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1、第12章 一维优化方法,本节所需研究的基本问题是，对一元函数F()如何寻找它的最优点* ,以求出最优值F(*)。这就是所谓一维优化问题，其数值迭代解法称为一维优化方法，也常称为一维搜索方法。,12.0 一维优化的概念,优化迭代式： X (k+1) =X (k) + (k) S (k) 且 f(X (k+1) ) f(X (k) ) 最优步长法: X (k+1) 应能保证f(X (k+1)是f(X)在以X (k) 为起点， 沿S(k)上的最小值。,12.0 一维优化的概念,一维优化的等效表达式： min f(X (k) + S (k) ),X (k) 是当前已知点 S (k) 是当前搜索方向,m
2、in F()= F( (k),12.1 单峰区间及其“高低高”几何特征,单峰区间： 含有凸峰的区间1 ，2 ,适用对象：一元函数F()是凸函数，即目标函数f(X (k) +S (k) )在X (k) ，S (k) 给定时，函数关于步长为凸函数。,单峰区间的充分条件:“高低高”,几何意义为:某一区间若能在左端点 1、区间内的任意插入点和右端点 2上，函数值变化的几何特征依次为“高低高”，则该区间一定是一个单峰区间。,一维优化方法的策略,一维优化方法常采用分两步走的策略。 （1）寻找即确定具有使函数值最小的 *(最优步长)，所在的区间单峰区间。 “进退法“ （2）在已知的单峰区间上，寻找出最优步长
3、 * 。 黄金分割法，二次插值法,注意 点,(1)一维优化问题 x = x (0) + ， 即F( )=f(x (0) + )=f(x)； x (0) 亦可为x (k) 。 (2) 多维优化问题 X=X (0) + S，即F( )=f(X (0) + S)=f(X)；X (0) 亦可为X (k) 。,F( )是目标函数关于步长的转换函数， 是步长而不是目标函数的变量x或X,12. 2 确定搜索区间的外推法（进退法）,给定:X (0) (或X (k) )、初始步长T0和搜索方向 S(S (k)。 任务:找出一个区间 1 ，2，满足对于(1 ，2)有：F(1)F()F(2)，即该区间应具有 “高一
4、低一高”的函数值变化的几何特征,12.2 确定搜索区间的外推法（进退法）,基本思想：以初始点X (0) (即=0)为起点， 跨步试探取点（进、退）构三点区间,直至出现“高低高”特征为止。,12.2 确定搜索区间的外推法（进退法）,约定：下标1、2以从左向右为序； A1 表示 1 ，A2 表示 2 即： A1 A2 F(A1 )=f(X(0) +A1 S)；F(A2)=f(X(0) +A2S)。 初始步长为T0 ，跨步步长为T，,12.2 确定搜索区间的外推法（进退法）,开始 取： T=T0、A1 =0（以=0为起点），求F1 =F(A1 )=f(X(0) 跨一步：取A2 =T， F2 =F(A
5、2 ) =f(X (0) +A2S) = f(X) 。 比较F1 与F2 ，有两个走向:,12.2 确定搜索区间的外推法（进退法）,走向1: 若F1 F2 ，区间0，A2 为“高-低”型。 （再向前找到一个高点即可）,F2 =F1 (当前F2 值替代当前F1 ，以后只要固定的比较F1 与F2 即可), 计算 F2 =F(A2 ) (求新的A2 点上的函数值), T=2T (步长加大一倍）, A2 =A2 +T (在原A2 的基础上再跨一步，得一新的A2 点),12.2 确定搜索区间的外推法（进退法）,比较F1 与F2 （则有两种可能） 若F1 F2 ，A1(2) (A2(2) -T)A2(2)
6、 为“高-低-高”,若F1 F2，A1(2) (A2(2) -T)A2(2)为“高-低-更低”，,取A=A1(2) ;B=A2(2) 退出。,舍去A1(2) (A2(2) -T)区间,取:A1 =A2 -T，（即A1 右移一个点）返回；,走向1的迭代终止准则: 直到F1 F2 为止,12.2 确定搜索区间的外推法（进退法）,A2第三次向前取点计算时可能出现的两种情况。,1） F1 F2,2）F1 F2,12.2 确定搜索区间的外推法（进退法）,走向2: 若F1 F2，区间为“低-高”型,应向左即后退再找一个高点，以构成“高-低-高”三点区间。,12.2 确定搜索区间的外推法（进退法）,后退：置
7、:T=-T(即T=T0 ) A1 =A1 +T (向左“后退”取一新点),若F1 F2 ，A1(2) (A1(2) -T)A2(2)为“高-低-高”，取A=A1 ；B=A2 ，退出。, F1 =F2,(3) F1 =F(A1),(4) 比较F1 与F2,12.2 确定搜索区间的外推法（进退法）,若F1 F2 ，A1(2) (A1(2) -T)A2(2)为“低-高-更高”,应舍去“高-更高”对应的区间(A1(2) -T)A2(2),取 A2 A1-T,T=2T，（步长加大）返回,走向2的迭代终止准则: 直到 F1 F2 为止。,12.2 确定搜索区间的外推法（进退法）,A1第三次向左取点计算时可
8、能出现的两种情况,1）F1 F2,2) F1 F2,12.4 黄金分割法,1）概述 (1)功用 已知：X(0) (X(k) )、S和 *所在的区间A，B。,功用：求出*使得f(X(k) +* S(k) ) min f(X(k) + S(k) ),基本方法：不断缩小具有“高低高” 特征的区间，直至精度要求。,2） 方法思路,在区间内A，B 依次插入A1 、A2两点， 则原区间可分为两个三点区间: A(1)A1 A2 ; A1 A2 B(1) 保留其中有“高低高”的特征的区间，反复迭代直至精度。,3） 方法特点,(1) 两点插入点A1 ，A2 关于区间A，B的端点对称 即:B-A2 =A1 -A,设01则: B-A2=A1-A =(1-)(B-A),A1 =A+(1-)(B-A) ;,A2 =A+(B-A),3） 方法特点,(2) 区间长度的收缩量均匀 如图区间收缩前长度为L,因为区间长度收缩量均匀 则要求收缩率为常数。,区间收缩后长度为 l,区间收缩率为:,3） 方法特点,(3) 保留在收缩后的区间内的原插入点， 恰好是下一次迭代两个新插入点中的一个。,第一次区间缩短为:A(1)A1(1) A2(1),其长度为:l。,第二次区间收缩成A(2) A1(2) A2(2) ，其长度为L-l,区间收缩率:=l/L=(L-l)/l 整理得： l 2 -L(L-l)=0,2 +-1=0,
