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1、圆 锥 曲 线 之 轨 迹 问 题一、临阵磨枪 1.直接法(五部法):如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系,或这些几何条件简单明了且易于表达,我们只须把这种关系“翻译”成含的等式就得到曲线的轨迹方程。这种求轨迹的方法称之为直接法。 2.定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义),则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。 3.坐标转移法(代入法):有些问题中,其动点满足的条件不便于等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的,如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求
2、得动点的轨迹方程,这种求轨迹的方法坐标转移法,也称相关点法或代入法。 4.参数法:有时求动点应满足的几何条件不易求出,也无明显的相关点,但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约,即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化,我们可以把这个变量设为参数,建立轨迹的参数方程,这种方法叫做参数法,如果需要得到轨迹的普通方程,只要消去参变量即可。 5.交轨法:在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标,再消去参数得出所求轨迹方程,此种方法称为交轨法。二、小试牛刀 1.已知M(-3,0),N
3、(3,0),则动点P的轨迹方程为 析: 点P的轨迹一定是线段MN的延长线。故所求轨迹方程是 2.已知圆O的方程为,圆的方程为,由动点P向两圆所引的切线长相等,则动点P的轨迹方程为 析:圆O与圆外切于点M(2,0) 两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等, 故动点P的轨迹就是两圆的内公切线,其方程为 3.已知椭圆,M是椭圆上一动点,为椭圆的左焦点,则线段的中点P的轨迹方程为 析:设P 又 由中点坐标公式可得: 又点在椭圆上 因此中点P的轨迹方程为 4.已知A、B、C是不在同一直线上的三点,O是平面ABC内的一定点,P是动点,若,则点P的轨迹一定过三角形ABC的 重 心。析:设点D为BC的中
4、点,显然有 故点P的轨迹是射线AD, 所以,轨迹一定过三角形的重心。三、大显身手1、直接法 例1、设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点,点Q与点P关于y轴对称,若且,则P点的轨迹方程为 解:设 又 所以又 所以 而点与点关于轴对称,点的坐标为 即又 所以 这个方程即为所求轨迹方程。变式1、已知两点M(-2,0),N(2,0),点P满足,动点P的轨迹方程为 解:设则: 又 化简得所求轨迹方程为:2、定义法例2、已知圆A的方程为,点B(-3,0),M为圆O上任意一点,BM的中垂线交AM于点P,求点P的轨迹方程。解:由题意知:又圆A的半径为10,所以 即点P的轨迹是
5、以定点A(3,0) B(-3,0)为焦点,10为长轴的椭圆 (椭圆与长轴所在的对称轴的两交点除外)其轨迹方程为变式2、已知椭圆的焦点为,P是椭圆上的任意一点,如果M是线段的中点,则动点M的轨迹方程是 解:因为M是线段的中点,连接OM,则 由椭圆的定义知: 即点M到定点O、定点的距离和为定值,故动点M的轨迹是以O、为焦点,以为长轴的椭圆,其方程为(说明:此题也可以用代入法解决) 3、坐标转移法(代入法) 例3、从双曲线上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程。解:设Q则由可得 N点坐标 设由中点坐标公式可得: 又点Q在双曲线上,所以 代入得 化简得 即为所求轨迹方程
6、。 变式3、自抛物线上任意一点P向其准线引垂线,垂足为Q,连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于R,求点R的轨迹方程。解:设 抛物线的方程是所以 直线OP的方程是 直线QF的方程是 联立两方程得: 又 所以 化简得:即为所求轨迹方程。4、参数法 例4、设椭圆方程为,过点M(0,1)的直线交椭圆于A、B,点P满足,点,当直线绕点M旋转时,求: (1)动点P的轨迹方程; (2)的最大、最小值。解:(1)设直线的方程为代入椭圆方程得设 则 设动点P的坐标为,由可得消去参数即得所求轨迹方程为:当斜率不存在时,点P的坐标为(0,0)显然在轨迹上,故动点P的轨迹方程为。(2)P点的轨迹方程可以化为所以可设点P的坐标为 则 所以 当时 当时 变式4、过抛物线的顶点作互相垂直的两弦OA、OB.(1) 求弦AB