列,a.定义：,有限长共轭反对称序列：,有限长共轭对称序列：,当N为偶数

6、时，将n换为N/2-n，可得到：,用图形表示：,b.扩展：,任意序列有限长都可以表示为xep(n)与xop(n)之和的形式，即,由于,所以，,2DFT的共轭对称性,序列分成实部和虚部,其中，,序列分成共轭对称部分和共轭反对称部分,其中，,总结： 如果序列x(n)的DFT为X(k)，则x(n)的实部和虚部（包括j）的DFT为X(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量；而x(n)的共轭对称分量和共轭反对称分量的DFT分别为X(k)的实部和虚部乘以j。,3有限长实序列DFT的共轭对称性,设x(n)是长度为N的实序列，且X(k)=DFTx(n),则,（1）.X(k)共轭对称，即,（2）.如果x(n)=x(

7、N-n),则X(k)实偶对称，即,（3）.如果x(n)=-x(N-n),则X(k)纯虚奇对称，即,证明：,1.,2.,*应用：,利用实序列对称性质，可减少DFT运算量，提高运算效率。,通过计算一个N点的DFT，可以得到两个不同序列的N点DFT，设x1(n)和x2(n)为两个实序列，构造新序列x(n)如下:,3.3 频率域采样,3.3.1 频率域采样定理 3.3.2 内插公式,如果序列x(n)的长度为M， 则只有当频域采样点数NM时，才有xN(n)=IDFTX(k)=x(n)即可由频域采样X(k)恢复原序列x(n)， 否则产生时域混叠现象。 这就是所谓的频域采 样定理。,3.3.1 频率域采样定

8、理,3.3.2 内插公式,内插法是用一组已知的未知函数的自变量的值和与它对应的函数值来求一种求未知函数其它值的近似计算方法，是一种未知函数，数值逼近求法。,什么是内插法？,X(z)的内插公式：,内插函数：,在z=0 处还有（N-1）阶极点,X(ej)的内插公式：,意义：各采样点之间的X(ej)值由各采样点的加权插值函数 在所求点上的值的叠加得到的。,DFT的快速算法FFT的出现，使DFT在数字通信、 语言信号处理、 图像处理、 功率谱估计、 仿真、 系统分析、 雷达理论、 光学、 医学、 地震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用。,3.4 DFT应用实例,3.4.1 利用DFT计算线性卷积,背

9、景： 在实际应用中， 为了分析时域离散线性非移变系统或者对序列进行滤波处理等， 需要计算两个序列的线性卷积， 与计算循环卷积一样， 为了提高运算速度， 也希望用DFT(FFT)计算线性卷积。,思路： 循环卷积-DFT 乘积,线性卷积-FT 乘积,用DFT计算线性卷积的关键：,线性卷积和循环卷积的关系,时域,频域,一.线性卷积与循环卷积 1定义 令x1(n)是N1点序列，x2（n）是N2点序列 a线性卷积,b循环卷积,2两者关系,a思考点： 因为定义具有相似性，那么当N=N1+N2-1时，两个卷积是否相同？,b推导：,c分析：,可以看出，循环卷积是线性卷积叠加的结果。,d结论： 如果将x1(n)

10、、x2(n)补零成N=N1+N2-1点序列，则两个卷积一致。 补零的意义：便于计算机应用,二.误差分析,2误差分析：,1N的选取：,例题：设x1(n)和x2(n)是如下给出的两个4点序列：x1(n)=1,2,2,1,x2(n)=1,-1,-1,1,求N=6,5和4的循环卷积，并在每种情况下验证误差关系。,(1) 线性卷积x3(n)=x1(n)*x2(n)=1,1,-1,-2,-1,1,1,解：,(2) 当N=6时， x4(n)=x1(n)x2(n)=2,1,-1,-2,-1,1,因此， e(n)=2,1,-1,-2,-1,1-1,1,-1,-2,-1,1 =1,0,0,0,0,0 =x3(n+

