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1、1,高等量子力学,2010年9月-2011年1月,Advanced Quantum Mechanics,2,参考书目,教材 喀兴林，高等量子力学（第二版），高教社 中文参考书目 曾谨言，量子力学（卷I，II） 倪光炯，高等量子力学 张永德，高等量子力学（上、下册） 狄拉克，量子力学原理,3,一些英文参考书,P A M Dirac, The Principles of Quantum Mechanics J J Sakurai, Modern Quantum Mechanics R Shankar, Principles of quantum mechanics C Cohen-Tannoudj
2、i, Quantum Mechanics, Vol 1 and 2,4,理论物理丛书,费曼，费曼物理学讲义，共三卷 吴大猷，理论物理，共七册 古典动力学、量子论与原子结构；电磁学；狭义相对论及广义相对论；热力学、气体运动论及统计物理学；量子力学（甲部）；量子力学（乙部） 朗道，理论物理学教程，共十册 力学；场论；量子力学（非相对论部分）；量子电动力学；统计物理学 I；流体力学；弹性理论；连续介质电动力学；统计物理学 II（凝聚态理论）；物理动理学,5,学习意义,现代科学的基础 量子力学 相对论：局限于高速 量子力学是从事一切研究工作的基础 量子力学的内容 非相对论理论 相对论理论,不涉及粒子数
3、的变化,量子场论,本课程不讨论量子力学诠释方面的问题,6,学习意义,高等量子力学在量子力学的基础上系统深入地学习量子力学的基本概念，后来发展起来的新的方法和概念 二次量子化 路径积分 角动量与张量理论 相对论量子力学 形式散射理论,7,量子力学是研究生的第一门课,学会 自 学 学会 专业英语,为学习转型打基础 为后续课程和研究工作服务,高等量子力学，高等在何处？,直接提出基本原理，进行逻辑推理，形成严密的科学体系。,要会忘记，一切从头来,内容更深入、更全面。,相干态、半经典近似、散射形式理论、等等。,8,课程要求,及时复习和补习有关的物理与数学知识 认真阅读教材及参考材料，推导相关的数学公式，
4、讨论其物理意义，掌握基本概念 通过作一定数量的习题掌握基本的方法和技巧 培养良好的学习习惯 关心最新前沿发展,9,课程内容,希尔伯特空间 量子力学的理论结构 狄拉克方程 对称性理论 角动量理论 散射理论 二次量子化 辐射的量子理论,10,第一章 希尔伯特空间,矢量空间 （Vecter Space） 算符 （Operaters） 本征矢量和本征值 （Eigenvectors and Eigenvalues） 表象理论 （Theory of Representation） 矢量空间的直和直积 （Direct Summation and Direct Product of Vecter Space）
5、,11,希尔伯特空间,以德国数学家大卫希尔伯特的名字命名 希尔伯特在对积分方程的研究中研究了希尔伯特空间 冯诺伊曼在其1929年的著作中，最早使用了【希尔伯特空间】这个名词 量子力学理论的公式化 冯诺伊曼与希尔伯特 郎道 维格纳 外尔1931年出版的著作群与量子力学的理论中就使用这一名词,12,量子力学,经典力学,坐标空间,位形空间,相空间,希尔伯特空间,13,1.1 矢量空间,定义（Definitions） 正交性和模（Normalization and Moduli ） 基矢（Basic Vecters） 子空间（Subspace） 右矢和左矢（Bras and Kets）,14,数学对象
6、,实数、复数、有向线段、或者物理量,一、 定义,讨论对象,抽象化,矢量,矢量空间,运算规则,满足一定运算规则的数学对象的集合,加法、数乘、内积,运算规则：,15,加法：,加法满足的条件：,条件(1)：交换律,条件(2)：结合律,条件(3)：加法单元存在,条件(4)：加法逆元存在,O 称为零矢量,16,数乘：,数乘满足的条件：,条件(5)：,条件(6)：结合律,条件(7)：第一分配率,条件(8)：第二分配率,a为实数：实数域上的矢量空间,a为复数：复数域上的矢量空间,17,内积：,内积满足的条件：,条件(9)：,条件(10)：分配率,条件(11)：,条件(12)：,对任意 成立；若,则必有,18
