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1、安徽工程大学数学建模课程论文设计组合投资的收益和风险问题姓名：孙伦周班级：数学112 学号：3110801212 指导老师：周金明 完成日期：2013.6.25摘要本论文主要讨论解决了在组合投资问题中的投资收益与风险的相关问题。问题一是一个典型的线性规划问题，我们首先建立单目标的优化模型，也即模型1，用Lingo软件求解，得到在不考虑投资风险的情况下，20亿的可用投资金额所获得的最大利润为153254.4万元。问题二是一个时间序列预测问题。分别在独立投资与考虑项目间的相互影响投资的情况下来对到期利润率和风险损失率的预测。两种情况下的预测思路与方法大致相同。首先根据数据计算出到期利润率，将每一个
2、项目的利润率看成一个时间序列，对该序列的数据进行处理，可以得到一个具有平稳性、正态性和零均值的新时间序列。再计算该序列的自相关函数和偏相关函数，发现该时间序列具有自相关函数截尾，偏自相关函数拖尾的特点，所以可认为该序列为一次滑动平均模型（简称MA(1)）。接着，用DPS数据处理系统软件中的一次滑动平均模型依次预测出各项目未来五年的投资利润率。对于风险损失率，我们用每组数据的标准差来衡量风险损失的大小，将预测出来的投资利润率加入到样本数据序列中，算出该组数据的标准差，用该值来衡量未来五年的风险损失率。 问题三与问题一类似，也是优化的问题，其目标仍是第五年末的利润最大，而且也没有考虑风险问题，只是
3、约束条件改变了。我们建立非线性规划模型，仍用Lingo解得大利润为620589.7万元。关键词：最大利润 投资风险 独立投资 捐赠一、问题重述某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金，市场上有8个投资项目（如股票、债券、房地产、）可供公司作投资选择。其中项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。一、公司财务分析人员给出一组实验数据，见表1。试根据实验数据确定5年内
4、如何安排投资？使得第五年末所得利润最大？二、公司财务分析人员收集了8个项目近20年的投资额与到期利润数据，发现：在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。8个项目独立投资的往年数据见表2。同时对项目3和项目4投资的往年数据；同时对项目5和项目6投资的往年数据；同时对项目5、项目6和项目8投资的往年数据见表3。(注：同时投资项目是指某年年初投资时同时投资的项目)试根据往年数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。三、未来5年的投资计划中，还包含一些其他情况。对投资项目1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万，则
5、同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。项目5的投资额固定，为500万，可重复投资。各投资项目的投资上限见表4。在此情况下，根据问题二预测结果，确定5年内如何安排20亿的投资？使得第五年末所得利润最大？四、考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金投资若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量。如果考虑投资风险，问题三的投资问题又应该如何决策？五、为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司又应该如何对5年的投资进行决策?二、问题假设1、无交易费和投资费用等的费用开支；2、在投资的5
6、年时间内市场发展基本上是稳定的；3、投资期间社会政策无较大变化；4、公司的经济发展对投资无较大影响；5、外界因素对投资的资产无较大影响。 三、符号的约定第五年末的利润；第年初的可用总资金，也就是第年末的可用总资金；第年获得捐赠的资金数目第年第五个项目重复投资的次数三个项目同时投资的利润率两个项目同时投资的利润率收益的标准差；第个项目的投资额上限；第年初对第个项目的投资额；模型一中第个项目的预计到期利润率；模型三中第年第 个项目的利润率；四、模型的建立与求解5.1问题1模型的建立与求解通过以上的分析，我们可以运用线性规划的方法建立模型1。目标函数是第五年末的总利润:(1.0)约束条件为：项目1和
7、2每年的投资金额的限制：,(1.1)项目3和4在两年的运行期投资金额的限制：,(1.2)项目5和6在三年的运行期投资金额的限制：,(1.3)项目7运行期为4年，且要第二年初投资，所以只投资一次：(1.4) 项目8运行期为3年，且要第三年初投资，所以也只投资一次：(1.5)第i年的可用投资金额对8个项目的投资金额的限制：, (1.6)第一年的投资金额上限：（1.7)第i年的投资金上限为第i-1初的资金减去第i-1年投资用去的资金，再加上第i-1年末回收的的资金, 第2年初至第6年初的投资资金依次如下：(1.8) (1.9)(1.10)(1.11)(1.12)用Lingo编写程序，程序见附录1。解
