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1、第二章 连续系统的时域分析,2.1 LTI连续系统的响应 一、微分方程的经典解 微分方程的经典解： r(t)(完全解) = rh(t)(齐次解) + rp(t)(特解） (1)齐次解是齐次微分方程的解 rh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。,特征方程的根为n个单根 当特征方程的根(特征根)为n个单根(不论实根、虚根、复数根)1， 2， ， n时，则r (t)的通解表达式为, 特征方程的根为n重根 当特征方程的根(特征根)为n个重根(不论实根、虚根、复数根) 1= 2= n = 时，r (t)的通解表达式为:,特征方程为：,(2)特解 特解的函数形式与激励函数的形式有关。 根据输入信号
2、的形式设对应特解形式，用待定系数法确定。,几种典型自由项函数相应的特解,例2.1.1描述某系统的微分方程为r”(t) + 5r(t) + 6r(t) = e(t)，求（1）当e(t) = 2 ，t0；r(0)=2，r(0)= -1时的全解；（2）当e(t) = ，t0；r(0)= 1，r(0)=0时的全解。,解: (1) 特征方程为 其特征根1= 2， 2= 3。 齐次解为,由表2-2可知，当e(t) = 2 时，其特解可设为,将其代入微分方程得 解得 B=1 于是特解为 全解为：,其中待定常数A1,A2由初始条件确定。 r(0) = A1+A2+ 1 = 2， r(0) = 2A1 3A2
3、1= 1 解得 A1 = 3 ，A2 = 2 最后得全解,t0,（2）齐次解同上。 当激励e(t)= 时，其指数与特征根之一相重。 由表知：其特解为 rp(t) = (B1t + B0) 代入微分方程可得 B1 =,所以 B1= 1 但B0不能求得。全解为,将初始条件代入，得： r(0) = (A1+B0) + A2=1 ， r(0)= 2(A1+B0) 3A2+1=0 解得 A1 + B0 = 2 A2= 1 最后得微分方程的全解为 上式第一项的系数A1+B0= 2，不能区分A1和B0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。,二、关于 0- 和 0+ 初始值 1、0 状态和 0 状态 0 状态称
4、为零输入时的初始状态。即初始值是由系统的储能产生的； 0 状态称为加入输入后的初始状态。即初始值不仅有系统的储能，还受激励的影响。 从 0 状态到 0 状态的跃变 当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0 状态到 0 状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含(t)及其各阶导数。,如果包含有(t)及其各阶导数，说明相应的0状态到0状态发生了跳变。 0 状态的确定 已知 0 状态求 0 状态的值，可用冲激函数匹配法。 求 0 状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出。,各种响应用初始值确定积分常数(初始值用的都是0+的值) 在经典法求全响应的积分常数时，用的是0状态初始值。 在求系统
5、零输入响应时，用的是 0 状态初始值。 在求系统零状态响应时，用的是 0 状态初始值，这时的零状态是指 0 状态为零。,2、冲激函数匹配法 目的： 用来求解初始值，求（0）和（0）时刻值 的关系。 应用条件：如果微分方程右边包含（t）及其各阶导 数，那么（0）时刻的值不一定等于（0） 时刻的值。 原理： 利用t0时刻方程两边的（t）及各阶导数 应该平衡的原理来求解（0）,mn，则,（1）假设,mn，则,（2）将r(t)及其各阶导数带入原方程，求出C0.Cm ; （3）对r(t)及各阶导数求（0，0）的积分.,例2.1.2：描述某系统的微分方程为r”(t) + 3r(t) + 2r(t) = 2
6、e(t) + 6e(t)，已知r(0-)=2，r(0-)= 0，e(t)=u(t)，求r(0+)和r(0+)。,解： 将输入e(t)=u(t)代入上述微分方程得 r”(t) + 3r(t) + 2r(t) = 2(t) + 6u(t),列式得：,代入原方程得 a=2，b=0,由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各阶导数）时，响应r(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。,从0-到0+积分得：,得：,三、零输入响应和零状态响应 1、定义： （1）零输入响应：没有外加激励信号的作用，只有起始状态所产生的响应。 （2）零状态响应：不考虑起始时刻系统储能
7、的作用，由系统外加激励信号所产生的响应。 LTI的全响应：r(t) = rzi(t) + rzs(t),求rzi(t)的基本步骤 求系统的特征根，写出rzi(t)的通解表达式。 将确定出的积分常数A1，A2， ，An代入通解表达式，即得rzi(t) 。,由于激励为零，所以零输入的初始值： 确定积分常数A1，A2， ，An,2、零输入响应 即求解对应齐次微分方程的解,3、零状态响应(0-时刻值为0) （1）即求解对应非齐次微分方程的解 （2）求rzs(t)的基本步骤 求系统的特征根，写出的通解表达式rzsh(t)。 根据e(t)的形式，确定特解形式，代入方程解得特解rzsp(t) 将确定出的积分
8、常数A1，A2， ，An代入全解表达式，即得,求全解，若方程右边有冲激函数（及其各阶导数）时，根据冲激函数匹配法求得 ，确定积分常数A1，A2， ，An,例2.1.3：描述某系统的微分方程为r”(t) + 3r(t) + 2r(t) = 2e(t) + 6e(t),已知r(0-)=2，r(0-)=0，e(t)=u(t)。求该系统的全响应，零输入响应和零状态响应。 解：（1）r”(t) + 3r(t) + 2r(t) = 2(t) + 6u(t) 利用系数匹配法分析列式得： r(t)=a(t) +b， r(t)=a ， r(t)=0 代入原方程得a=2，b=0,根据微分方程经典求法： 齐次解：