11、6),(3) 当N=5时， x5(n)=x1(n)x2(n)=2,2,-1,-2,-1,(4) 当N=4时， x6(n)=x1(n)x2(n)=0,2,0,-2,因此， e(n)=2,2,-1,-2,-1-1,1,-1,-2,-1 =1,1,0,0,0 =x3(n+5),因此， e(n)=0,2,0,-2-1,1,-1,-2=-1,1,1,0 =x3(n+4),3结论： 循环卷积中的前几个样本在误差中； 当N=max(N1,N2)时，循环卷积前(M-1)个样本在误差中（其中M=min(N1,N2)） 推广：循环卷积中前（N1+N2-1-N）个样本在误差中,三.块卷积 1卷积的问题： 当两个序列

12、长度相差太大时，卷积计算有存贮容量大、运算时间长、处理延时大、难以实时处理等缺点。,2解决方法： 块卷积：将大序列分割，运算后，再组合。 两种思路：重叠保留法和重叠相加法,a重叠保留法：,思路： 已知大序列x(n),另一序列为M点序列h(n) 将x(n)分割为每段为N点序列，每段分别与h(n)卷积，得到N点序列。根据上述观点，知每段的前(M-1)个样本有错，将有错部分舍弃，重新组合。,分割的规则： 1.第一段的前(M-1)个样本置零 2.每段的前(M-1)个样本与前一段的后(M-1)个样本一样 3.最后一段的不足部分补零,(2) 例题：设x(n)=(n+1),0n9和h(n)=1,0,-1,利

13、用N=6用重叠保留法计算y(n)=x(n)*h(n)。,解：因为M=3，每段与前一段重叠2个样本。 又因为x(n)是一个10点序列，N=6， 所以应分为3段。 根据分割规则，x(n)分为以下3段： x1(n)=0,0,1,2,3,4; x2(n)=3,4,5,6,7,8; x3(n)=7,8,9,10,0,0;,每一段与h(n)的6点循环卷积如下： y1=x1(n)h(n)=-3,-4,1,2,2,2; y2=x2(n)h(n)=-4,-4,2,2,2,2; y3=x3(n)h(n)=7,8,2,2,-9,-10; 舍弃每段的前两个样本，组合成输出y(n)为 y(n)=1,2,2,2,2,2,

14、2,2,2,2,-9,-10 与线性卷积一致。,b重叠相加法：,思路：已知大序列x(n),另一序列为M点序列h(n),重叠相加法卷积示意图,3.4.2 利用DFT对信号进行谱分析,所谓信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。 实际上，常采用DFT进行近似谱分析。,1用DFT对连续信号进行谱分析 2频率分辨率 3用DFT进行谱分析的问题,1用DFT对连续信号进行谱分析,设连续信号xa(t)持续时间为Tp，频域采样间隔F，最高频率为fc，时域采样频率fs，时域采样间隔T，采样点数N。,对连续时间非周期信号的DFT逼近,1）将 在 轴上等间隔（T）分段,2）将 截短成有限长序列，持续时间Tp，采样点N

15、,3）频域抽样：一个周期分N段，采样间隔F ，时域周期延拓， 周期为Tp=1/F，f=kF,同理：,说明： 连续信号的频谱特性可以通过对连续信号采样并进行DFT再乘以T的近似方法得到。,2频率分辨率,频率分辨率是指所用的算法能将信号中两个靠得很近的谱峰保持分开的能力。通常的做法是 令待分析的信号x(t)由两个或多个频率接近且幅度相同的正弦信号叠加产生。,频率分辨率（F）：,例：设x(t)的最高频率fc不超过3Hz，现用fs=10Hz，即Ts=0.1s对其抽样，来观察其频谱情况。x(t)由三个正弦组成： x(t)=sin(2f1t)+sin(2f2t)+sin(2f3t) f1=2Hz，f2=2.02Hz，f3=2.07Hz,设T=25.6s，即抽样得x(n)的点数为256，我们对x(n)做DFT，所得到的频率最大分辨率 F=10/256=0.039 062 5Hz,N=256的幅频曲线：,从图上可知，只显示了两个频率，f1和f3的频率。,原因： f2-f1=0.02F，所以能分辨出来,改进方法： 增加点数N，即增加数据长度T。,N=1024的幅频曲线：,结论：（做DFT时参数选择的步骤与