7、,矢量空间：,具有加法和数乘两种运算并满足条件(1)(8)的集合称为矢量空间或者线性空间,内积空间：,具有加法、数乘和内积三种运算的空间,希尔伯特空间：,完全的内积空间,空间的完性：,空间中任意在Cauchy意义下收敛的序列,的极限也必须在本空间中。,给定任意小的实数,有数N存在，当 时,有,19,矢量空间的性质：,(1)在矢量空间中，零矢量是唯一的。,(2)每个矢量的逆元是唯一的,(3),(4),(5),(6)如果,那么,或者,(7),(8),(9),20,矢量空间的例子：,(1)数学对象：所有正负有理数和零,加法：算数加法,数乘：算数乘法，数 a 限于所有有理数,内积：两个因子的算数乘法,
8、(2)数学对象：三维空间中的位置矢量,加法：服从平行四边形法则,数乘：数 a 是实数,内积：两个矢量的点乘,21,(3)数学对象：一组有序的复数,加法、数乘和内积的定义：,22,(4)数学对象：,加法：代数加法,在 区间定义的实变量x的行为较好的复函数f(x)全体，而且都是平方可积的,数乘：代数乘法,内积：,函数空间,23,二、 正交性和模,矢量正交：,矢量的模方：,矢量的模：模方的正平方根,归一化的矢量：模等于1的矢量,Schwartz不等式：对于任意矢量 和，有,24,Schwartz不等式：对于任意矢量 和，有,证明：,给定矢量 和 后，构造一个矢量,25,由于,所以,即,三角形不等式：
9、对于任意矢量 和，有,证明：,于是有,证毕,证毕,26,三、 基矢,1. 线性无关,对于矢量空间中的n个矢量的集合 ，若,只有当全部复数 都为零时才成立,则这n个矢量 是线性无关的。,线性相关,只要有一组不全为零的复数 存在，使得上式成立,则这n个矢量 是线性相关的。,一组不包含零矢量的线性相关矢量中的任何一个都可以表示成其余矢量的线性叠加。,27,2. 完全集：,一个矢量空间中的一个线性无关的矢量集合,这个空间中的每一个矢量都可以表示为此矢量集合的线性叠加，即,则这个线性无关的矢量集合成为一组完全集。,为一组复数,3. 有限维空间,定理：,在有限维空间内各种不同的完全集中所含的矢量的数目是相
10、同的。,矢量的数目称为矢量空间的维数,28,4. 基矢：,一个矢量空间中的完全集，如果其中的每一个矢量都是归一的，并且各个矢量两两相互正交，这样一组完全集成为这个矢量空间的一个基矢组，或一组基矢。,n维空间的一组基矢的正交归一性质可以表示为,5. Schmidt正交化方法,已知n维空间的一组不满足正交归一化的完全集,现在由此来求此空间的一组基矢,正交归一的完全集,29,（1）取 为归一化的 ：,步骤：,（2）取,选择,使得,（3）取,取 为归一化的 ：,选择,使得,取 为归一化的 ：,取 为归一化的 ：,30,（4）如此继续下去，若已找到m个，即,则,而,最后，总可以找到一组基矢,31,6.
11、完全性定理：,如果 是矢量空间中的一组n个正交归一的矢量，则下面四个命题是相互等价的：,是空间一组基矢，即空间是n维的,（1）,（2）,对空间中一切矢量 成立,（3）,对空间中一切矢量 和 成立,Parseval等式,（4）,对空间中一切矢量 成立,32,四、子空间,一个矢量空间R，若其中一个矢量的集合S在原空间的运算定义下又构成一个矢量空间，则S称为R的子空间,R可以称为大空间,大空间中与子空间中所有矢量都正交的矢量全体，构成的矢量空间，称为S的补空间,补空间的维数为,33,矢量空间中的两个矢量 和 的内积,对于右因子 是线性的,对于左因子 是反线性的,狄拉克引入一种记号：,右因子,右矢,左
12、因子,右矢,五、右矢和左矢,内积,狄拉克记号,34,单一空间：矢量空间，元素满足加法、数乘和内积,右矢空间：加法和数乘满足条件（1）（8）,条件(1)：交换律,条件(2)：结合律,条件(3)：加法单元存在,条件(4)：加法逆元存在,35,条件(5)：,条件(6)：,条件(7)：,条件(8)：,左矢空间：,内积的定义：,条件(9)：,条件(10)：,条件(11)：,条件(12)：,对任意 成立；若,则必有,和,36,关于右矢和左矢的两条定理,定理1：若三个右矢,满足,则在左矢空间中与之对应的,必亦满足,定理2：若二右矢,满足,则在左矢空间中与之对应的,必满足,注意左矢和右矢的对应关系,37,单一空间的基矢,左矢空间的基左矢,右矢空间的基右矢,
