第三部分机械系统弹性动力学基础幻灯片

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1、连续系统的振动,弦的振动 杆的轴向振动 圆轴的扭转振动 梁的横向振动 在分析时，假定材料是均匀连续和各向相同性的，服从胡克定律，运动是微幅的，是一个线性系统。此外，为了简化，将不考虑系统的阻尼。,第一节 弦的振动,在工程中常遇到真能承受拉力而抗弯曲及压缩能力很弱的构件：如钢索、电线、电缆、皮带等。 这类构件的振动问题称为弦的振动 如图4-1（a）所示为两端固定用预紧力F0拉紧的弦。在初始干扰下，弦作横向自由振动，弦上各个点的位移y是坐标x和时间t的函数，因此，位移曲线可以表达为,设弦为均质，密度为、截面积为A。在弦上x处取微分段dx，其质量为 考虑到F0远大于弦的重力，对于微振动来说，假设个截

2、面处的张力均相等，且等于初张力F0。微段左右手两个大小想的但方向不同的张力，如图 4-1（b）所示。由牛顿定律可写出沿y方向的运动微分方程,化简后得到,设,，a为波长沿弦长度方向传播的速度，,则上式（4-1）就是均质弦横向振动的微分方程，通常称为波动方程。,在多自由度系统振动分析时得知，在作主动振动各质点将作同样频率和相位的运动，各质点同时经过静平衡位置和达到最大偏离位置，即系统具有一定与时间无关的振动。连续系统也应具有这样的特性，故可假设（4-1）的解为,上式中：Y（x）表示弦的振型函数，仅为x的函数，而与时间无关； （t）是弦的振动方式，仅为时间t的函数。,移项后得,式中x和t两个变量已分

3、离。,将（4-2）分别对时间t、x求而阶偏导后，代入（4-1），得,两边都必须等于同一个常数。设此常数为- 则可得两个二阶常微分方程,式 （4-4）形式 与单自由度振动微分方程相同，其必为简谐振动形式,它描绘出弦的主振动是一条正弦曲线，其周期为 。将（4-6）、（4-7） 代入（4-2）,式中：C1、C2、 n和为四个待定系数，可由两端的边界条件和振动的两个初始条件来决定。,由（ 4-5）可解出振型函数，得,化简得,式(4-11)即为振动的特征方程，即频率方程，其解为,由于弦的两端固定，其边界条件为,将(4-9)代入 (4-8)得,显然有,从而可得弦振动的固有频率为,式中: nk为第k阶的固有

4、频率。,该式表明有无穷多个固有频率，同时，对应无穷阶的主振型为,从以上分析可以看出，作为连续系统的弦振动的特性与多自由度系统的特性是一致的。不同的事，多自由度系统的主振型是以各质点之间的振幅比来表示的，而弦振动中质点的数趋于无穷多个，质点振幅采用振型函数Y=（x）表示。,对应主振型为,在一般情况下，显得自由振动为无限多阶的叠加，即,例 4-1 求如图4-1（a）所示的弦振动的前三阶固有频 率和响应的主振型，并作出主振型图。,同样，将n1 n3代入（4-13），可得前三阶主振型,解：将k=1，2，3代入式（4-13）即得到前三阶的固有频率为,若以x为横坐标，Y(x)为纵坐标，并令Ck1=1（k=

5、1，2，3）则可作出前三阶主振型，如图4-2（a）所示。图4-2中振幅式中为零的点称为节点，节点数随振型阶次而增加，第n阶主振型有n-1个节点。,为了将连续系统与离散系统的动力学特性比较，现将弦离散成三个自由系统，如图4-2（b）所示。,由m1= m2= m3=Al/4 ， k11= k22= k33=8F0/l k12= k21= k23= k32=-4F0/l，则三自由度系统振动微分方程为,其特征方程的代数形式为,解得固有频率为,结果表明基频的误差约为5%,随着阶次的增加，误差更大。所以为了得到较精确的固有频率，应把离散的系统自由度增多，具体取多少自由度取决于对精度的要求。,运用式（2-6

