【精选】输油管的最优布置方案

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1、1输油管的最优布置方案摘要：本文根据题目给出两炼油厂及铁路线的不同位置，及管线共用与非共用价格各种情形，要在铁路线上建立火车站，并求出费用最省的管线铺设方案。结合管线铺设费用的具体不同情况，建立了数学模型，数据计算较为准确，设计比较合理。针对问题 1,非共用管线或共用管线价格均相同的两种情况，总费用与总管线长成正比,建立了两个数学模型，模型 1.1 与模型 1.2。通过求导数找出其唯一符合条件的极值点，计算费用最省，得出分别为把火车站建立在点 O 处（详见图一及模型 1.1 的解）或把火车站建立在点 O 处，并把非共用管与共用管的结合处选在 D 处时（详见图二及模型 1.2 的解）。针对问题

2、2,固定了两厂、铁路线及城郊分界线的位置，且郊区只需铺设管线费用，城区还需加上拆迁等附加费用，对于附加费用，为了提高准确度，我们采用了三家咨询公司的平均数 21.67 万元/千米来进行计算。对于费用最小的计算，我们采取了光的折射原理来进行分析，以城郊线为不同介质的分界线，因其在两部分的施工费用不同，可将其看成是光在不同介质中产生了折射现象。根据原理建立模型 2，通过求导数找出其唯一符合条件的极值点，计算出点 O（6.25,0）处建立火车站，管线通过城郊分界线点 Q（15，7.2）发生折射时费用最低，为 284.97 万元。针对问题 3，对于铺设管线的费用各不相同，且城区还有附加费用。综合以上两

3、因素，我们考虑由三个不同管线铺设而成，建立直角坐标系，建立模型 3，通过求其偏导数找出其唯一符合条件的驻点，在点 O(6.73,0) 建立火车站，管线通过城郊分界线点(15,7.28)，且在（6.73,0.14）处非共用管线与共用管线相交处，得到总费用最低的管线铺设方案，总费用为 252.85 万元。关键词：管线铺设 直角坐标 折射原理 费用最省2一.问题的重述一直以来，输油管路径的选择是设计师要仔细考虑的问题，路径必须是是安全的、经济的、可行的。输油管道的合理铺设直接关系到成品油的运输成本、操作是否方便快捷等一系列问题。成品油无法外运，储油罐爆满，在很多单位，因为缺少燃料油而造成机器不能正常

4、运行，盲目的建管造成管道利用率低、成本浪费，且给管理带来不便。管道铺设是一项大工程，怎样才能节省经费是工程中的主要问题。所以，布置一条既符合实际，又能最大限度地节约经费的管道是十分必要的。问题（1）两炼油厂到铁路线和两炼油厂间距离的不同情形，以及考虑管道共线与非共线费用不同的问题，提出合理的设计方案。问题（2）针对 A、B 两炼油厂的具体位置、城郊分界线、及各不同方位间的距离（见题目图），分别为 a=5 千米、b=8 千米、c=15 千米、L=20 千米。再根据三家评估公司给出的城区拆补费用，分别为 21 万元/千米、24 万元/千米、20 万元/千米。根据给出的条件为设计院给出管线布置方案和

5、计算出相应的费用。问题（3）根据两炼油厂的生产能力的不同，这时输送 A 厂的管线铺设费用为每千米5.6 万元，输送 B 厂的管线铺设费用为每千米 6.0 万元，共用管线为每千米 7.2 万元，拆迁等附加费用同上。给出管线的最佳布置方案及相应的费用。二.问题的分析根据题意，求其费用最省的管线铺设方案，针对不同的情形，分析问题的出发点和所要考虑的因为也略有差别，具体如下：问题 1 根据要求，针对两炼油厂到铁路线路的距离和两炼油厂间距离的各种不同情形对问题进行综合考虑，我们重点分析了炼油厂到铁路的距离对管道布置的影响，考虑炼油厂 A 和炼油厂 B 是否共用管线的两种情形。对于两炼油厂之间的距离，由于

