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1、不定方程是指未知数个数多于方程个数，且对解有,第二章 不定方程,一定限制（比如要求解为正整数等）的方程。,是数论中,最古老的分支之一。,古希腊的丢番图早在公元3世纪就,开始研究不定方程，,因此常称不定方程为丢番图方程。,中国是研究不定方程最早的国家，,公元初的五家共,井问题就是一个不定方程组问题，,公元5世纪的 张丘,建算经中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系,统研究。,秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联,系起来。,百鸡问题说：“鸡翁一，值钱五，鸡母一，,值钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、,雏各几何？”。,这是一个三元不定方程组问题。,1969年，莫德尔较系统地总结了这
2、方面的研究成果。,近年来，这个领域更有重要进展。,但从整体上来说，,对于高于二次的多元不定方程，人们知道得不多。,另一方面，不定方程与数学的其他分支如代数数论、,代数几何、组合数学等有着紧密的联系，,在有限群论,在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题，,这就使得不定方程这一古老的分支继续吸引着许多数,学家的注意，成为数论中重要的研究课题之一。,第一节 二元一次不定方程,研究不定方程一般需要要解决以下三个问题：,有解时决定解的个数。,判断何时有解。,求出所有的解。,本节讨论能直接利用整除理论来判定是否有解，以及,有解时求出其全部解的最简单的不定方程,二元一次不定方程。,注：定理的证明过程
3、实际给出求解方程（1）的方法：,注：利用辗转相除法求（a,b)时，前提为a,b为正整数，,且a大于b，,因此求解此方程时可以考虑用变量替换。,3、下面通过具体例子介绍一种判定方程是否有,解，及其求出其解的直接算法整数分离法,或先求出原方程的一个特解，再给出一切整数解。,注：这种解不定方程的算法实际上是对整个不定方程,用辗转相除法，,依次化为等价的不定方程，,直至得到,一个变量的系数为正负1的方程为止。,这样的不定方程,可以直接解出。,再依次反推上去，就得到原方程的通解。,为了减少运算次数，在用带余除法时，总取绝对值最小,余数。,下面我们来讨论当二元一次不定方程（1）可解时，,它的非负解和正解问
4、题。,由通解公式知这可归结为去确,定参数t的值，,使x,y均为非负或正。,显见，当a,b异号时，,不定方程（1）可解时总有无穷多组非负解或正解，,理由是：,所以下面只讨论a,b均为正整数的情形，,先来讨论非负解：,下面讨论正整数解：,例7、求方程5x+3y=52的全部正整数解,解：x=8,y=4是一组特解，方程的全部解为：,x=8+3t,y=4-5t,正整数解满足8+3t0,4-5t0,注：若只求方程正整数解的个数，可考虑以下不等式,的整数解个数：,第二节 多元一次不定方程,注：定理1的证明给出了n元一次不定方程的解法过程：,即求解方程组（由n-1个方程组成）,解：原方程化为：,进一步可求非负
5、整数解：,由通解公式给出非负整数解中m,k应满足,第三节 勾股数,再证满足条件（2）的解都可以表成（3）的形式。,例1、求一个边长为整数的直角三角形，它的面积在,数值上等于它的周长。,例2、求不定方程（*）的满足条件0z26的全部,互素的解。,例3、求z=65的满足方程（*）的全部正整数解。,例5、假定(x,y,z)是(*)的解，并且(x,y)=1，那么在x,y中,有一个是3的倍数，有一个是4的倍数，在x,y,z中有一个,是5的倍数。,注意：定理中所说的在x,y中有一个是3的倍数，有,一个是4的倍数，并不是说在x,y中一个是3的倍数，另,一个是4的倍数，很可能3的倍数与4的倍数是同一个数。,如
6、（5,12,13），又如（11,60,61）,3、无穷递降法,1659年，法国数学家费马写信给他的一位朋友卡,尔卡维，,称自己创造了一种新的数学方法.,由于费马的,信并没有发表，,人们一直无从了解他的这一方法.,直到,1879年，人们在荷兰莱顿大学图书馆惠更斯的手稿中发,现了一篇论文，才知道这种方法就是无穷递降法.无穷,递降法是证明某些不定方程无解时常用的一种方法.其,证明模式大致是:先假设方程存在一个最小正整数解，,然后在这个最小正整数解的基础上找到一个更小的,构造某种无穷递降的过程，,再结合最小数原理得到,矛盾，从而证明命题.,无穷递降法在解决问题过程中,主要有两种表现形式:其一，由一组解出发通过构造,得到另一组解，并且将这一过程递降下去，从而得出,矛盾;其二，假定方程有正整数解，且存在最小的正,整数解，设法构造出方程的另一组解(比最小正整数解,还要小)，从而得到矛盾.无穷递降法的理论依据是最,小数原理.,