6、），将n1 n3代入特征方程的矩阵形式，取得响应的主振型,近似的三自由度系统的主振型用虚线在4-2（a）中。与连续系统的精确主振型比较，低阶的主振型是很接近的，随着阶次的增加，误差增大。,第二节 杆的轴向振动,在工程问题中，常见以承受轴向力为主的直杆零件，入连杆机构的连杆、凸轮机构的挺杆等，它们同样存在着沿杆轴线方向的轴向振动。其简化力学模型入图4-3。,设杆的密度为，截面积变化规律为A(x)，截面抗拉刚度为EA(x)。假设杆的横截面积在轴向振动过程中始终保持为平面，杆的横向变形也可以忽略，即在同一横截面上各点仅在x方向作相对位移，所以可用u（x，t）表示截面的位移，是x与时间t的函数。 取微

7、分段dx，如图4-3（b）所示 其质量为 左右截面的位移分别为 故微分段的应变为,两截面上的轴向内力分别为N和 ，对细杆，轴向力可表示为,由牛顿定律，可得该微分段的运动微分方程,将（4-17）和dm代入上式，得,式（4-18）表示变成截面直杆的轴向振动微分方程，若已知A(x)，即可求出此方程的解。 对于等截面的均质直杆，A、E均为常数，式（4-18）可化简为,记得到与弦振动方程式（4-1）相同的偏微分方程,令,式中： 为弹性纵波沿轴向的传播速度，m/s.,式中C1、C2、 n和为四个待定系数，可由两端的边界条件和振动的两个初始条件来决定。,用类似与本章第一节的分离变量的方法，可直接写出（4-2

8、0）的解,一般情况下，杆的轴向自由振动是无限多阶主振动的叠加，即 讨论几种常见的端点边界条件时固有频率和主振型。 (1) 一端固定一端连接刚度为k的弹簧，如图4-4所示 。 因端点的边界条件仅为x，故可用振型函数U（x）来描述，即,将式（4-23）代入（4-22）得,式（4-23）第二部分右边取负号是由于位移原来为正而确定，在x=l处轴向位移取正，改为以使弹簧缩短，因此与正位移相关的弹力是压缩力，即N=-ku，因此在这种情况下x=l处单一的边界条件是,由式（4-24）可以看出，对于不同k值，可解出不同的固有频率。该方程是一个超越方程，利用曲线图寻找初值，然后用数值计算程序可求得其解。令 ，把（

9、4-24）作为简单函数的一个量写成如下形式,于是得到系统的频率方程,式（4-25） 的根与上式两边两个函数曲线的交点相对应，如图4-5 所示。 不论k为何值， 频率方程的根都落在/2b,3/2b2,5/2b3之间。,由式（4-21）可知，其频率方程为,（2） 一端固定，一端自由。边界条件可表达为,所以前三阶固有频率和主振型为,前三阶主振型如图4-6（a）所示,它相当于（ 4-24 ）中k= 的情形。其相应的频率为,从而求的其固有频率,对应主振型,（3） 两端均固定。边界条件可表示为,前三阶主振型如图4-6（b）所示,所以前三阶的主振型为,从上述分析可以看出，端部从自由端变化到固定端，随着刚性的

10、增加，各固有频率随之提高，基频提高了一倍。 为了进一步说明这个结论，由图4-5可知，在一端固定一端连接刚度为k的弹簧情况下，随着k的增大，各阶固有频率均有增大的趋势，并且在 k 0时，可知b (2k-1)/2 ,因此n (2k-1) /2l，此时称为一端固定一端自由的情况；k时，可知b k,因此 nk/l，此时成为两端固定的情况。 另外图4-5可以看出，当频率增大时弹簧对系统固有频率的作用将减小，因此非常硬的弹簧可以有效地阻止低频段模态的位移，而同一系统的高频模态将很少受弹簧存在的影响。这种倾向具有一般性。,例 4-2 一个等截面均质直杆如图4-7所示。设原有一个力F作用于自由端，当t=0瞬时

11、将力F卸除。求杆的运动规律u（x，t）。,解：由式（4-26）、 （4-27）求出一端固定一端自由条件下杆纵向振动的固有频率和主振型，由（4-26）、 （4-27）写出振动响应为,式中： Cu、k可由初始条件确定。 当t=0时，杆受力F的静拉伸，在x处位移为,且在t=0时，外力F突然卸除，其初速度为零，即,即,将式（a）对t求偏导，并将（c）代入得,即,将式（b）代入 （a）得,令 则,式中C1k可以利用三角函数的正交性来求的。即由正交公式,将（d）两边乘以 ，并将x从0到l积分，则有,可导出,代入（e）得杆的运动规律,对应的前三阶主振型为,如图4-8所示，可以看出三阶以上的振型对振动影响很小