9、齐次解形式为： 特解,根据特解形式得到: 解得 B3 解得全响应为：,利用初始值解得： 全响应为：,（2）零输入响应rzi(t), 激励为0 ， rzi (0+)= rzi (0-)= rzi (0-)=2 rzi(0+)= rzi(0-)= rzi(0-)=0 根据特征根求得通解为：,解得系数为 代入得,（3）零状态响应rzs(t) 满足 r”(t) + 3r(t) + 2r(t) = 2(t) + 6u(t) 利用系数匹配法解得：,对t0时，有 rzs”(t) + 3 rzs(t) + 2 rzs(t) = 6 其齐次解为 其特解为常数 3 ， 于是有 根据初始值求得:,自由响应强迫响应
10、(Natural+forced),零输入响应零状态响应 (Zero-input+Zero-state),暂态响应+稳态响应 (Transient+Steady-state),四系统响应划分,自由响应：也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应于齐次解。 强迫响应：形式取决于外加激励。对应于特解。 暂态响应：是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间t 增加，它将消失。 稳态响应：由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。 零输入响应：没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。 零状态响应：不考虑原始时刻系统储能的作用（起始
11、状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。,相互关系 零输入响应是自由响应的一部分，零状态响应有自由响应的一部分和强迫响应构成 。,自由响应,强迫响应,零输入响应,零状态响应,一冲激响应 1定义 系统在单位冲激信号(t) 作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。,2.2 冲激响应和阶跃响应,例2.2.1 描述某系统的微分方程为r”(t)+5r(t)+6r(t)=e(t)求其冲激响应h(t)。 解：根据h(t)的定义有h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0， 利用冲激函数匹配法，设： h”(t) =a (
12、t)+b h(t) =a h(t) =0 解得：a=1, b=-5 h(0+)=h(0-)=0 h(0+) =1 + h(0-) = 1,微分方程的特征根为 故系统的冲激响应为 代入初始条件求得A1=1,A2=-1, 所以,对t0时，h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0，故系统的冲激响应为齐次解。,例2.2.2 描述某系统的微分方程为r”(t)+5r(t)+6r(t)= e”(t) + 2e(t) + 3e(t)，求其冲激响应h(t)。 解：根据h(t)的定义有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) (1) h(0-) = h(0-) =
13、 0 先求h(0+)和h(0-)，根据冲激函数匹配法得： h”(t) = a”(t) +b (t) +c(t)+ d h(t) = a(t) +b(t) + c h(t) = a(t) + b 带入方程求得： a =1 ，b = - 3，c = 12，d=-42,故 h(0+) = 3， h(0+) =12 对t0时，有 h”(t) + 6h(t) + 5h(t) = 0 微分方程的特征根为 故系统的冲激响应为,所以: h(t) = (t) + b h(t) = (t) - 3(t) + c h”(t) = ”(t) - 3 (t) + 12(t)+ d,代入初始条件h(0+) = 3， h(
14、0+) =12 求得A1=3，A2= 6, 所以 结合式h(t) = (t) + b得:,系统的输入 e(t)=u(t) ，其响应为 r(t)=g(t) 。系统方程的右端将包含阶跃函数u(t) ，所以除了齐次解外，还有特解项。,我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶跃响应关系求阶跃响应。,二阶跃响应 1定义 系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用g(t)表示。,2阶跃响应与冲激响应的关系 线性时不变系统满足微、积分特性,解：s由1转向2后， 列写回路方程：R1 i(t)+vc(t)=e(t) vc(t)=L iL(t)+iL(t)R2 列写结点
15、方程： i(t)=Cvc(t)+iL(t),例2.2.4电路如图所示，求电流i(t)对激励e(t)=u(t)的阶跃响应，t0时，s由1转向2。,整理得到： i(t)+7i(t)+10i(t)=e(t)+6e(t)+4e(t) 阶跃响应满足：,g(0-)=0 ,得,特解B代入得： 10B4，B2/5,利用冲激函数匹配法求解常数A1，A2，设： 代入原方程得到： 所以：a=1,b=-1,c=-1,得： g(0+)=g(0-)+1=1 g(0+)=g(0-)-1=-1 解得： A1=2/3, A2=-1/15 得：,2.3 卷积积分,一、信号的时域分解 1、任意信号的分解,2、卷积积分 (1)定义：已知定义在区间（ ，）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分,记为 ：,(2) 任意信号作用下的零状态响应,例2.3.1求卷积：,解：,（3）卷积积分的求解,例2.3.2： 解：,（b）卷积积分的图解： 卷积过程可分解为四步： （1）换元： t换为得f1()， f2() （2）反转平移：由f2()反转 f2()右移t f2(t-) （
