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1、10.1牙膏的销售量某大型牙膏制造企业为了更好地拓展产品市场，有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与销售价格、广告投入等之间的关系，从而预测出在不同价格和广告费用下的销售量。为此，销售部的研究人员收集了过去30个销售周期（每个销售周期为4周）公司生产的牙膏的销售量、销售价格、投入的广告费用，以及同期其它厂家生产的同类牙膏的市场平均销售价格，见表1-1（其中价格差指其它厂家平均价格与公司销售价格之差）。试根据这些数据建立一个数学模型，分析牙膏销售量与其它因素的关系，为制订价格策略和广告投入策略提供数量依据表1-1牙膏销售量与销售价格、广告费用等数据销售周期
2、公司销售价格(元)其他厂家平均价格(元)价格差(元)广告费用(百万元)销售量(百万支)13.853.80-0.055.57.3823.754.000.256.758.5133.704.300.607.259.5243.603.700.005.507.5053.603.850.257.009.3363.63.800.206.508.2873.63.750.156.758.7583.83.850.055.257.8793.83.65-0.155.257.10103.854.000.156.008.00113.904.100.206.507.89123.904.000.106.258.15133.7
3、04.100.407.009.10143.754.200.456.908.86153.754.100.356.808.90163.804.100.306.808.87173.704.200.507.109.26183.804.300.507.009.00193.704.100.406.808.75203.803.75-0.056.507.95213.803.75-0.056.257.65223.753.65-0.106.007.27233.703.900.206.508.00243.553.650.107.008.50253.604.100.506.808.75263.704.250.606.
4、809.21273.753.65-0.056.508.27283.753.750.005.757.67293.803.850.055.807.93303.704.250.556.809.26一、 问题重述根据过去30个销售周期（每个销售周期为4周）公司生产的牙膏的销售量、销售价格、投入的广告费用，以及同期其它厂家生产的同类牙膏的市场平均销售价格，见表1-1。根据这些数据建立一个数学模型，分析牙膏销售量与其它因素的关系，为制订价格策略和广告投入策略提供数量依据二、 问题分析由于牙膏是生活必需品，对大多属顾客来说，在购买同类产品的牙膏是更多地会在意不同品牌之间的价格差异，而不是它们的价格本身。因此
5、，在研究各个因素对销量的影响时，用价格差代替公司销售价格和其他厂家平均价格更为合适。三、 模型假设1. 画出牙膏销售量与价格差，公司投入的广告费用的散点图2. 由散点图确定两个函数模型，再由这两个函数模型解出回归模型3. 对模型进行改进，添加新的条件确定更好的回归模型系数，得到新的回归模型4. 对模型进一步改进，确定最终的模型四、 符号约定牙膏销售量为y，其他厂家平均价格和公司销售价格之差（价格差）为x1，公司投入的广告费用为x2，其他厂家平均价格和公司销售价格分别为x3和x4,x1=x3-x4。基于上面的分析，我们仅利用1x和2x来建立y的预测模型。五、 模型的建立和求解1. 基本模型利用表
6、1-1的数据用matlab作出y与x1的散点图（图1-1），y与x2的散点图（图1-2）代码如下：x1=-0.05 0.25 0.6 0 0.25 0.2 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.2 0.1 0.4 0.45 0.35 0.3 0.5 0.5 0.4 -0.05 -0.05 -0.1 0.2 0.1 0.5 0.6 -0.05 0 0.05 0.55;x2=5.5 6.75 7.25 5.5 7 6.5 6.75 5.25 5.25 6 6.5 6.25 7 6.9 6.8 6.8 7.1 7 6.8 6.5 6.25 6 6.5 7 6.8 6.8 6.5 5.75 5
7、.8 6.8;y=7.38 8.51 9.52 7.5 9.33 8.28 8.75 7.87 7.1 8 7.89 8.15 9.1 8.86 8.9 8.87 9.26 9 8.75 7.95 7.65 7.27 8 8.5 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26;A1=polyfit(x1,y,1);yy1=polyval(A1,x1);A2=polyfit(x2,y,2);x5=5:0.05:7.25;yy2=polyval(A2,x5);subplot(1,2,1);plot(x1,y,o,x1,yy1);title(图1 y对x1的散点图);subplot(1,
