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1、第二讲 排列与组合,重点难点 重点：排列与组合的定义、计算公式，组合数的两个性质 难点：组合数的性质和有限制条件的排列组合问题,知识归纳 1排列 从n个不同元素中，取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示 (1)当mn时的排列称为选排列，排列数,(2)当mn时的排列称为全排列，排列数 规定0！1.,2组合 从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号,误区警示 1正确区分是组合问题还是排列问题，要把“定序”和“有序”区分开
2、来 2准确恰当地进行分类，使分类后不重、不漏 3正确区分分堆问题和分配问题,一、排列、组合问题的类型及解答策略 排列、组合问题，通常都是以选择题或填空题的形式出现在试卷上，它联系实际，生动有趣；但题型多样，解法灵活实践证明，备考有效的方法是将题型与解法归类，识别模式、熟练运用下面介绍常见排列组合问题的解答策略 (1)相邻元素捆绑法在解决某几个元素必须相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个元素参与排列,例1 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有 ( ) A1440种 B960种 C720种 D480种,解析：解法1：两老人看成一个整
3、体，进行位置排序，相当于 个位置，两老人占2、3、4、5中一个位置，其余5名志愿者任意排，即为 故选B.,(2)相离问题插空法相离问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置，故称“插空法” 例2 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法？,解析:先将6个歌唱节目排好,其不同的排法为A 种，这6个歌唱节目的空隙及两端共七个位置中再排4个舞蹈节目有A 种排法，由分步计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为,(3)定序问题属组合排列时，如果限定某些元素
4、或所有元素保持一定顺序称为定序问题，定序的元素属组合问题 例3 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是_,解法2：定序问题属组合五面旗占五个位置，从中选取两个位置挂白旗，其余位置则挂红旗有C 10种方法,(4)定元、定位优先排在有限制条件的排列、组合问题中，有时限定某元素必须排在某位置，某元素不能排在某位置；有时限定某位置只能排(或不能排)某元素这种特殊元素(位置)解题时要优先考虑 例4 计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同
5、的陈列方式有( )种 ( ),解析：先把3种品种的画看成整体，而水彩画受限制应优先考虑，不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有A 种放法，再考虑国画与油画本身又可以全排列，故排列的方法为,(5)至多、至少间接法含“至多”、“至少”的排列组合问题，是需要分类问题可用间接法，即排除法，但仅适用于反面情况明确且易于计算的情况 例5 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的选法共有( )种 ( ) A140 B80 C70 D35,解析：在被取出的3台中，若不含甲型或不含乙型的抽取方式均不合题意，故符合题意的取法有 70种，选C.,(6)选排问题先选后
6、排法对于排列组合的混合应用题，一般解法是先选(组合)后排(排列) 例6 四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有_种(用数字作答) 解析：先从四个小球中取两个放在一起，有C 种不同的取法，再把取出的两个小球与另外两个小球看作三堆，并分别放入四个盒子中的三个盒子中，有A 种不同的放法，据分步计数原理，共有,(7)部分符合条件淘汰法在选取总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不符合条件数，即为所求 例7 过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有 ( ) A18对 B24对 C30对 D36对 解析：三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C 312个不
7、同四面体，而每个四面体有三对异面直线则共有12336对,(8)数字问题首位不能为0 例8 (09陕西)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 ( ) A300 B216 C180 D162 共有10872180(种)，故选C.,二、建模思想 例9 一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点O(0,0)出发，沿向上或向右方向爬至点(m，n)，(m，nN*)，记可能的爬行方法总数为f(m，n)，则f(m，n)_.,解析：从原点O出发，只能向上或向右方向爬行，记向上为1，向右为0，则爬到点(m，n)需m个0和n个1.这样爬行方法总数f(m，n)是m个
8、0和n个1的不同排列方法数m个0和n个1共占mn个位置，只要从中选取m个放0即可f(m，n) 点评：例如f(3,4)C 其中0010111表示从原点出发后，沿右右上右上上上的路径爬行 抽象建模后就是一个含相同数字的纯粹排列组合问题,例10 方程xyz8的非负整数解的个数为_ 解析：把x、y、z分别看作是x个1，y个1和z个1，则共有8个1，问题抽象为8个1和两个十号的一个排列问题由于x、y、z非负，故允许十号相邻，如11111111表示x2，y0，z6，11111111表示x0，y8，z0等等， 不同排法总数为从10个位置中选取2个放十号， 方程的非负整数解共有,例11 一条街道上共有12盏路
