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1、1输油管的布置优化模型摘要针对输油管的最优布置问题本文对其进行相应建模的目的：设计最优路线，建立费用最省的输油管路线。但是此题不同于一般简单的求解最短路线的问题，此题需要考虑影响因素，例如拆迁的难度和 A,B 炼油厂的实际产量等等。我们基于最优路线的模型和问题的实际情况进行考虑，进而我们对以下三个问题设计了合理的数学模型并且做出了相应的解答和处理。针对问题一：我们只需考虑两炼油厂和铁路之间的位置关系，根据位置的不同而设计相应的模型并基于将军饮马 的问题，设计了相应最优路线的模型。首先，在没有1公用管线的情况下，我们只需找到两炼油厂与铁路交点的最短连线即可，在此种情况下，我们根据 A,B 管费用
2、的同于不同以及 A,B 管在同一直线上时建立相应模型，从而得出最优解。其次，在有公用管线的情况下，我们根据公用管线与非公用管费用的同于不同以及 A,B 管与公用管道线费用都不同建立相应模型，从而得出最优解。最后，再对相应模型进行比较，得出最终最优解。针对问题二：此问给出了两个加油站的具体位置，并且增加了城区和郊区以及城区拆迁和工程补偿等附加费用的特殊情况，我们需进一步改进模型。关于对附加费用的估计，我们根据各公司的资质及附加费用的高低，排除公司二，对于公司一、公司三我们将再建立模型的基础上求其最佳费用并分别进行比较，使其成本降到最低，选择最优方案。方案一：无公用管线及实际情况下的最优模型；方案
3、二：有公用管线的最优模型；对于方案二我们建立直角坐标系以铁路为横坐标，郊区左边为纵坐标建立坐标轴，根据其位置关系建立方程，然后进行求解。对于方案一、二的求解模型进行比较得出其最优解管道费用为 283.25 万。针对问题三：该问是在问题二的基础上进一步的深入，根据各段管线的铺设费用不同，确立最优铺设方案。我们利用问题二中建立的数学模型，建立了最低费用函数，并且利用 MATLAB 软件，得其最优费用为 252.32 万元。2关键字 最优路线；将军饮马问题；MATLAB 软件 2一、问题的重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍
4、性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。利用模型分析管线布置和管线费用的情况，具体问题如下：1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。2. 设计院目前需对问题一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中 A 厂位于郊区（图中的 I 区域），B 厂位于城区（图中的 II 区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为 a = 5， b = 8， c = 15， l = 20。若所有管线的铺设费用均为每千
5、米 7.2 万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：工程咨询公司 公司一 公司二 公司三 附加费用（万元/千米） 21 24 203请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送 A 厂成品油的每千米 5.6 万元，输送B 厂成品油的每千米 6.0 万元，共用管线费用为每千米 7.2 万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应
6、的费用。4二、模型假设1.将炼油厂 A 和炼油厂 B 都看成质点2.管道都以直线段铺设,不考虑地形影响3.不考虑管道的接头处费用4.忽略可以阻挠铺设管道的一些外在因素5.假设管道布置的形式为单管系统三、符号说明:A 到铁路的垂直距离a:B 到铁路的垂直距离b:两厂之间铁路长度l：两厂与铁路交点的连线长L:公用管道费用m:非公用管道费用n：造价费用W:A 管道的费用1n： B 管道的费用2:附加费用q四、问题分析结合炼油厂输油管的布置所提出的三个问题和相关要求，我们从以下几方面5进行分析和讨论。针对问题一要分两种情况考虑： (1)当铺设的管线中无共用管线时，该问题可以转化为一个以总费用最省的优化
7、模型。在这种情况下又分别考虑两个炼油厂单位管线的铺设费用相同和不同两种情形，同时又要注意两管线在同一直线上这一特殊情况，从而建立出不同的优化模型。(2)当铺设的管线中有共用管线时，考虑共用管线的铺设费用与各炼油厂非共用管线铺设费用之和最小，从而建立出以总费用最省的优化模型。针对问题二：由于铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等费用，首先根据三家工程咨询公司具有的资质及附加费用的高低排除公司二，进而比较公司一和三。从单纯考虑铺设费用最省的角度，可以建立一个总费用最省的优化模型。又从城市的规划与扰民情况考虑，在城区内铺设的管道要尽可能短，由此角度考虑，同样可以建立另一种总费用最省的优化模型。在上
8、述依据的情况下又要充分把模型建立在问题一的基础上，从而得出最优解。针对问题三：问题三是问题二的细化，即给出各炼油厂非共用管线的单位铺设价格和共用管线的单位铺设价格。因为都是要求铺设费用最省，且问题三只是将问题二中的费用具体化，所以问题三可按照问题二中单纯考虑总费用最少的模型的分析方法，建立模型，求出最佳的铺设方案。五、模型的建立与求解问题一的数学模型：根据是否有公共管线及费用的相同与否，分两种情况分别建立最优模型。模型一：当无公用管线时如图 1，我们只需要找两厂与铁路交点的最短连线即可。我们基于将军饮马的问题并考虑到 A 管与 B 管费用建立以下模型。6图 11、当 A 管与 B 管费用相同时
