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1、圆的相关定理及其几何证明典题探究例1:如图,圆是的外接圆,过点C作圆的切线交的延长线于点.若,则线段的长是 ;圆的半径是 .例2:如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E(E在A,O之间),,垂足为F若,则 例3:如图已知与圆相切于,半径,交于,若,,则 , 例4:如图,从圆外一点引圆的切线和割线,已知,, 则 ,圆的半径等于 演练方阵A档(巩固专练)1如图,已知直线PD切O于点D,直线PO交O于点E,F.若,则O的半径为 ; .2. 如图,与切于点,交弦的延长线于点,过点作圆的切线交于点. 若,则弦的长为_.3. 如图:圆O的割线PAB经过圆心O,C是圆上一点,PAACAB,则以下结论
2、不正确的是( ) A. B. C. PC是圆O的切线 D. 4如图,已知是圆的直径,在的延长线上,切圆于点,于若,则圆的半径长为_;_5如图所示,以直角三角形的直角边为直径作,交斜边于点,过点作的切线,交边于点.则 .6如图,直线AM与圆相切于点M, ABC与ADE是圆的两条割线,且BDAD,连接MD、EC。则下面结论中,错误的结论是( )AECA = 90oBCEM=DMA+DBACAM2 = ADAE DADDE = ABBC7如图,切圆于点,为圆的直径,交圆于点,为的中点,且则_;_.8如图,切圆于点,割线经过圆心,则 ,的面积是 9如图,为的直径,切于点,且过点的割线,交的延长线于点,
3、若,,则 , 10如图,是O上的四个点,过点B的切线与的延长线交于点E.若,则( )A. B. C. D. B档(提升精练)1如图,已知O的弦AB交半径OC于点D,若AD=4,BD=3,OC=4,则CD的长为_2如图,已知圆中两条弦与相交于点是延长线上一点,且,若与圆相切,且,则 3如图,是半圆的直径,在的延长线上,与半圆相切于点,若,则_.4如图,是的直径,直线切于点,且与延长线交于点,若,则= 5如图,为的直径,弦交于点若,则_6如图,是圆的切线,切点为,交圆于两点,则=( )A B C D7如图所示,RtABC内接于圆,PA是圆的切线,A为切点, PB交AC于E,交圆于D若PA=AE,P
4、D=,BD=,则AP= ,AC= 8. 如图,以的边为直径的半圆交于点,交于点,于点,那么= ,= .9如图,已知圆中两条弦与相交于点,与圆相切交延长线上于点,若,则线段的长为 10. 如图,直线与相切于点,割线经过圆心, 弦于点,则 C档(跨越导练)1. 如图,是的内接三角形,是的切线,交于点,交于点若,则_;_2. 如图,的直径与弦交于点,则_ _3. 如图,是圆的直径,于,且,为的中点,连接 并延长交圆于若,则_, _O4. 如图所示,AB是圆的直径,点C在圆上,过点B,C的切线交于点P,AP交圆于D,若AB=2,AC=1,则PC=_,PD=_5. 是圆O的直径,为圆O上一点,过作圆O的
5、切线交延长线于点,若=, ,则 6. 如图,已知圆的半径为,从圆外一点引切线和割线,圆心到的距离为,则切线的长为 7. 如图,是半径为的圆的直径,点 在的延长线上,是圆的切线,点在直径上的射影是的中点,则= ; 8. 如图,从圆外一点引圆的切线和割线,已知,圆心到的距离为,则圆的半径为_9. 如图,是圆的直径,在的延长线上,切圆于点.已知圆半径为,则_;的大小为_10. 如图,A,B,C是O上的三点,BE切O于点B, D是与O的交点.若,则_;若,则 .典题探究例1:答案: 1,2解析:已知,由圆幂定理得,所以,可以求出,而,取的中点E,连接OC和OE,则半径. 例2:答案:1 解析:三角形C
