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1、第七章 不可压缩流体动力学基础,本章内容：在许多工程实际问题中，流动参数不仅在流动方向上发生变化，而且在垂直于流动方向的横截面上也要发生变化。要研究此类问题，就要用多维流的分析方法。本章主要讨论理想流体多维流动的基本规律，为解决工程实际中类似的问题提供理论依据，也为进一步研究粘性流体多维流动奠定必要的基础。,7.1 流体微团运动分析,刚体的一般运动可以分解为移动和转动两部分。流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。因此，任一流体微团在运动过程中不但与刚体一样可以移动和转动，而且还会发生变形运动。所以，在一般情况下流体微团的运动可以分解为移动、转动和变形运动三部分。,为简化分析，仅讨论在
2、xoy平面上流体微团的运动。假设在时刻t，流体微团ABCD为矩形，其上各点的速度分量如图所示。由于微团上各点的速度不同，经过时间dt，势必发生不同的运动，微团的位置和形状都将发生变化，现分析如下。,7.1 流体微团运动分析,一、流体微团的平移运动和线变形,1、平移运动,如图所示，矩形ABCD各角点具有相同的速度vx、vy,在dt时间内，导致矩形ABCD平移距离为：dx = vxdt, dy = vydt, 但ABCD的形状不变。,7.1 流体微团运动分析,一、流体微团的平移运动和线变形,2、线变形,线变形运动取决于速度分量在它所在方向上的速度变化，如图所示：,变形量,线变形速度：单位时间，单位
3、长度 的线变形。,7.1 流体微团运动分析,二、流体微团的旋转和角变形,若只考虑A与D、B与C在y轴方向有相同的速度差 ，以及A与B、D与C在x轴,方向有相同的速度差 ，当,都为正值时，则在经过dt时间后，A点向上向右和C点向下向左分别都移动了,和 距离，而D点向下向右和B点向上向左分别都移动了 距离，其结果是：AD边和BC边向反时针方向旋转了微小角度d，AB边和DC边向顺时针角度旋转了微小角度d；同样，通过形心的平行于x和y轴的中心线分别也向反时针旋转了d和顺时针旋转了d，如图：,7.1 流体微团运动分析,二、流体微团的旋转和角变形,1、旋转运动,则微团发生旋转时，其总的角位移为：,则微团旋
4、转时，其旋转角速度定义为：,同理，对于空间三元流动：,角速度大小为：,若 ，则d=d,矩形形状不 变，只发生旋转。,7.1 流体微团运动分析,二、流体微团的旋转和角变形,2、角变形,若 ，则d=d，也就是只 发生角变形运动，使矩形变成平行四边形。,流体微团总的角变形为：,角变形速度为：,对于空间三元流动：,7.1 流体微团运动分析,二、流体微团的旋转和角变形,一般情况下，微团在发生旋转运动的同时，还会发生角变形运动，这个运动可以看作旋转运动和角变形运动的合成，如图所示。,三、亥姆霍兹速度分解定理,前面在流体微团的分析中，已给出O点的速度，与点O相距微小矢径的点M( )的速度为 :,7.1 流体
5、微团运动分析,三、亥姆霍兹速度分解定理,在第一式右端加入两组等于零的项：,其值不变。经过简单组合，可将该式写成 ：,同理，可写出其余两个速度分量，则M点的速度可以写为：,上式表明：各速度分量的第一项是平移速度分量，第二、三、四项分别是由线变形运动、旋转运动和角变形运动所引起的速度分量。此关系也称为海姆霍兹(Helmholtz)速度分解定理，该定理可简述为：,在某流场O点邻近的任意点M上的速度可以分成三个部分：分别为与O点相同的平移速度（平移运动）；绕O点转动在A点引起的速度（旋转运动）；由于变形（包括线变形和角变形）在A点引起的速度（变形运动）。,7.2 有旋流动,一、速度环量,在流场中任取封
6、闭曲线K，如图所示。速度沿该封闭曲线的线积分称为速度沿封闭曲线的环量，简称速度环量,在封闭曲线k上的速度矢量,即：,式中：速度与该点上切线 之 间的夹角。,注：速度环量是个标量，但具有正负号。,速度环量的正负不仅与速度方向有关，而且与积分时所取的绕行方向有关。通常规定逆时针方向为K的正方向，即封闭曲线所包围的面积总在前进方向的左侧，如图所示。当沿顺时针方向绕行时，上式应加一负号。实际上，速度环量所表征的是流体质点沿封闭曲线K运动的总的趋势的大小，或者说所反映的是流体的有旋性。,7.2 有旋流动,一、速度环量,而,则：,二、斯托克斯定理,沿封闭曲线的速度环量与有旋流动之间有一个重要的关系，现仅以
7、平面流动为例找出这个关系。如图所示，在平面xoy上取一微元矩形封闭曲线，其面积dA=dx.dy，流体各点的速度分量如图所示,7.2 有旋流动,一、速度环量,二、斯托克斯定理,于是，沿封闭曲线反时针方向ABCDA的速度环量,将各点速度的值代入上式，略去高于一阶的无穷小项，得：,然后对面积积分，得：,7.2 有旋流动,二、斯托克斯定理,于是得到速度环量与旋转角速度之间关系的斯托克斯定理：沿封闭曲线的速度环量等于该封闭周线内所有的旋转角速度的面积积分的二倍，称之为涡通量J，即：,由上式可导出另一个表示有旋流动的量，称为涡量。它定义为单位面积上的速度环量，是一个矢量。它在Z轴方向的分量为：,对于流体的
8、空间流动，同样可求得x和y轴方向涡量的分量为：,即：,其中：,7.2 有旋流动,二、斯托克斯定理,由此可见，在流体流动中，如果涡量的三个分量中有一个不等于零，即为有旋流动。如果在一个流动区域内各处的涡量或它的分量都等于零，也就是沿任何封闭曲线的速度环量都等于零，则在这个区域内的流动一定是无旋流动。,三、有旋流动和无旋流动,流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动。如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。,【例】 某一流动速度场为 ， ，其中 是不为零的常数，
