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1、线 性 代 数,信息与统计学院,第一章 n阶行列式,第二节 行列式的性质,第四节 克莱姆法则,第三节 行列式按行(列)展开,第一节 行列式的概念,本章的基本要求与重难点,深刻理解n阶行列式的定义。 熟记行列式的性质。 熟练掌握行列式的计算。 重点：行列式的计算。 难点：n阶行列式的计算。,第1节行列式的概念,行列式起源于解方程组,引例 方程组,系数行列式,二阶行列式（determinant）,其中元素 aij 的第一个下标 i 为行标，第二个下标 j 为列标。即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。,为方便记,主对角线,副对角线,例如,说 明,1. 行列式是一个数； 2. 计算规则：对角
2、线法则； 3. 每一项都是不同行不同列的两个数相乘，前面的正负号不同；共有 4. 一行一列称为1阶行列式， 记为 5. 二行二列称为2阶行列式 三行三列称为3阶行列式 n行n列称为n阶行列式,Whats the 三阶行列式?,可用下面的对角线法则记忆,例1,解,按对角线法则，有,例2 证明,证明：,中，6项的行下标全为123，而列下标分别为,在三阶行列式，共有 ； 每一项都是不同行不同列的三个数相乘，前面的正负号不同,123，231，312 此三项均为正号 132，213，321 此三项均为负号,为了给出n 阶行列式的定义，下面给出全排列及其逆序数的概念及性质。,How to explain
3、the n 阶行列式？,In order to give the definition of the n 阶行列式， we will give the following definition! Please give me your attention !,全排列及其逆序数,定义 由1，2， ，n 组成的有序数组称为一个n级 全排列。（简称排列）记为 j1 j2 jn.,例如 32541 是一个5级全排列 83251467是一个8级全排列,3级全排列的全体共有6种，分别为 123，231，312，132，213，321,n级全排列的种数为,定义 在一个排列 中，若某个较大的数排在一个较小的数
4、前面，即， 则称这两个数组成此排列的一个逆序。,例如 排列 32514 中,我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为自然排序（标准次序）。 如：123n 是自然排序,排列的逆序数,3 2 5 1 4,定义 一个排列 j1 j2 jn 中所有逆序的总数称为此排 列的逆序数。记为 （ j1 j2 jn ）,例如 排列 32514 中,3 2 5 1 4,逆序数为3,1,故此排列的逆序数为 ( 32541)=3+1+0+1+0=5. 说明： ( 1234n)=0,1.分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数； 2.这每个元素的逆序数
5、之总和即为所求排列的逆序数.,计算排列逆序数的方法步骤,4 2 5 3 1,于是排列 42531的逆序数为 7为奇数，称为奇排列,5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;,3的前面比1大的数有3个,故逆序数为2;,1的前面比1大的数有4个,故逆序数为4;,例1 (1)求排列42531的逆序数.,解,在排列42531中,4排在首位,逆序数为0;,2的前面比2大的数只有一个4,故逆序数为1,于是此排列的逆序数为,4的前面比4大的数n-2,其逆序数为n-2;,6的前面比6大的数有3个,故逆序数为n-3; ,2n的前面比2n大的数有0个,故逆序数为0;,解: 共n个数 共n个数,2的前面比2大的数只有一
6、个n-1,故逆序数为n-1,讨论奇偶性：,定义（p2）: 排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列.,当 时为偶排列；,当 时为奇排列.,定义,在排列中，将任意两个数对调，其余数不动，这种对排列的变换叫做对换,将相邻两个数对调，叫做相邻对换,例如,32514,31524,23 1 32 1,定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,证明,设排列为,除 外，其它元素的逆序数不改变.,当 时，,经对换后 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1.,因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.,设排列为,当 时，,现来对换 与,所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变
7、 奇偶性.,n阶行列式的定义,三阶行列式,说明,（1）三阶行列式共有 6 项，即 项,（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积,（3）在行标按顺序排列后，下列标排列的逆序数决定每项的“+、-”号，偶“+”、奇“-”,例如,列标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,偶排列,奇排列,（4）3阶行列式的一般项为：,为行标 排列逆序数 与列标 排列逆序数的和. 说明：,定义4 (p3),二、n阶行列式,规定 一阶行列式,其中 为行标排列 的逆序数.,阶行列式也可定义为,事实上,按行列式定义有,记,对于D中任意一项,总有且仅有 中的某一项,与之对应并相等;,反之,对于 中任意一项,也总有且仅有D中