6、EF与三角形CBE相似,对应边成比例,所以,即,所以,而,所以,所以.例3:答案: 解析:延长PO与圆O分别交于点D和点E,则,由圆幂定理得,所以,过A点作交OP于点F,则,所以.例4:答案:解析:由圆幂定理得,所以,设AO与PC交于点D,延长AO交圆于E,则,所以,所以,.演练方阵A档(巩固专练)1:答案: 解析:由圆幂定理得,所以,所以,所以2:答案: 解析: 由圆幂定理得,所以,所以3:答案:D 解析: 由圆幂定理得,所以,所以D选项错误4:答案:半径 解析: .所以,由三角形相似得,所以,所以,由圆幂定理得,所以,所以5:答案: 解析:连接CD,AC是圆的直径,所以,BC经过半径OC的
7、端点C,而且,所以是圆的切线,而DE是圆O的切线,所以EC=ED,所以,所以6:答案:D 解析:因为四边形BDEC是圆的内接四边形,所以,因为,所以,A正确;直线AM与圆相切,由弦切角定理得,而,所以,所以B正确;由圆幂定理得 ,所以选项C正确7:答案:解析:设,则根据圆幂定理得,而,所以,所以,所以,而,所以(8:答案: 解析:由圆幂定理得,所以,所以,所以半径,所以正切值,所以三角形OBC的面积 9:答案: 解析:由圆幂定理得,所以,所以,而10:答案:B解析:因为ABCD四点共圆,所以,而,所以,又因为BE与圆相切于点B,所以,所以选项B是正确的。B档(提升精练)1:答案: 解析:延长C
8、D交圆于点E,由相交弦定理得,所以,求出,因为CD是小于4的,所以2:答案: 解析: 由相交弦定理得,所以,所以,所以,而,所以,所以3:答案: 解析:设半径为R,连接OC,则由圆幂定理得,已知,而且,所以,所以,而,所以,4:答案: 解析: 由圆幂定理得,而AC=3,AB=2,所以OC=2,连接,则,在中,所以,而在三角形BOD中,已知OB=OD,所以有, 5:答案: 解析:延长BO交圆于点D,连接DN,则,而,由圆幂定理可得 ,所以,所以6:答案:B 解析:由圆幂定理可得,所以,连接OA,所以三角形OPA是直角三角形,B是OP中点,所以,7:答案: 解析:由圆幂定理可得,所以, ,所以 ,
9、所 , 8答案:解析:设圆心是O,半径为R,连接OE与AE,所以,所以,又因为,所以是等边三角形,所以 ,所以 ,由圆幂定理得 ,所以9答案: 解析:由圆幂定理得,而,所以,所以,所以, 10答案:解析:由圆幂定理得,所以,所以,又因为,所以,所以 C档(跨越导练)1:答案: 解析:依题意根据圆幂定理得,所以, , , ,所以 ,在三角形ADE中, ,所以三角形APE是等边三角形,所以 , ,而弦AC与BD相交于点E,所以 ,所以2:答案: 解析: 由相交弦定理,所以,所以,连接OD,则有,所以,然后连接BD,则,由正弦定理得,所以,是锐角,所以3:答案:解析:已知,根据圆幂定理得,因为,所以
10、,所以,所以,所以,又因为,所以 4.答案:解析:连接,在中,所以,过点B和点C的切线交于点P,所以,所以,在中,所以,由圆幂定理得,所以5:答案:解析:连结,AB是圆O的直径,则,所以,所以,所以半径,在中,6:答案:解析:已知圆O的半径,而圆心O到弦AC的距离等于,所以,又因为,是圆O的切线,所以,所以7:答案:,解析:点A到BC上的射影E是OC的中点,所以,又因为,所以,在中,因为,所以,所以8:答案:半径解析:已知PA与圆相切,而PBC是圆的割线,所以根据圆幂定理得到,又因为,所以,又因为点O到弦BC的距离等于,所以半径9:答案:,解析:连接OC,AB是圆的直径,点P在AB的延长线上,圆O的半径,所以,根据圆幂定理得,所以,在中,所以,所以10:答案:,解析:已知是圆的一条切线,是弦切角,而且有与对应同一条弧,所以,所以根据圆幂定理有,已知,所以,所以