9、灯，为节约用电又不影响照明，决定每天晚上十点熄灭其中的4盏，并且不能熄灭相邻两盏也不能熄灭两头两盏，问不同熄灯方法有多少种 解析：记熄灭的灯为0，亮灯为1，则问题是4个0和8个1的一个排列，并且要求0不相邻，且不排在两端，故先将1排好，在8个1形成的7个空中，选取4个插入0，共有方法数 点评：实际解题中，先找出符合题设条件的一种情形，然后选取一种替代方案，注意是否相邻、相间等受限条件，然后确定有无顺序是排列还是组合，再去求解,例12 3个人坐在一排8个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为_ 解析：把5个空位看作5个1,3个人为2、3、4，问题变为这8个数字排一列，2、3、4不相邻
10、，且不排在两头，只须在5个1形成的4个空位中选3个排上2、3、4， 答案：24,例1 将数字1、2、3、4、5、6排成一列，记第i个数为ai(i1、2、6)若a11，a33，a55，a1a3a5，则不同的排列方法有_种(用数字作答),(09天津)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有_个(用数字作答) 答案：324,例2 某中学拟于下学年在高一年级开设矩阵与变换、信息安全与密码、开关电路与布尔代数等三门数学选修课程在计划任教高一的10名数学教师中，有3人只能任教矩阵与变换，有2人只能任教信息安全与密码，另有3人只能任教开关电
11、路与布尔代数，这三门课程都能任教的只有2人现要从这10名教师中选出9人，分别担任这三门选修课程的任课教师，且每门课程安排3名教师任教，则不同的安排方案共有 ( ),A8种 B12种 C14种 D16种,(09广东)2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 ( ) A36种 B12种 C18种 D48种,解析：分类：若小张、小赵都入选，则选法有 12， 若小张、小赵两人只有一人入选，则选法有 24， 不同的选法方案共有122436.
12、 答案：A,例3 某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有_种(以数字作答) 答案：25,(09海南、宁夏)从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动若每天安排3人，则不同的安排方案共有_种(用数字作答) 答案：140,点评：参加社会公益活动的6人，只要周六确定好，周日也随之确定，故只须从6人中选3人安排在周六，有C种选法.,例4 从集合1,2,3，11中任选两个元素作为椭圆方程 1中的m和n，则能组成落在矩形区域B(x，y)|x|11且|y|9内的椭圆个数为 ( ) A43 B72 C86 D90,解析：由题意知：当m1时，n可等于2,
13、3，8共对应7个不同的椭圆；当m2时，n可等于1,3，8共对应7个不同的椭圆同理可得：当m3,4,5,6,7,8时各分别对应7个不同的椭圆当m9时，n可等于1,2,3，8共对应8个不同的椭圆，同理，当m10时，对应8个不同的椭圆综上所述，共788272个故选B.,从集合1,2,3,4,5,6中任取两个元素作为双曲线 1中的几何量a、b的值，则“双曲线渐近线的斜率k满足|k|1”的概率为_,例5 有6本不同的书 (1)甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？ (2)分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？ (3)分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？,(4)分给
14、甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分配方法？ (5)分成3堆，有两堆各1本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？ (6)摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？,将包含甲、乙在内的9人平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为 ( ) A70 B140 C280 D840 答案：A,一、选择题 1(09北京)用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 ( ) A324 B328 C360 D648 答案 B,2(09湖南)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 ( ) A85
15、B56 C49 D28 答案 C,3某企业要从其下属6个工厂中抽调8名工程技术人员组成课题攻关小组，每厂至少调1人，则这8个名额的分配方案共有 ( ) A15种 B21种 C30种 D36种 答案 B,点评 可用建模法解 8个名额可视作8个0,6个厂每厂至少调1人可看作将这8个0分成6堆，每堆至少1个，故从7个空中选5个插入1，将它们分开，有分配方案,4将4个不相同的球放入编号为1、2、3的3个盒子中，当某盒子中球的个数等于该盒子的编号时称为一个和谐盒，则恰好有2个和谐盒的概率为 ( ) 答案 D 解析 由题意知只有两种可能，1号盒与2号盒为和谐盒或1号盒与3号盒为和谐盒，,5(09全国)甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 ( ) A150种 B180种 C300种 D345