8、的某一项,与之对应并相等,于是D与,中的项可以一一对应并相等,从而,其中 是两个 级排列，为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 注：n阶行列式的一般项为：,更一般的我们有: 定理（p7 定理2）,说明,1、 阶行列式是 项的代数和;,2、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积;,3、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;,4、 的符号为,思考题,1. 若n阶行列式D有一行(列)元素全为零,则D=?,例,试判断 是否都是六阶行列式中的项。 解 ： 故 是六阶行列式中的项 不是六阶行列式中的项,几种行列式,上三角行列式 特点：主对角线以下的元素全为零。,证明：上三角行列式,解,展
9、开式中一般项是,所以不为零的项只有,例2,2.下三角行列式 特点：对角线以上元素都是0,3.对角行列式 特点：主对角线以外的元素都是0,即行列式中不为零的项为 逆序数： 故,例3 计算行列式,注：,4.反对角行列式,解：行列式中不为零的项为 逆序数： 故,练习 ：用定义计算行列式,例5,设,证明,证,由行列式定义有,由于,所以,故,作业,Yao bu yao ?,第2节 行列式的性质,一、行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等 说明： 转置即行列互换 行列位置相等.,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,证明,按定义,又因为行列式D可表示为,故,证毕,例：,例如,性质2 互换行列式
10、的两行（列）,行列式变号.,证明,设行列式,是由行列式 变换 两行得到的,于是,则有,即当 时,当 时,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,故,证毕,互换第一，第二行，得：,例如,所以,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.,推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,注：当k= -1时，,例如,所以,第二列提取-5倍,性质 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,第1行，第2行成比例,性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则D等于下列两个行列式之和：
11、,例如,性质 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,例 计算,让第1列加到第3列，得,让第2行乘以5加到第1行，得,分析：利用性质把D化为上（下）三角行列式,二、应用举例,计算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,例：计算行列式 分析： 第二列有一个0，先互换第二列第一列 记为c(1,2) 行row,简记r；列 column 简记c,行row, 简记r；列 column 简记c 解：,例2,解,综上可知，化三角形行列式的一般步骤如下,将a11的下方化为0的过程中，若,（1）,，则可通过换行（列）使,（2
12、）,的下方化为0时，其它元素出现分数，则可通过性质,“不漂亮”，即,变化a11，以尽量避免出现分数.,a22 、a33 的下方化为0的过程依此类推.,例3计算 n 阶行列式,解,将第 都加到第一列得,例3,证明,证明,例4,解,第3节 行列式按行（列）展开,例如,一、余子式与代数余子式,叫做元素 的代数余子式,例如,引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ,例如,再证一般情形,得,得,中的余子式,故得,于是有,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证,二、行列式按行（列）展开法则 （拉普拉斯展开
13、定理）,例1 计算行列式,解,按第1行展开，得,方法2： 按第2行展开,例2 计算 分析：第一行有2个零，按第一行展开,例3 计算 解：,例4,总结：计算行列式最常用的两种方法 1 .化上（下）三角形法 根据行列式的性质 2.按某行某列展开 降阶法 先利用行列式的性质把原行列式的某行（列） 的元素尽可能多地变为零，使该行（列）不为零的元素只有一个或两个； 然后再按该行（列）展开降阶后进行计算。,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,同理,关于代数余子式的重要性质，可简记为,例5 计算行列式,解,例6 设 求第一行各元素的代数余子式之和 解：,
14、例7,范得蒙行列式,例如,例 计算 解：,是3阶范得蒙行列式,作业？,第4节 克莱姆法则,课前复习,余子式与代数余子式,关于代数余子式的重要性质,非齐次与齐次线性方程组的概念,设线性方程组,则称此方程组为非,齐次线性方程组;,此时称方程组为齐次线性方程组.,使得方程组成立的一组数 称为此方,程组的解.,是 非齐次线性方程组,是 齐次线性方程组,显然， 是齐次线性方程组的 一个解，简称 零解,一、引例 用消元法解二元线性方程组,原方程组即,记,则上述方程组可写为,D称为原方程组的系数行列式.,方程组的解为,二、克莱姆法则,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为,证明,再把 个方程依次相加，得,由代数余子式的性质可知,于是,当
