《高考数学第一轮复习课件第41讲_不等式的性质与基本不等式及应用幻灯片》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学第一轮复习课件第41讲_不等式的性质与基本不等式及应用幻灯片（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、新课标高中一轮总复习,第六单元 不等式及不等式选讲,知识体系,1.不等关系. 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景. 2.一元二次不等式. (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.,3.二元一次不等式组与简单线性规划问题. (1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. (2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. (3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决. 4.基
2、本不等式： (a、b0). (1)了解基本不等式的证明过程. (2)会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.,5.理解绝对值的几何意义，并能用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： (1)a+b|a|+|b|; (2)|a-b|a-c|+|c-b|. (3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |ax+b|c; |ax+b|c; |x-a|+|x-b|c.,6.了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明. (1)柯西不等式向量形式:|. (2)(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2. (3 + (通常称作三角不等式). 7.会用参数配方法讨论柯西不等式的一
3、般情况： .,8.会用向量递归方法讨论排序不等式. 9.了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题. 10.会用数学归纳法证明贝努利不等式： (1+x)n1+nx(x-1,x0，n为大于1的正整数),了解当n为大于1的实数时，贝努利不等式也成立. 11.会用上述不等式证明一些简单问题，能够利用均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值. 12.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.,第41讲,不等式的性质与基本不等式及应用,1.了解现实世界与日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景. 2.掌握并能运用不等式的性质，掌握比较两个实数大小的
4、一般步骤. 3.掌握基本不等式，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.,1.(2009湖南卷)若x0,则x+ 的最小值为 .,2,2.设(0, ),0, ,那么2- 的取值范围是( ),D,A.（0, ） B.(- , ) C.(0,) D.(- ,),由题设得02,0 , 所以- - 0，所以- 2- .,3.已知三个不等式:ab0,bc-ad0, - 0(其中a、b、c、d均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数是( ),D,A.0 B.1 C.2 D.3,由ab0,bc-ad0可得出 - 0, bc-ad0两边同除以ab,得
5、- 0. 同样由 - 0,ab0,可得bc-ad0. bc-ad0 bc-ad0 - 0 0 ,由,ab0.故选D.,4.设a,b是不相等的正数，则下列关系中，不恒成立的是（ ）,C,A.|a-b|a|+|b| B.a2+ a+1a C.|a-b|+ 2 D. - -,C选项|a-b|+ 2，当a-b0时不成立.运用公式一定要注意公式成立的条件,如果a、bR,那么a2+b22ab(当且仅当a=b时取“”号)，如果a、b是正数，那么 (当且仅当a=b时取“”号).,5.设x、yR，a1，b1，若ax=by=3，a+b=2 ,则 + 的最大值为（ ）,C,A.2 B. C.1 D.,由ax+by=
6、3，得x=loga3，y=logb3, + =log3(ab)log3( )2=1，故选C.,1.实数的大小顺序与运算性质之间的关系 ab ;ab ,ab,bc ;aba+cb+c,故a+bc (移项法则). 推论:ab,cd (同向不等式相加).,a-b0,a-b0,a-b=0,ba,ba,ac,ac,ac-b,a+cb+d,(4)ab,c0 ;ab,cb0,cd0 . 推论:ab0 . 推论:ab0 . 3.基本不等式 定理1:如果a、bR,那么a2+b2 (当且仅当a=b时取“”号). 说明：(1)指出定理适用范围：a、bR;(2)强调取“”号的条件a=b.,acbc,acbc,acbd
7、,anbn,2ab,定理2:如果a,b是正数,那么 (当且仅当a=b时取“”号). 说明：(1)这个定理适用的范围：a,bR+;(2)我们称 为a,b的算术平均数，称 为a,b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数. 结论：若x,yR+,x+y=S,xy=P,则: 如果P是 值，那么当x=y时，S的值最 ;如果S是 值,那么当x=y时,P的值最 .求最值的必要条件：一正、二定、三相等.,定,小,定,大,题型一 不等式性质的应用,例1,设f(x)=ax2+bx,且1f(-1)2，2f(1)4，求f(-2)的取值范围.,因为f(-1)=a-b,f(1)=a+b,而1a-b2,
