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1、,3.1任意信号在完备正交函数系中的表示法,信号与系统,BUPT EE,主要内容,重点,难点,开始,结束,矢量的正交分解 信号的正交分解 用完备正交函数集表示任意信号 帕斯瓦尔定理 能量信号和功率和信号,相关系数,用完备正交函数集表示任意信号,信号分解:将任意信号分解为比较简单的(基本的)单元信号之和。,分解目的:简化系统分析与运算，从而便于考查信号的特性。 总响应=单元响应之和。,信号分解,退出,矢量的正交分解,方式不是唯一的：,退出,相关系数,误差矢量,相关系数,两矢量正交,怎样分解，能得到最小的误差分量？,退出,n维正交矢量集- n维矢量空间,任意矢量可以近似表示为n维正交矢量的和： 其
2、中： 称 正交，点积为0。 一个三维空间矢量， ，必须用三个正交的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差：,退出,信号的正交分解,为任意两个信号， 若 则 误差函数为 相关系数,退出,相关系数,分解的原则： 的方均值最小，即误差信号功率(能量)最小。,由分解原则求相关系数：误差函数方均值最小时求出相关系数。,令 ，求C12,求得：,比较,退出,求相关系数,令,交换微积分次序,先微分，再积分,可得,退出,比较,和 对应 和 对应 分解的原则对应： 和 对应,若 ，此时 称为正交函数。,退出,例题,用正弦波逼近三角函数，,解：,误差信号,退出,复变函数的正交特性,在区间 内，若复指数函数集 满
3、足以下关系 则此复变函数集为正交函数集。,用 表示 ，求相关系数,退出,总结,两周期信号在同一周期内(同区间内)正交（即从 中抽不出 分量）的条件是 ，即：,2.对一般信号在给定区间正交，而在其它区间不一定 满足正交。 3.两个信号不正交，就有相关关系，必能抽出另一信号。 4.正交函数集规定，所有函数应两两正交，不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该函数集是正交函数。,退出,用完备正交函数集表示任意信号,n维正交函数集 完备正交函数集,退出,n维正交函数集,任意信号可表示为n维正交函数之和：,原函数,近似函数,相互正交,其中：,r =0,1,2,.n,退出,分解原则还是误差函数方均值最小,
4、令：,退出,完备正交函数集,退出,四.帕斯瓦尔定理,信号的能量 基底信号的能量 此式称为帕斯瓦尔定理 (P42, P143, P248) 左边是信号能量，右边是各正交函数分量的能量。 物理意义：一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。,证明,退出,五.能量信号和功率信号,定义 例题 一般规律,退出,定义,讨论上述两个式子，只可能出现两种情况： (有限值) (有限值) 满足式的称为能量信号，满足式称功率信号。,平均功率：P 能量：W,例题,退出,定义(以电阻为例),瞬时功率,在一个周期内，R消耗的能量,平均功率,定义:一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比。 令R = 1 ，则在整时间域内，则实信号f(t)的 能量 平均功率,退出,例题1,判断下面的信号是功率信号还是能量信号。,解：,为功率信号,退出,例题2,判断信号f2(t)是功率信号还是能量信号。,为能量信号,解：,退出,一般规律, 一般周期信号为功率信号； 非周期信号，在有限区间有值，为能量信号； 还有一些非周期信号，也是非能量信号， 如u(t)是功率信号； 而tu(t)为非周期非能量信号; (t)是无定义的非功率非能量信号。,退出,帕斯瓦尔定理证明,设 为完备的正交函数集，即,误差函数,即,因为,代入,得到,退出,
