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1、学然教育 学然教育培训中心LearnWellEducationandTrainingCenter上海十年中考数学压轴题解析2001年上海市数学中考27已知在梯形ABCD中,ADBC,ADBC,且AD5,ABDC2(1)如图8,P为AD上的一点,满足BPCA图8求证;ABPDPC求AP的长(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合),且满足BPEA,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么当点Q在线段DC的延长线上时,设APx,CQy,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;当CE1时,写出AP的长(不必写出解题过程)27(1)证明:ABP180AAPB,DPC180BPCA
2、PB,BPCA,ABPDPC在梯形ABCD中,ADBC,ABCD,ADABPDPC解:设APx,则DP5x,由ABPDPC,得,即,解得x11,x24,则AP的长为1或4(2)解:类似(1),易得ABPDPQ,即,得,1x4AP2或AP3(题27是一道涉及动量与变量的考题,其中(1)可看作(2)的特例,故(2)的推断与证明均可借鉴(1)的思路这是一种从模仿到创造的过程,模仿即借鉴、套用,创造即灵活变化,这是中学生学数学应具备的一种基本素质,世上的万事万物总有着千丝万缕的联系,也有着质的区别,模仿的关键是发现联系,创造的关键是发现区别,并找到应付新问题的途径)上海市2002年中等学校高中阶段招生
3、文化考试27操作:将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q图5图6图7探究:设A、P两点间的距离为x(1)当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到结论;(2)当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的函数解析式,并写出函数的定义域;(3)当点P在线段AC上滑动时,PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的x的值;如果不可能,试说明理由(图5、图6、图7的形状大小相同,图5供操作、实验用,图6和
4、图7备用)五、(本大题只有1题,满分12分,(1)、(2)、(3)题均为4分)27图1 图2 图3(1)解:PQPB(1分)证明如下:过点P作MNBC,分别交AB于点M,交CD于点N,那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形,AMP和CNP都是等腰直角三角形(如图1)NPNCMB(1分)BPQ90,QPNBPM90而BPMPBM90,QPNPBM(1分)又QNPPMB90,QNPPMB(1分)PQPB(2)解法一由(1)QNPPMB得NQMPAPx,AMMPNQDN,BMPNCN1,CQCDDQ121得SPBCBCBM1(1)x(1分)SPCQCQPN(1)(1)x2(1分)S四边形PBCQ
5、SPBCSPCQx21即yx21(0x)(1分,1分)解法二作PTBC,T为垂足(如图2),那么四边形PTCN为正方形PTCBPN又PNQPTB90,PBPQ,PBTPQNS四边形PBCQS四边形PBTS四边形PTCQS四边形PTCQSPQNS正方形PTCN(2分)CN2(1)2x21yx21(0x)(1分)(3)PCQ可能成为等腰三角形当点P与点A重合,点Q与点D重合,这时PQQC,PCQ是等腰三角形,此时x0(1分)当点Q在边DC的延长线上,且CPCQ时,PCQ是等腰三角形(如图3)(1分)解法一此时,QNPM,CPx,CNCP1CQQNCN(1)1当x1时,得x1(1分)解法二此时CPQ
6、PCN22.5,APB9022.567.5,ABP180(4567.5)67.5,得APBABP,APAB1,x1(1分)上海市2003年初中毕业高中招生统一考试27.如图,在正方形ABCD中,AB1,弧AC是点B为圆心,AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点(点E与点A、D不重合),过E作弧AC所在圆的切线,交边DC于点F,G为切点:(1)当DEF45时,求证:点G为线段EF的中点;(2)设AEx,FCy,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;(3)将DEF沿直线EF翻折后得DEF,如图,当EF时,讨论ADD与EDF是否相似,如果相似,请加以证明;如果不相似,只要求写出结论