8、2a+b4. 又a+b与a-b中的a,b不是独立的，而是相互制约的，因此，若将f(-2)用a-b与a+b表示，则问题得解.,(方法一) 设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数)， 则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a-2b=(m+n)a-(m-n)b, m+n=4 m=3 m-n=2， n=1, 所以f(-2)=3f(-1)+f(1). 因为1f(-1)2,2f(1)， 所以53f(-1)+f(1)0，故5f(-2)10.,于是,得,(方法二) a-b=f(-1) a= f(1)+f(-1) a+b=f(1), b= f(1)-f(-1), 所以f(-2)=4a-
9、2b=3f(-1)+f(1). 以下同方法一.,由,得,严格依据不等式的基本性质和运算法则，是正确解答此类题目的保证，若先将参数a,b的范围求出，而后再求f(-2)的范围，这样操作是错误的，因为解题过程没有忠实题目所给条件，即变形不等价，由所求的参数a,b的范围并不能得到已知条件所给的f(-1)及f(1)的范围，这样，已经改变了题目的条件，当然，所求的结果就不是实际的结果.因此，在解题的过程中，务必尽可能保持变形的等价性，以免发生错误.,题型二 利用作差法、作商法比较大小,例2,(1)设a0,b0且ab,试比较aabb与abba的大小. (2)已知函数f(x)=x2+ax+b，p+q=1,且p
10、、q都是正数，试比较pf(x)+qf(y)与f(px+qy)的大小.,(1)根据同底数幂的运算法则，可考虑用比商法. =aa-bbb-a=( )a-b. 当ab0时， 1,a-b0, 则( )a-b1,于是aabbabba； 当ba0时，01,于是aabbabba. 综上所述，对于不相等的正数a、b,都有aabbabba.,(2)作差pf(x)+qf(y)-f(px+qy) =p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)-(px+qy)2-a(px+qy)-b =p(1-p)x2+q(1-q)y2-2pqxy =pq(x-y)2=p(1-p)(x-y)2, 所以，当x=y时，p(1-p)(x-y
11、)2=0, 得pf(x)+qf(y)=f(px+qy); 当xy时，(x-y)20, 所以pf(x)+qf(y)f(px+qy). 综上所述，当x=y时，pf(x)+qf(y)=f(px+qy). 当xy时，pf(x)+qf(y)f(px+qy).,比较大小，常用作差（商）比较法.,题型三 利用基本不等式求最值,例3,设x0,y0，x2+ =1，求x 的最大值.,(方法一)因为x0，y0，x2+ =1, 所以x = = = = . 当且仅当x= ,y= （即x2= ）时, x 取得最大值 .,x=cos y= sin(0 ), 则x =cos = = . 当2cos2=1+2sin2, 即=
12、时,x= ,y= 时，x 取得最大值 .,(方法二)令,已知x、yR+且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值.,(方法一)由2x+8y-xy=0得y(x-8)=2x. 又因为x0,y0,所以x-80,所以y= , 所以x+y=x+ =x+ =x+2+ =x-8+ +10 2 +10=18, 当x-8= ,即x=12时，等号成立，故x+y的最小值是18.,(方法二) 因为x,yR+,由2x+8y-xy=0得 + =1. 所以x+y=(x+y)( + ) =10+ + 10+2 =18. 由 = 及 + =1可得x=12,y=6, 故当x=12,y=6时，x+y的最小值为18.,1.结论中涉及x
13、,y两个变量，而条件是关于x,y的一个等量关系式，通过挖掘条件可采用转化思想将“x+y”转化为一元函数的最值问题. 2.“x+y”可视为“(x+y)1”,而 + =1,因此，可采用整体思想将 + =1整体代入求解.,在不等式的性质中，要特别注意下面三点： 1.不等式的传递性：若ab,bc,则ac,这是放缩法的依据.在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明ac,选择中间量b,在证出ab,cb后，就误认为能得到ac. 2.同向不等式可相加但不能相减,即由ab,cd,可以得出a+cb+d,但不能得出a-cb-d.,3.不等式两边同时乘以一个数或式时，只有保证该数或式为正，才能
14、得到同向的不等式，若不能保证所乘之数或式为正，则不等式两边同时乘以该数或式后不能确定不等式的方向；不等式两边同偶次乘方时，也要特别注意不等式的两边必须是正. 在基本不等式的应用中，要特别注意下面结论：若x,yR+,x+y=S,xy=P,则： (1)如果P是定值,那么当x=y时,S的值最小.,(2)如果S是定值，那么当x=y时，P的值最大.求最值的必要条件：一正、二定、三相等.常见构造条件的变换：加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等. (3)当使用均值定理,等号不能成立，应考虑函数的单调性（例如“对号”函数，导数法）.,(2008广东卷)设a、bR,若a-|b|0,则下列不等式中正确的是（ ）,D,A.b-a0 B.a3+b30 C.a2-b20 D.b+a0,(2009湖北卷)围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其它三面围墙要新建.在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45
