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1、应用数理统计复习题(2010)一 填空题1设是总体的一个样本,。当常数C= 1/3 时,服从分布。2 设统计量,则 F(1,n) , F(n,1) 。3 设是总体的一个样本,当常数C= 1/2(n-1) 时,为的无偏估计。4 设,为观测数据。对于固定的,则 。 5设总体X 服从参数为的泊松分布,1.9,2,2,2.1, 2.5为样本,则的矩估计值为 2.1 。6设总体为样本,、2 未知,则2的置信度为1的置信区间为 。7设X服从二维正态分布,其中令Y,则Y的分布为 。8某试验的极差分析结果如下表(设指标越大越好):表1 因素水平表因素水平ABCDE130020200甲80232030250乙1
2、00表2 极差分析数据表列号试验号A1B23C4D5E67数据yi(产率)1111111183.42111222284.03122112287.34122221184.85212121287.36212212188.07221122192.38221211290.4j339.5342.7350.1350.3348.4351.6348.5T=j358.0354.8347.4347.2349.1345.9349.0697.5Rj18.512.12.73.10.75.70.5Sj42.78118.3010.9111.2010.0614.0610.031ST=63.347则(1)较好工艺条件应为 。
3、(2)方差分析中总离差平方和的自由度为 7 。 (3)上表中的第三列表示 交互作用 。9为了估计山上积雪溶化后对河流下游灌溉的影响,在山上建立观测站,测得连续10年的观测数据如下表(见表3)。 表3 最大积雪深度与灌溉面积的10年观测数据年 份最大积雪深度x(米)灌溉面积y(千亩)计算值残 差di197115.228.6231.04817.96434.7229.913-1.313197210.419.3108.16372.49200.7221.211-1.911197321.240.5449.441640.25858.6040.790-0.290197418.635.6345.961267.3
4、6662.1636.077-0.477197526.448.9696.962391.211290.9650.218-1.318197623.445.0547.562025.001053.0044.7790.221197713.529.2182.25852.64394.2026.8312.369197816.734.1278.891162.81569.4732.6321.468197924.046.7576.002180.891120.8045.8670.833198019.137.4364.811398.76714.3436.9830.417188.5365.33781.0714109.377
5、298.97则y关于x的线性回归模型为 10设总体为样本,则的矩估计量为 ,极大似然估计量为 maxX1,X2,Xn 。12设总体X在区间上服从均匀分布,则的矩估计 ; 1/12n 。 13设是来自正态总体的样本,均未知,. 则的置信度为的置信区间为 ;若为已知常数,则检验假设(已知),的拒绝域为 。14设X服从维正态分布,X的样本,则的最小方差无偏估计量 ;服从 分布。15设(X1,Xn)为来自正态总体的一个样本,已知。对给定的检验水平为,检验假设,(已知)的统计量为,拒绝域为。二 计算及证明题1 设是来自总体的一个样本。(1)证明, 相互独立(2)假设,求的分布 即 2 设是总体的一个样本
6、,求统计量的抽样分布。3 设总体(指数分布),是总体的一个样本,证明4 设总体(泊淞分布),是总体的一个样本,为样本均值和样本方差,试求(1)的联合分布律(2)5设是总体的一个样本,试求下列总体的矩估计量和极大似然估计量。(1)总体的分布律是,其中未知参数。(2)的密度函数为(为待估计参数)6 设总体(方差已知),问需抽取容量多大时,才能使得总体均值的置信度为的置信区间的长度不大于L?解: 7 为了检验某种自来水消毒设备的效果,现从消毒后的水中随机取50L,化验每升水中大肠杆菌的个数(一升水中大肠杆菌的个数服从Poisson分布),化验结果如下:试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时才能使得上述