9、流线是平行于 轴的直线。试判别该流动是有旋流动还是无旋流动。,【解】 由于,所以该流动是有旋运动。,7.3 不可压缩流体连续性微分方程,在流场内任取一微元六面体，如图，边长为dx,dy,dz，中心点O流速为（ux,uy,uz），密度为，以x轴方向为例：,左表面：流速,密度,在dt时间内流入左表面的流体质量为：,右表面：流速,密度,在dt时间内流出右表面的流体质量为：,7.3 不可压缩流体连续性微分方程,在dt时间内流入流出左右表面的流体质量为：,所以在dt时间内流入与流出该六面体流体的质量差为：（流进为正，流出为负）,同理可得：,则在dt时间内流入与流出该六面体流体的质量差为：,7.3 不可压
10、缩流体连续性微分方程,在此六面体中，流体原来的质量为dxdydz ,dt时间后，密度变为： ，由于体积,未变，则质量变为：,因而在dt时间内，由于密度变化而引起质量的增量为：,质量守恒定律：同时间内流入与流出六面体的流体质量差之总和dM 应等于六面体内因密度变化而引起流体质量的增量dM 。,即：,7.3 不可压缩流体连续性微分方程,1、流体的连续性微分方程的一般形式,适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非 恒 定流；可压缩流体或不可压缩流体。,2、可压缩流体恒定流动的连续性微分方程,当为恒定流时，有 ，则上式为：,适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩 的恒定流。,3、不可压缩流体的连续性微
11、分方程,当为不可压缩流体时，有 ，则上式为：,物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量），与流出的流体体积（质量）之差等于零。 适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。,【例1】有二种二元液流，其流速可表示为： （1）ux= -2y, uy=3x； （2）ux=0, uy=3xy。 试问这两种液流是不可压缩流吗？,【例2】 已知不可压缩流体运动速度 在 ， 两个轴方向的分量为 ， 。且在 处，有 。试求 轴方向的速度分量 。,【解】对不可压缩流体连续性方程为：,将已知条件代入上式，有,又由已知条件对任何 ， ，当 时， 。故有,7.4 以应力表示的粘性流体
12、运动微分方程式,一、粘性流体的内应力,粘性流体在运动时，其表面力包括：压应力和粘性引起的切应力，其表示如图所示 。,1、应力符号角标的表示：,2、应力正负号的确定：,第1个角标表示作用面的外法线方向，第2个角标表示应力方向。,如果该应力作用面的外法线方向与坐标轴的正向一致，则该应力以沿坐标轴正向为正，负向为负；,如果该应力作用面的外法线方向与坐标轴的负向一致，则该应力以沿坐标轴负向为正，正向为负；,7.4 以应力表示的粘性流体运动微分方程式,二、以应力表示的运动微分方程,如图所示微元体，x向受力为：,质量力：,法向力：,切向力：,惯性力：,由牛顿第二运动定律Fmax 得:,7.4 以应力表示的
13、粘性流体运动微分方程式,二、以应力表示的运动微分方程,对上式整理后，然后分别对y向和z向列方程，可得粘性流体运动微分方程为:,根据一元流体牛顿内摩擦定律：,则：,而由第一章知，速度梯度等于微团的角变形速度，,7.5 应力和变形速度的关系,一、切应力和角应变速度的关系,即,如果将这一结论推广到三元流体，在xoy平面上，由7.1节知：,同理可得三元流体的牛顿内摩擦定律为：,7.5 应力和变形速度的关系,二、法向应力和线变形速度的关系,对于理想流体，其法向应力与流体静压强相同,即,而对于粘性流体，粘性不仅产生与切应力有关的角变形速度，而且也使线变形速度产生附加法向应力。,如图所示正方形流体微团ABC
14、D，在这儿我们仅考虑x向线变形速度，因而在AB边上只有法向应力作用，变形如图所示。,由于对角线AC旋转至AC，产生相应的角变形d，而流体角变形产生切应力，因而必然在AC面上产生切应力n，而此n必然有其他的附加力来平衡，即AB面上的附加法向应力xx来平衡。,列AC面切向的平衡方程,而,7.5 应力和变形速度的关系,二、法向应力和线变形速度的关系,由于d为45角的角变形速度，直角变形速度应为其2倍，因此由牛顿内摩擦定律得：,所以，附加法向应力与线变形速度的关系为，引申到空间三维，则：,7.5 应力和变形速度的关系,二、法向应力和线变形速度的关系,利用迭加原理，即分别考虑理想流体和粘性线变形单独作用
15、，其和为：,粘性流体法向应力和线变形速度的关系。,由上式易知：,流体动压强：任一点三个相互垂直平面 上的法向应力的平均值。,易知：,对于不可压缩流体：,所以：,7.6 纳维斯托克斯方程,将,和,代入方程：,并整理得：,纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes，N-S)方程,上式仍可继续化简：,7.6 纳维斯托克斯方程,式中：,拉普拉斯算子,当为理想流体时0，上式成为：,当为静止流体时，上式成为：,欧拉平衡微分方程,7.7 流体运动微分方程及其积分,式中：,拉普拉斯算子,由上节知，粘性流体运动微分方程为：,由于流体运动微分方程是一个一阶非线性偏微分方程组，因而至今还无法在一般情况下积分，只能在一定条件下积分。,一、流体运动微分方程积分所应满足的条件,1质量力是恒定而有势的,即：,所以,势函数Wf(x,y,z)的全