7、,不要求写出理由。2004年上海市中考数学试卷27、(2004上海)数学课上,老师提出:如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A点的坐标为(1,0),点B在x轴上,且在点A的右侧,AB=OA,过点A和B作x轴的垂线,分别交二次函数y=x2的图象于点C和D,直线OC交BD于点M,直线CD交y轴于点H,记点C、D的的横坐标分别为xC、xD,点H的纵坐标为yH同学发现两个结论:SCMD:S梯形ABMC=2:3 数值相等关系:xCxD=yH(1)请你验证结论和结论成立;(2)请你研究:如果上述框中的条件“A的坐标(1,0)”改为“A的坐标(t,0)(t0)”,其他条件不变,结论是否仍成立(请说明理由
8、);(3)进一步研究:如果上述框中的条件“A的坐标(1,0)”改为“A的坐标(t,0)(t0)”,又将条件“y=x2”改为“y=ax2(a0)”,其他条件不变,那么xC、xD与yH有怎样的数值关系?(写出结果并说明理由)考点:二次函数综合题。专题:压轴题。分析:(1)可先根据AB=OA得出B点的坐标,然后根据抛物线的解析式和A,B的坐标得出C,D两点的坐标,再依据C点的坐标求出直线OC的解析式进而可求出M点的坐标,然后根据C、D两点的坐标求出直线CD的解析式进而求出D点的坐标,然后可根据这些点的坐标进行求解即可;(2)(3)的解法同(1)完全一样解答:解:(1)由已知可得点B的坐标为(2,0)
9、,点C坐标为(1,1),点D的坐标为(2,4),由点C坐标为(1,1)易得直线OC的函数解析式为y=x,故点M的坐标为(2,2),所以SCMD=1,S梯形ABMC=32所以SCMD:S梯形ABMC=2:3,即结论成立设直线CD的函数解析式为y=kx+b,则&k+b=1&2k+b=4,解得&k=3&b=2所以直线CD的函数解析式为y=3x2由上述可得,点H的坐标为(0,2),yH=2因为xCxD=2,所以xCxD=yH,即结论成立;(2)(1)的结论仍然成立理由:当A的坐标(t,0)(t0)时,点B的坐标为(2t,0),点C坐标为(t,t2),点D的坐标为(2t,4t2),由点C坐标为(t,t2
10、)易得直线OC的函数解析式为y=tx,故点M的坐标为(2t,2t2),所以SCMD=t3,S梯形ABMC=32t3所以SCMD:S梯形ABMC=2:3,即结论成立设直线CD的函数解析式为y=kx+b,则&tk+b=t2&2tk+b=4t2,解得&k=3t&b=2t2所以直线CD的函数解析式为y=3tx2t2;由上述可得,点H的坐标为(0,2t2),yH=2t2因为xCxD=2t2,所以xCxD=yH,即结论成立;(3)由题意,当二次函数的解析式为y=ax2(a0),且点A坐标为(t,0)(t0)时,点C坐标为(t,at2),点D坐标为(2t,4at2),设直线CD的解析式为y=kx+b,则:&
11、tk+b=at2&2tk+b=4at2,解得&k=3at&b=2at2所以直线CD的函数解析式为y=3atx2at2,则点H的坐标为(0,2at2),yH=2at2因为xCxD=2t2,所以xCxD=1ayH点评:本题主要考查了二次函数的应用、一次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象的交点等知识点2005年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷1、 (本题满分12分,每小题满分各为4分)在ABC中,ABC90,AB4,BC3,O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E,作EPED,交射线AB于点P,交射线CB于点F。(1) 如图8,求证:ADEAEP;
12、(2) 设OAx,APy,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;(3) 当BF1时,求线段AP的长.J2006 年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷25(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分7分,第(3)小题满分3分)已知点P在线段AB上,点O在线段AB的延长线上。以点O为圆心,OP为半径作圆,点C是圆O上的一点。(1) 如图9,如果AP=2PB,PB=BO。求证:CAOBCO;(2) 如果AP=m(m是常数,且m1),BP=1,OP是OA、OB的比例中项。当点C在圆O上运动时,求AC:BC的值(结果用含m的式子表示);(3) 在(2)的条件下,讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系,并写出相应m的取值范围。图9APBOC25(1)证明:,(2分),(1分),(1分)(2)解:设,则,是,的比例中项,(1分)得,即(1分)(1分)是,的比例中项,即,(1分)设圆与线段的延长线相交于点,当点与点,点不重合时,(1分)(1分);当点与点或点重合时