8、2,2);plot(x2,y,o,x5,yy2);title(图2 y对x2的散点图);图（1-1）与图（1-2）从图1可以发现，随着1x的增加，y的值有比较明显的线性增长趋势，图中的直线是用线性模型：（1）拟合的（其中是随机误差）。而在图2中，当x2增大时，y有向上弯曲增加的趋势，图中的曲线是用二次函数模型:（2）综合上面的分析，结合模型（1）和（2）建立如下的回归模型:（3）（3）式右端的x1和x2称为回归变量（自变量），是给定价格差x1，广告费用x2时，牙膏销售量y的平均值，其中的参数称为回归系数，由表1-1的数据估计，影响y的其他因素作用都包含在随机误差中。如果模型选择合适，应该大致服
9、从值为0的正态分布。2. 模型求解在刚刚运行的代码后面，继续使用regress工具求解，代码为：x6=ones(30,1) x1 x2 (x2.2);b,bint,r,rint,stats=regress(y,x6,0.05)运行结果如图（1-3）得到模型（3）的回归系数估计值及其置信区间（置信水平=0.05）、检验统计量,F，p，得结果见表1-2，参数参数估计值参数置信区间17.32445.7282,28.92061.30700.6829,1.9311-3.6956-7.4989,0.10770.34860.0379,0.6594=0.9054 F=82.9409 p0.0001 =0.04
10、90表1-2 模型（3）计算结果图（1-3）3. 结果分析表1-2显示，=0.9054指因变量y（销售量）的90.54%可由模型决定，F值远远超过F检验的临界值，P远小于，因而模型（3）整体来看是可用的表1-2的回归系数中的置信区间包含零点，表示回归变量（对因变量y的影响）是不太显著的，但由于是显著的，我们仍将留在模型中4. 销售量预测将回归系数的估计值带入模型（3），即可预测公司未来某个销售周期牙膏的销售量y，预测值记为，得到模型（3）的预测方程：（4）只需要知道该销售周期的价格差x1和投入的广告费用x2,就可以计算预测值。5. 模型改进模型（3）中回归变量x1和x2对因变量y的影响是相互独
11、立的，即牙膏销售量y的均值与广告费用x2的二次关系由回归系数和确定，而不依赖于价格差x1，同样的，y的均值与x1的线性关系由回归系数确定，而不依赖于x2。根据直觉和经验可以猜想，x1和x2之间的交互作用会对y有影响，不妨简单地用x1，x2的乘积代表它们的相互作用，于是将模型（3）增加一项，得到:（5）在这个模型中，y的均值与2x的二次关系为，由系数确定，并依赖于价格差x1。在上述运行程序后继续输入代码：x7=ones(30,1) x1 x2 (x2.2) (x1.*x2);b,bint,r,rint,stats=regress(y,x7,0.05);b,bint,stats结果见图（1-4）图
12、（1-4）计算结果即为表1-3参数参数估计值参数置信区间29.113313.7013,44.525211.13421.9778,20.2906-7.6080-12.6932,-2.52280.67120.2538,1.0887-1.4777-2.8518,-0.1037=0.9209 F=72.7771 P0.0001 =0.0426表1-3 模型（5）计算结果表3与表2的结果相比，有所提高，说明模型（5）比模型（3）有所进步。并且，所有参数的置信区间，特别是X1，X2的交互作用项X1X2的系数的置信区间不包含零点，所以有理由相信模型（5）比模型（3）更符合实际。在保持广告费用x2=6.5百万
13、元不变的条件下，分别对模型（3）和（5）中牙膏销售量的均值 与价格差x1的关系作图，见图1-5和图1-6，代码为：yy3=17.3244+1.307*x1+(-3.6956)*6.5+0.3486*6.5*6.5;plot(x1,yy3);grid onfigure(2)yy4=29.1133+11.1342*x1+(-7.608*6.5)+0.6712*6.5*6.5+(-1.4777)*6.5*x1;plot(x1,yy4);grid on图1-5图1-6在保持价格差x1=0.2元不变的条件下，分别对模型（3）和（5）中牙膏销售量的均值与广告费用x2的关系作图，见图1-7和图1-8，代码如
14、下：figure(3)yy5=17.3244+1.307*0.2+(-3.6956)*x2+0.3486*x2.*x2;bb=polyfit(x2,yy5,2);xx5=5.25:0.05:7.25;yy51=polyval(bb,xx5);plot(xx5,yy51);grid on;figure(4)yy6=29.1133+11.1342*0.2+(-7.608*x2)+0.6712*x2.*x2+(-1.4777)*x2*0.2;bb=polyfit(x2,yy6,2);xx6=5.25:0.05:7.25;yy61=polyval(bb,xx6);plot(xx6,yy61);grid on;图1-7图1-86. 模型的进一步改进完全二次多项式模型：与1x和2x的完全二次多项式模型（6）相比，模型（5）只少项，