9、此时总的长度为： 2)(lbaL其造价为： mw2、当 A 管与 B 管费用不相同时此时总的造价为： 212121 )(blnlanw3、与此同时存在特殊情况当 ，此时如图 20图 2有 （A 管与 B 管费用相同）mbaw),x(（A 管与 B 管费用不同）)()(12nba模型二：当有共用管线时如图 3，我们就应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同以及 A 管与 B 管费用相同与否的情形得到以下模型。7图 3 1、当共用管线费用与非共用管线费用相同时此时总的长度为： )0()(2bhbhaL造价为： mLw2、当共用管线费用与非共用管线费用不相同时此时总的造价为： nhbllhamw
10、 )()1()( 222l10),ax(bh3、当 A 管、B 管 费用与共用管线费用都不相同时此时总的造价为： 22112 )()()( nhblnlhamwl10),max(bh8问题二的数学模型：由于 A、B 位于不同的区域，要考虑到铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿费用，为了使费用最优，我们根据三家咨询公司的资质及附加费用的高低，首先排除公司二，对于公司一、公司三，我们将分别求出最佳费用，并进行比较使其成本达到最优，选择最优方案。模型一：当无共用管道时，如图 4 所示，我们根据镜像原理进行求解，从而找到最优点 。图 41、当 A 管与 B 管 费用相同时，理想状态下总长度为： 2)
11、(lbaL需附加费用的城市长度为： 41根据公司一的预计使用的总成本费用为： Lw412.7=296.97 万9根据公司三的预计使用的总成本费用为： Lw4120.7=291.93 万因为通过公司一、三费用的比较 296.97291.93，所以就费用问题考虑，我们选择公司三。但考虑到公司一资质为甲资质且费用相差不多，最后我们选择公司一。2、考虑到实际情况中拆迁可能引起的一系列问题，可使拆迁距离最短。方案如图 5 所示：图 5 总长度为： )(2cbaL根据公司一的预计使用的总成本费用为： 10521.7Lw=247.91 万根据公司三的预计使用的总成本费用为： 520.7L=242.91 万因
12、为通过公司一、三费用的比较 247.91242.91，所以就费用问题考虑，我们选择公司三。但考虑到公司一资质为甲资质且费用相差不多，最后我们选择公司一。模型二：当有公用管线的时候我们建立如图直角坐标系如图 6。由题我们知道 。得到坐标15,20,85clba ),(,),1(,01ycfxpbBaA图 6我们得到其总费用为： )()1()()()( 21221222),(1 bycqnycxayxnwyx 求其最小值并分别求偏导数。11有： 212212),( 21222),( 21222),( )()()()( )1( ()()111 bycqnycxnwxyaycxxnyxyxyx我们先令
13、 为零。联立方程组得到1,yx 0),(,),(11yxyxw由题有： 公司一的附加费用为 21，公司三的附2.7,.,20,85nmlba加费用为 20。从而利用 MATLAB 软件求得 的值（程序见附录） ，代入 总。1,yxw得到两组值为：和37.8514.y1.28.y将值代入，得到 283.25 同时也验证了模型二的讨论。所1w4.2以选择有共用管道的设计方案 因此当共用管与非共用管的交点与 A 厂的水平距离为 5.45 千米，到铁路的距离为 1.85 千米，输油管与郊区和城区分界线的交点到铁路的距离为 7.37 千米，这样布置管道线是最优的。由计算可知，火车站点在郊区，按照这布置可
14、求得管线的总费用为 283.25 万元。问题三的模型：因为问题三是问题二的进一步深化，所以在问题二的模型二的基础上，为进一步节省费用，根据不同炼油厂的生产能力不同，选用相适应的油管，不同油管的铺设费用不同，综合考虑总费用，根据上图列出总费用的方程，用 MATLAB软件求出最佳布置方案及相应的费用。12建设中含有共用管道的总费用为： 2122212221),( )()()()()()( byclanymycxnayxnwyx 求其最小值，对 求偏导数，得),(1yx 212212),( 2121),( 212221),( )()()()( )()(111 bycqnycxnwxcamyxnyxn
15、yxnyxnyx由题有： 且公司一附加费用为 21 万元，0.6,.5,.7,0,8521lba公司三的附加费用为 20 万元。从而利用 MATLAB 软件求得 的值（程序见1,yx附录） 。得到两组数值为：和28.71403.6yx1.725.yx将值代入可因为所以选择有共用管道的设计方案，得到 252.32 1w87.249w因此，当共用管与非共用管的交点与 A 厂的水平距离为 6.37 千米，到铁路的距离为 0.14 千米，输油管线与郊区和城区分界线的交点到铁路的距离为7.28 千米，这样布置管道线是最优的。按照这布置可求得管线的总费用为252.32 万元。六、模型的评价模型的优点： 1、本模型将管线费用最省这一问题转化为求目标函数的最值问题，简单易解，图示直观。 132、本模型通用性较强。 3、在确定备选方案时，本模型先粗后精、逐步逼近，从而使得出最优方案的速度大为加快。 4 、通过对不同方案的数据分析，使模型更加完美。模型的缺点： 1、由于原题提供的信息较少，所以本模型对许多因素的衡量都比较简单，这样并不是很全面、精确。关于这一点，我们将在模型的改进中作进一步讨论。2、模型中忽略了很多实际中的因素，