7、情况发生的概率最大?8 某系中喜欢参加体育运动的60名男生平均身高为172.6cm,标准差为6.04cm,而对运动不感兴趣的55名男生的平均身高为171.1cm,标准差为7.10cm。试检验该系中喜欢参加运动的男生平均身高是否比其他男生高些。()9 设有线性模型,其中且相互独立,试求(1)的最小二乘估计(2)给出的分布并证明他们的独立性(3)导出检验的检验统计量 (1)根据线性最小二乘法定义:设函数只需要是此函数最小解(1)(2)得,估计值:10 若总体服从正态分布,样本来自总体,要使样本均值满足不等式,求样本容量最少应取多少?11有一种新安眠剂,据说在一定剂量下能比某种旧安眠剂平均增加睡眠时
8、间3小时,为了检验新安眠剂的这种说法是否正确,收集到一组使用新安眠剂的睡眠时间(单位:小时):26.7,22.0,24.1,21.0,27.2,25.0,23.4.根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为20.8小时,假设用安眠剂后睡眠时间服从正态分布,试问这组数据能否说明新安眠剂的疗效?11.设总体X的概率密度为,其中0是未知参数,0是已知常数,为样本,求的矩估计和极大似然估计。(1)矩估计:根据矩估计的定义E(X)=根据分部积分法:带入(1)式,得:而代入(2)得以此类推,最后可得(2)极大似然估计:似然函数12. 设总体X的概率密度为,其中0是未知参数, 为样本,求1)极大似然估计,2)总
9、体均值的极大似然估计。(1)已知密度函数:则构造似然函数取对数而则 13. 设总体X的概率密度为,其中0是未知参数, 为样本。1)证明:都是的无偏估计。2)比较的有效性。 14. 设总体X服从参数为的泊松分布,对于假设,的拒绝域为,试求此检验问题犯第一类错误(弃真)及犯第二类错误(取伪)的概率。15.考虑一元线性回归模型: ,其中相互独立且服从分布,求参数的极大似然估计,并证明它们是无偏估计。16. 考虑一元线性回归模型:,其中相互独立且服从分布,记,求A中使得最小的17. 某种产品在生产时产生的有害物质的重量(单位:克)Y与它的燃料消耗量(单位:千克)x之间存在某种相关关系.由以往的生产记录
10、得到如下数据.xi289298316327329329331250yi43.542.942.139.138.538.038.037.0 求经验线性回归方程; 试进行线性回归的显著性检验(); 试求x0=340时Y0的预测区间().若要求有害物质的重量在250280um之间,问燃料消耗量应如何控制?() 18在某锌矿的南北两支矿脉中,各抽取样本容量分别为10与9的样本分析后,算得其样本含锌(%)平均值及方差如下:南支:=0.252,=0.140,=10北支:=0.281,=0.182,=9若南北两支锌含量均服从正态分布,且两样本相互独立,在=0.05的条件下,问南北两支矿脉含锌量的平均值是否有显
11、著差异?已知:,19 X设总体的密度函数为 , 的先验分布为, 为来自总体X的样本。在平方损失下求的贝叶斯估计。20设有三台机器A、B、C制造同一种产品。对每台机器观察5天的日产量。记录如下(单位:件)A : 41,48, 41, 57, 49 B : 65,57, 54 ,72, 64C : 45,51, 48, 56, 48 试问:在日产量上各台机器之间是否有显著差异?(),已知:21设满足线性模型 , ,诸相互独立。试求(1)参数的最小二乘估计;(2)的方差;(3)的无偏估计。22单因素方差分析的数学模型为 ,。诸相互独立。(1)试导出检验假设中至少由两个不相等的统计量。(2)求的一个无
12、偏估计量。(3)设,求常数C使统计量 为的无偏估计.23车间里有5名工人,3台不同型号的机器生产同一种产品,现在让每个工人轮流在3台机器上操作,记录其日产量结果如下: 工人机器12345116131521182151416182031816181921试问这5位工人技术之间和不同型号机器之间对产量有无显著影响?24设有线性模型其中相互独立且同服从正态分布,(1)试求乘估计量;(2)试求的概率分布。25某数理统计教师随机地选取18名学生把他们分为3组,每一组各采用一种特殊的教学方法,期末进行统考,各组成绩如下:教学方法成绩 甲75,62,71,56,73,78,85 乙81,85,62,92,94,96 丙60,73,79,75,83假设学生成绩服从正态分布,试问:在显著水平下这三种教学方法的教学效果有无显著差异?哪种教学效果最好?注:三、简述题(14分)1.检验的显著性水平及检验的p值。小概率事件的值记为 ,称为显著水平 。它是检验犯第一次错误的概率(即弃真错误的概率)检验的P值是指统计量落入某个区域内的概率,这里某个区域是个拒绝域。2.参数的点估计的类型、方法、评价方法。(1)点估计(2)区间估计点估计法:a,矩估计法。基本思想:由于样品来源于总体,样品矩在一定程