6、都建立在同一油田，之间的距离并不是此问的重点，没有作太多的分析，只说明了它们之间有一个合理的距离。对于不共用管线的情形，以铁路线为 X 轴，过火车站 O 点且垂直铁路线为 Y 轴建立了直角坐标系，假设 A 厂的坐标为 A（-x,a） （如图一所示） 。根据题意列出管线长度 S 关于 x 的函数关系式，建立数学模型 1.1，然后进行求函数的极值点，可求出其最优解，因为不共用管线时费用与管线的长度成正比，所以可得出此为不共用管线时的费用最小值。对于共用管线情形，以铁路线为 X 轴建立直角坐标系，以过 A 厂且垂直铁路线为 Y 轴建立了直角坐标系，D 点为共用管线与非共用管线的结合点，假设 D 点的

7、坐标为 D（x,y）,A、B 两厂之间的水平距离为 L（如图二所示） 。列出 Z 关于 x、y 的方程组，建立数学模型 1.2，求解其偏导数，得出其极值点，将其代入 Z 中，即可求出管线费用的最小值。问题 2 对于两厂间的距离、两厂与铁路线的距离及两厂与城郊结合处的距离都给了明确的数字。针对问题所求的最少费用的方案，根据郊区和城区的施工费用不同（郊区只需管线铺设费用，城区需加上附加费用） ，我们采取了光的折射原理来进行分析（如图三所示） 。将 B 厂关于铁路对称点 B点找出来，以城郊线为不同介质的分界线，因其在两部分的施工费用不同，可将其看成是光在不同介质中产生了折射现象。根据些原理建立模型

8、2，假设从点 A(0,5)出发的管线通过城郊分界处上的点Q（15，y）发生折射后到达点 B(20,-8)，附加费用采用三家工程咨询公司给出数3据的平均数 21.67 万元/千米，建立函数 F（y） ，通过求导得出其唯一驻点，此时可求出费用的最小值。B与 B 关于铁路（X 轴）对称，在 X 轴上方画出 X 轴以下部分对称的管线图，即为费用最小的管线施工方案。问题 3 对于铺设管线的费用各不相同，且城区还有附加费用。综合以上两因素，我们考虑由三个不同管线铺设而成（见图五所示） 。同样的以铁路线为 X 轴，过点 A 且垂直铁路线为 Y 轴建立了直角坐标系，假设三管线相交点为 N（x,y1）,城郊分界

9、线上的点为 P（15,y2）,建立模型 3，通过求偏导数找出其极值点，即为费用最省的点。三.模型假设假设一 管道在布置过程中，不受高山、湖泊等的影响。假设二 在施工途中，不考虑材料的浪费。假设三 不考虑除成本和拆补以外的附加费用。四.符号说明A A 厂所在的位置B B 厂所在的位置a 表示 A 厂到铁路的距离b 表示 B 厂到铁路的距离x 火车站到 A 厂的水平距离L A 与 B 之间的水平距离O 车站所建的位置S 管线总长度B B 厂以铁路线为对称轴的对称点Q 城区与郊区交界线上任意一点 Q 以铁路线为对称轴与点 Q对称N 共管线与非共管线的相交点F 管线总费用五.模型的建立与求解模型 1.

10、1 根据问题 1 给出的提示，两炼油厂到铁路线路的距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，并且炼油厂不共管线，铺设管线费用相同。给出模型 1.14bXYLxa图一如图一所示，假设，两厂在同一区域内且位置不确定，以车站位置点为原点建立直角坐标系。根据两点间的距离公式得出：S= + 2xa22)(xLbLx,0因为 S(x) 在其定义域内是连续的，对 S(x)求一阶导，S= )(2)1)(21222xx = 222Lba令 S=0，即 ，222)(xx求得: = , = （ 与题意不符）1x2abL22abL2因为有唯一驻点，所以 是 S(x)取得极小值的点，把 代入 S 的方程，1x5S=22222