8、得最大利润为 153254.4（万元） ， 投资方案如表1所示 表Error! No text of specified style in document.:1 5年内各项目的投资计划(单位：万元) 投资额（亿元）第一年第二年第三年第四年第五年项目一60000.0045544.4460000.0060000.0060000.00项目二30000.0030000.0030000.0030000.0030000.00项目三40000.000.0000000.00000040000.000.000000项目四10114.6119885.390.00000030000.000.000000项目五37
9、55.5560.00000026044.440.0000000.000000项目六20000.0040000.000.0000000.0000000.000000项目七0.0000000.0000000.0000000.0000000.000000项目八0.00000060000.0030000.000.0000000.000000各年的可用投资金额如表2所示表Error! No text of specified style in document.:2 各年的可用金额(单位：万元) 年份12345可用金额200000.0135429.81462444.4160000.099300.00每年
10、的投资金额总数如表3所示表Error! No text of specified style in document.:3各年的投资金额总数（单位：万元) 年份12345金额数163870.2135429.8146244.4160000.090000.005.2问题1模型的检验在该模型中，影响最终利润的因素有个：（1）预计到期列率；（2）可用投资总资金；（3）各投资项目的上限。我们可以通过分别独立改变这三个因素的值来确定这三个因素对模型的灵敏度，从而反映各个因素对模型结果影响的显著性水平。反之，通过改变各参数的值，又可以反映和检测所建模型的实际合理性。5.2.1预计到期利润率灵敏度分析本问题目
11、标函数是总利润最大，而当投资总资金和各投资项目的上限一定时，总利润就是与各项目的到期利润率相关，但是作为投资，当利润率越大，获得的利润也相应的越大。所以利润率增大，对实际的投资就越有利。而当利润率减小时，相应的利润也会减小，当利润率减小到一定值的时候，就会出现投资的一个边缘利润，当利润小于这个边缘利润的时候，实际的投资价值就不高，所以投资的项目安排也应该考虑利润率的问题。总的来说，在不考虑风险的情况下，投资利润与投资利润率成正比的关系。5.2.2可用投资总资金的灵敏度分析利润为投资资金与到期利润率的乘积，所以总的可用投资资金直接影响着总利润。所以在实际投资当中，我们就要充分考虑可用投资总资金的
12、改变对总的利润的改变的显著性的大小。假设其他的条件不改变，通过改变投资总资金的大小来观测总收入的变化，具体结果如表4所示，对应曲线如图1所示表Error! No text of specified style in document.:4 最大总利润（单位：万元）投资资金资金改变量总利润利润改变量170000-3000141721.9-11532.5180000-2000147686.7-5567.7190000-1000151439.6-1814.82000000153254.402050005000154160.7906.32060006000154339.31084.9207000700
13、0154517.91236.52080008000154696.414422090009000154700.01445.621000010000154700.01445.6图 1利润与可用投资资金的曲线由表格所得的数据及所对应的图象可以得出：1） 当可用投资总额小于208000万元时，总的利润与投资额呈现正比的关系，即投资资金小于208000万元时，投资资金越大，所获得的总利润也相应的越大；反之就越小。但是又由图象可以看出，投资资金在170000万元到208000万元之间，图象可以分为三个阶段（1.7-1.8，1.8-1.9，1.9-2.08），随着投资金额的增大，总利润的增加速率逐渐减小，说
14、明投资资金对总利润的影响越来越小，但是在170000-208000之间，投资金额还是该模型的一个紧约束。2）当可用投资总额大于208000万元时，由图象可以看出，可用投资总额与总利润没有关系，此时的总利润保持154700.0万元不变，所以当投资额大于208000万元时，大于208000万元的那部分对投资来说就是一种浪费，完全没有利润所言，所以作为实际的投资决策者，应该保持可用的投资额接近208000万，不能超过208000万元，以便获得最大的总利润154700.0万元。5.2.3投资上限的灵敏度分析各个项目的投资上限也是影响总利润的重要因素，通过改变各个项目的投资上限来观测总利润的变化，从而进一步分析模型，表1.5列出了上限在-20000万元到20000之间变化的利润变化。表5投资上限的变化与利润的变化改变量项目-2000015000-10000-5000050001000015000200001-8554.4-6
