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1、全等三角形培优竞赛讲义（二）【知识点精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。2. 全等三角形的表示方法：若ABC和ABC是全等的三角形，记作 “ABCABC其中，“”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都
2、写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。（2）根据已知的对应元素寻找相等的角是对应角，相等的边是对应边；相等的角所对的边是对应边，相等的边所对的角是对应边；两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。翻折如图（1）DBOCDEOD，DBOC可以看成是由DEOD沿直线AO翻折180得到的；旋转 如图（2）DCODDBOA，DCOD可以看成是由DBOA绕着点O旋转180得到的；平移 如图（3）DDEFDACB，DDEF可以看成是由DACB
3、沿CB方向平行移动而得到的。5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2） 推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。【分类解析】全等三角形知识的应用（1） 证明线段（或角）相等 例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证
4、：BF=FC分析：由已知条件可证出ACDABE，而BF和FC分别位于DBF和EFC中，因此先证明ACDABE，再证明DBFECF，既可以得到BF=FC.证明：在ACD和ABE中， ACDABE (SAS) B=C（全等三角形对应角相等）又 AD=AE,AB=AC. ABAD=ACAE 即 BD=CE在DBF和ECF中 DBFECF （AAS） BF=FC （全等三角形对应边相等）（2）证明线段平行例2：已知：如图，DEAC，BFAC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：ABCD分析：要证ABCD，需证CA，而要证CA，又需证ABFCDE.由已知BFAC，DEAC，知DECBFA=9
5、0，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明ABFCDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证CA,进一步证明ABCD.证明： DEAC，BFAC （已知） DECBFA=90 （垂直的定义）在ABF与CDE中， ABFCDE（SAS） CA (全等三角形对应角相等) ABCD （内错角相等，两直线平行）（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等例3：如图，在 ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE. 求证：CD=2CE分析：()折半法：取CD中点F，连接BF，再证CEBCFB.这里注意利用BF是ACD中位线这个条件。证
6、明：取CD中点F，连接BF BF=AC,且BFAC （三角形中位线定理） ACB2 (两直线平行内错角相等)又 AB=AC ACB3 （等边对等角） 32在CEB与CFB中， CEBCFB (SAS) CE=CF=CD （全等三角形对应边相等）即CD=2CE （）加倍法证明：延长CE到F，使EF=CE，连BF.在AEC与BEF中，AECBEF (SAS) AC=BF, 43 (全等三角形对应边、对应角相等) BFAC (内错角相等两直线平行) ACB+CBF=180o,ABC+CBD=180o,又AB=AC ACB=ABCCBF=CBD （等角的补角相等）在CFB与CDB中， CFBCDB (
7、SAS) CF=CD即CD=2CE说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F，连BF(如图)（B为AD中点是利用这个办法的重要前提），然后证CE=BF.(4)证明线段相互垂直例4：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ADC、BDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确。通过观察，可以猜测：AO=BC，AOBC.证明：延长AO交BC于E,在ADO和CDB中 ADOCDB (SAS)
8、AO=BC, OAD=BCD（全等三角形对应边、对应角相等） AODCOE （对顶角相等） COE+OCE=90o AOBC5、中考点拨：例1如图，在ABC中，ABAC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DFDE，连结FC求证：FA分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中A、F不在全等的两个三角形中，但由已知可证得EFAC，因此把A通过同位角转到BDE中的BED，只要证EBDFCD即可证明：ABAC，ACBB，EBED，ACBEDBEDACBEDABEEABDCD又DEDF，BDECDFBDECDF，BEDF
9、FA说明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。例2 如图，已知 ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE、DE.求证：EC=ED 分析：把已知条件标注在图上，需构造和AEC全等的三角形，因此过D点作DFAC交BE于F点，证明AECFED即可。证明：过D点作DFAC交BE于F点 ABC为等边三角形 BFD为等边三角形 BF=BD=FD AE=BD AE=BF=FD AEAF=BFAF 即 EF=AB EF=AC在 ACE和DFE
10、中， AECFED（SAS） EC=ED（全等三角形对应边相等）题型展示：例1 如图，ABC中，C2B，12。求证：ABACCD分析：在AB上截取AEAC，构造全等三角形，AEDACD，得DEDC，只需证DEBE问题便可以解决证明：在AB上截取AEAC，连结DE AEAC，12，ADAD， AEDACD， DEDC，AEDC AEDBEDB，C2B， 2BBEDB即 BEDB EBED，即EDDC， ABACDC剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条短线段）；如作AEAC是利用了角平分线是角的对称
11、轴的特性，构造全等三角形，另一种方法是补短法（即延长一条短线段等于长线段，再证明延长的部分与另一条短线段相等），其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题，实际上仍是构造全等三角形，这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内容【实战模拟】1. 下列判断正确的是（ ）（A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等（B）有两边对应相等，且有一角为30的两个等腰三角形全等（C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等（D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等2. 已知：如图，CDAB于点D，BEAC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分BAC求证：OBOC3. 如图，已知C为线段AB上的
12、一点，DACM和DCBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证：DCEF是等边三角形。4.如图，在ABC中，AD为BC边上的中线求证：AD(AB+AC) 5. 如图，在等腰RtABC中，C90，D是斜边上AB上任一点，AECD于E，BFCD交CD的延长线于F，CHAB于H点，交AE于G求证：BDCG【试题答案】1. D2.证明： AO平分ODB，CDAB于点D，BEAC于点E，BE、CE交于点O， ODOE，ODBOEC90, BODCOE。 BODCOE（ASA）OBOC3. 分析 由ACM=BCN=60，知ECF=60，欲证DCEF是等边三角形，只要证明DCEF是等
13、腰三角形。先证DCANDMCB，得1=2.再证DCFNDCEB，即可推得DCEF是等边三角形的结论。证明：在DCAN和DMCB，AC=MC，CN=CB，CAN=MCB=120，DACNDMCB中， FCB和DCEB中，FCN=ECB=60，1=2，CN=CB，DCFNDCEB，CF=CE，又ECF=60， DCEF是等边三角形.4. 分析： 关于线段不等的问题，一般利用在同一个三角形中三边关系来讨论，由于AB、AC、AD不在同一个三角形，应设法将这三条线段转化在同一个三角形中，也就是将线段相等地转化，而转化的通常方法利用三角形全等来完成，注意AD是BC边上的中线，延长AD至E，使DEAD，即可得到ACDEBD证明：延长AD到E，使DEAD，连结BE在DACD与DEBD中 DACDDEBD（SAS） ACEB（全等三角形对应边相等）在DABE中，ABEBAE（三角形两边之和大于第三边） ABAC2AD（等量代换） 说明：一般
