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1、简单的三角恒等变换,1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、 正切 公式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、 余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、 正切公式，了解它们的内在联系.,1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式,2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2 ； (2)cos2 ； (3)tan2,2sincos,cos2sin2,2cos21,12sin2,思考探究 你能用tan表示sin2和cos2吗？,提示：sin22sincos ， cos2cos2sin2 ,考点一 三角函数式求值,1.解决三角函数的给值求值问
2、题的关键是把“所求角”用“已 知角”表示. (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角” 的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角” 的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已 知角”.,(1)设cos( ) ，sin( ) ，且 ，0 ，求cos( ). (2)已知sin( )sin( ) ，( ，)，求sin4.,思路点拨,例2,课堂笔记 (1) ，0 ， ， . 故由cos( ) ，得sin( ) . 由sin( ) ，得cos( ) . cos( )cos( )( ) . cos()2cos2 1 .,(2)法一：sin
3、( )sin( )sin( )cos( ) ， sin( 2) ，即cos2 . ( ，)，则2(，2)， sin2 于是sin42sin2cos2 .,法二：由条件得 (cossin) (cossin) ， 即 (cos2sin2) . cos2 . 由2(，2)得sin2 ， sin4 .,1.通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时， 遵照以下原则： (1)已知正切函数值，选正切函数； (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围 是(0， )，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)， 选余弦较好；若角的范围为( ， )，选正弦较好.,2.解给值求角问题的一般步骤为： (1
4、)求角的某一个三角函数值； (2)确定角的范围； (3)根据角的范围写出所求的角.,已知0 ，tan ，cos( ) . (1)求sin的值； (2)求的值.,思路点拨,例3,课堂笔记 (1)tan 所以 又因为sin2cos21,0 ，解得sin . (2)因为0 ，所以0 . 因为cos( ) ，所以sin( ) .,所以sin sin( )sin( )coscos( )sin 因为( ,)，所以 .,保持例题条件不变，求cos().,解：由例题可知sin ，cos ， sin ，cos ， cos()coscossinsin,两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考
5、内容，常在选择题中以条件求值的形式考查.近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向.,(2009广东高考)(12分)已知向量a(sin，2)与b(1，cos)互相垂直，其中(0， ). (1)求sin和cos的值； (2)若5cos()3 cos，0 ，求cos的值.,考题印证,【解】 (1)ab，sin1(2)cos0sin 2cos.(2分) sin2cos21，4cos2cos21cos2 (4分) (0， )，cos sin .(6分),(2)由5cos()3 cos有， 5(coscossinsin)3 cos(8分) cos2 sin3 cos，
6、 cossin.(10分) 0 ，cos (12分),自主体验 已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，|ab| (1)求 cos()的值； (2)若0 ， 0，且sin ，求sin的值.,解：(1)a(cos，sin)，b(cos，sin)， ab(coscos，sinsin). |ab| ， 即22cos() ，cos() .,(2)0 ， 0，sin ， cos ,，0 ， cos( ) ， sin( ) ，sinsin( ) sin( )cos cos( )sin ,38,对于(1)，利用a/bx1y2-x2y1=0(其中a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，求出sin+
7、cos的值；对于(2)，根据(sincos)2=1sin2实现求值，但要注意确定sin-cos的符号zxxk,三角、向量交汇,39,40,1sincos，sincos之间的关系为(sincos)2=12sincos，(sin+cos)2+(sin-cos)2=2，由此知三者知其一，可求其二，但需注意角的范围对结果的影响2从整体上看，若令sin+cos=t，则sincos= ，消元常用 3双弦齐次式可化归为切函数,41,1.(2009福建高考)函数f(x)sinxcosx的最小值是 ( ) A.1 B. C. D.1,解析：f(x)sinxcosx sin2x，f(x)min .,答案：B,2.
8、(2009陕西高考)若3sincos0，则 的值为 ( ) A. B. C. D.2,解析：由3sincos0得cos3sin， 则 ,答案：A,3.sin(65x)cos(x20)cos(65x)cos(110x)的 值为 ( ),解析：原式sin(65x)cos(x20)cos(65x)cos90(x20) sin(65x)cos(x20)cos(65x)sin(x20) sin(65x)(x20)sin45 .,答案：B,4.(2010黄冈模拟)已知sin( ) ，则cos( 2) .,解析：cos( 2)2cos2( )1，且cos( ) sin( ) . 所以cos( 2) .,答案
9、：,5.已知a(cos2，sin)，b(1,2sin1)，( ，)， 若ab ，则tan( )的值为 .,解析：由ab ，得cos2sin(2sin1) ， 即12sin22sin2sin ，即sin . 又( ，)，cos ，tan ， tan( ),答案：,6.(2009江苏高考)设向量a(4cos，sin)，b(sin， 4cos)，c(cos，4sin). (1)若a与b2c垂直，求tan()的值； (2)求|bc|的最大值； (3)若tantan16，求证：ab.,解：(1)由a与b2c垂直. a(b2c)ab2ac0， 即4sin( )8cos()0，tan( )2. (2)bc(
10、sin cos ，4cos 4sin )， |bc|2sin2 2sin cos cos2 16cos2 32cos sin 16sin2 1730sin cos 1715sin2 ，最大值为32， 所以|bc|的最大值为,(3)证明：由tantan16，得sinsin16coscos， 即4cos4cossinsin0，故ab.,注意事项：,（1）在运用诱导公式的过程中，常出现三角函数名变换错误、三角函数值的符号错误等情况，应加强对公式的理解，避免出现错误。 （2）在利用三角恒等变换求三角函数值时不要忽略正弦、余弦函数的有界性，重视角的范围的探求。,56,1.要熟练掌握三角函数的变换工具，主要是掌握基本变换公式及其作用:诱导公式用于角度之间的关系变换;同角公式用于不同三角函数名之间的变换；和、差、倍角公式则是综合变换的“纽带”. 2.要充分把握三角函数的变换规律.三角变换时，需会用“切化弦”“弦化切”“辅助角”“1的代换”等技巧,追求“名、角、式”(三角函数名、角度、运算结构)的统一,其中角的变换是三角变换的核心,例3 已知函数 （1）若对任意xR都有 成立， 求a的取值范围； （2）若 ，求关于x的不等式 的解集.,例4 已知向量a ， b ，其中 ，求函 数f(x)ab|ab|的值域.,