11、22 )(1)()(1 LbabLababab 所以得出在到 A 厂的水平距离为 处建立车站 O，此时管线铺设的距离为2ab最小，因为费用一致，管线的费用与管线的长度成正比，即管线铺设的费用最低。模型 1.2 根据问题 1 给出的提示，两炼油厂到铁路线路的距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，并且炼油厂可以共用管线，铺设管线费用相同。给出模型 1.2YX（0,a）abD(x,y)Lx如图二，假设 A,B 两厂位置任意，且 A 厂到铁路的垂直距离为 a; B 厂到铁路的垂直距离为 b；车站到 A 厂的水平距离为 x；A，B 两厂的水平距离为 L.D 为 A、B 两厂共管线与非共用管线的交点，以铁路

12、线为 X 轴，过 A 点且垂直于 X 轴的直线为 Y 轴，建立直角坐标系。依题，写出总管线长度 S 与 x、y 的函数关系式ybLaxS 2222 )()()(利用 Matlab 软件 1求 S 对 x,y 的偏导 2（见附件 1）图二62222 )()()( ybxLyaxS 1)()()( 2222 ybxLyyaxyS并令偏导数等于 0 01)()()( )()()( 2222 2222 ybxLyyax yxLyx求得， ,22336)3(3)(32/1aLbaLbaLbaLx bay621当 D 点在所求得的坐标（x,y）时，S 最小，总费用也最少。即车站 O 建在坐标点7)0,33

13、6)3(3)(3 2/1 22aLbaLbabLbaL 时管线的总长度 S 取得最小值。模型 2 利用折射定律 3原理分析：现在的问题转换为质点 A 在郊区和城区的介质沿折线 AQB运动，所用的费用最短，求解折线与铁路的交点 O 的坐标。依题可知，车站 O 的位置一定在郊区。再把 OQ 关于铁路的对称线 OQ, QB关于铁路的直线 QB 求出，可知折线 AOQB 为实际要求的最短路线；具体分析如图三：XY（0,5）Q (15,-y)(20，8)(20,-8)Q（15，y）图三铁路以铁路为 x 轴，过 A 点且垂直 x 轴的直线为 y 轴，知点 A 坐标为（0,5）, 点8B（20，8） ，点

14、B（20，8） ，点 Q(15,y), 点 Q(15,y)。假设在城区与郊区的交界线上点 Q 为两不同介质交界处发生折射的点。因 B 位于城区在铺设管线时涉及到拆迁和工程补偿等费用，城区与郊区的铺设管线费用不同，我们利用光的折射定律寻找 A 向 B传播时在交界线发生折射，这时 A 与 B距离最短。对于拆补费用的测算，聘请了三家工程咨询公司进行评估。评估出来的结果如下图所示：经过比较分析，我们取这三家公司的平均值 21.67，这个数值也比较接近有甲级资质 3的公司一，所以具有一定的合理性。A 厂到铁路的垂直距离为 5 千米，B 厂到铁路的垂直距离为 8 千米，B是 B 关于铁路的对称点，假定 Q

15、 点是城郊分界线上的任意一点，Q是 Q 关于铁路的对称点。依题意可得管线施工的总费用 F 2222 )8()015(87.)015()(2.7)( yyyF 96. 22 y利用 Matlab 对 F 求导，得出 F 关于 y 的导数为（见附件二） ， )12(89160/7)102(510/8)( 22 yyyy令 F(x)=0 时，F(y)有唯一驻点 y=-7.2，所以这个唯一驻点就是 F(y)取得最小值点看图，依题求得 OA 的斜率 5401.7OAK在费用最低时，利用斜率 和斜截式得出直线 AQ 的方程：4x+5y-25=0，当 y=0 时，求解出车站 O 的坐标（6.25，0） 。利用两点间的距离公式，得AO+ OQ= 3.1984.7Q B= 06.5.2求得最优点 O 的坐标为（6.25，0） ，即车站建在坐标（6.25，0） ，布置方案为 AOOQQB 时路线最短且总费用最低.将 y=-7.2 代入到 F(y)中工程咨询公司 公司一 公司二 公司三 公司资质 甲级 乙级 乙级附加费用（万元/千米） 21 24 209此时管线费用最低为 97.284.158.39|)(2.7yF铺设管线的具体路线如图四所示：XY（0,5）(20.8)(20,-8)Q（15，-y）图四铁路模型 3.1 在实际问题中由于两