12、，因此前三阶足以表杆的振动规律，即,第三节 圆轴的扭转振动,在各类机械中，传动轴是经常遇到的零部件，它主要用来传递扭矩而不承受弯矩，其振动可简化为细长杆的振动问题，其力学模型如图4-9所示。,设杆的密度为，截面抗弯刚度为GIt(x)，G为剪切弹性模量，It为截面抗扭常数，对于工程中常见的圆截面，It即为截面的极惯性矩Ip。忽略截面的翘曲，则杆扭转时，其截面保持为平面绕x轴作微幅振动,取微分段dx如图4-9(b)所示，在它的两个截面上分别作用扭矩Tt和,两个截面的相对扭转角为 。根据材料力学扭转角与扭矩的关系，可以近似的得到,对微分段dx建立扭转动力学方程得,式中：Jp为微段的转动惯量,d为x截

13、面处圆截面直径。可以看出,对于实心圆截面杆,而截面的极惯性矩,将式(4-30)、 (4-32)代入式(4-31)得,若Ip (x)已知，则可求解上述方程。,式中 ，其物理意义为剪切 弹性波沿x轴的传播速度。,式(4-34) 表示圆截面直杆作扭转振动的偏微分方程 。它与弦振动和杆纵向振动具有同一形式。,对于等截面直杆Ip (x)为一个常数，式(4-33)可化简为,或,用类似分离变量方法，式(4-34)的解为,式中：C1、C2、 n和为四个待定系数，可由两端的边界条件和振动的两个初始条件来决定。,方程的一般解为,各阶主振型为,例 4-2 有一个油井转杆，其力学模型可化简为一根长轴，其一端固定，另一

14、端有转动惯量J0的到头，设长度为l的长轴对轴线的总的转动惯量为Jp，求系统的固有频率。,下端边界条件： 因长轴下部与刀头相联接，故受到刀头的反转矩作用，如图4-10(b)所示。因在该例中各量的正方向的规定必须一致，根据右手定则，大拇指指x增加的方向，则四指所指的方向定义为转动的正方向。因此如果扭转变形时转角随x增加而增大，则按正方向作用在杆的端界面上一个正的内扭矩，而施加给刀头的扭矩就是负x方向的。,解：简化力学模型如图4-10(a)所示，杆扭转的解为4-35上端边界条件：因长轴上部与钻机固定，固有,因此刀头转动方程为,式中： Tt长轴端部的转矩 由材料力学知,将式(b) 代入(4-35)得，

15、 C2=0。,且有 ，则,将(4-35)分别对x求偏导及对t求二阶偏导数，得,将上两式代入(d)化简得,由(4-32)有,以b为横坐标，y为纵坐标，作出y1(b) 和y2(b)曲线，如图4-11所示，其交点对应 值，而固有频率分别为,式(e) 即为扭转系统的频率方程。该方程式一个超越方程。与(4-24)的求解相同，也采用作图法求解。 令 ，分别作出 和,第四节 梁的横向振动,当一根梁作垂直于其轴线方向的振动时，称作梁的横向振动。由于其主要变形形式是弯曲变形，所以又称为弯曲变形。 下面讨论的梁振动限于这样的假设条件：各梁截面的中心主轴在同平面内，如图4-12(a)所示,的xoy平面，且在此平面内作横向运动。 一、振动微分方程的求解 设梁轴线的横向位移y（x，t）表示，设梁的密度为，x处的截面抗拉刚度为EI(x)，I(x)为截面对中心轴的惯性矩，A(x)为该截面积。,取微段dx如图4-12(b)所示，它的两截面上受剪力和扭矩作用，由牛顿第二定律，该微段在y方向的运动微分方程为,故,由材料力学知，剪力和弯矩存在如下关系,该式为梁的横向自由振动偏微分方程。 对于均质截面直梁，E、I、A、 均为常数，上式可简化为,弯矩和挠度的关系为,将式(4-39) 、(4-40)代入 式 (4-38) 整理得,式中：