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1、初等数论,Number Theory,第一章 整除理论,整除性理论是初等数论的基础。本章要介绍自然数与整数，带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的一些应用。,第一章 整除理论,整除理论是初等数论的彗础，它是对在小学就学过的整数的算术，主要是涉及除法运算的内容，作抽象的、系统的总结，看起来似乎很简单，但是它的内涵是十分重要而深刻的。本章的主要内容最大公约数理论和数学中最重要、最基本、最著名的定理之一算术基本定理，即每个大于1的正整数必可唯一地表为若干个素数的乘积，前者在4讨论，后者则在6及7讨论。,第一章 整除理论,本章内容是是这样安排的：为了使讨论自然和方便，在
2、1中先概述了熟知的整数的有关知识，包括整数的加法、减法及乘法运算的概念与性质；整数的大小关系及其性质；特别是讨论了自然数的最重要的两个性质:自然数的归纳原理及由此推出的最小自然数原理，这造建立整除理论的基础，在本章及以后各章中经常要用到.,第一章 整除理论,在2中，讨论整除的基本概念与最简单的性质，这些性质实质上是不涉及加法、减法运算的；还引进了素数、最大公约数、最小公倍数的概念，讨论了有关的最简单性质。在3中，我们讨论建立整除理论的重要工具：带余数除法，并介绍了它的若干应用.以及辗转相除法。,第一章 整除理论,在4中我们建立最大公约数理论，它是整除理论的核心内容，对此我们作了较全面的讨论.在
3、第一部分，利用带余数除法建立了完整的最大公约数及最小公倍数的理论，在这一部分中我们直接从定义出发给出最大公约数及最小公倍数的性质；第二部分在带余数除法的基础上建立了完整的最大公约数与最小公倍数理论。,0引言 自然数与整数,定义1 自然数，也叫正整数，是我们熟悉的数 1，2，3，n, n+1 , 我们以N表示全体自然数的集合。,整数是指正整数、负整数以及零，即 , -n, , -2 , - 1, 0 ，1，2，n, 我们以Z表示全体整数的集合。,我们熟知的整数的基本知识有：,0引言 自然数与整数,一、在整数集中可以作加法运算（+)及其逆运算减法运算（）。加法运算满足,0引言 自然数与整数,二、在
4、整数集中可以作乘法运算（*)，但不一定可作其逆运算除法运算，乘法运算满足,0引言 自然数与整数,三、 在整数中有大小(即顺序)关系，并用符号:(， ， ) 来表示。整数的顺序有以下性质:,i) 对任意的a ,b Z, 关系: a=b, ab 有且仅有一个成立.,对称,传递,0引言 自然数与整数,等号仅当b=1时成立.,0引言 自然数与整数,四、 在整数中引入绝对值的概念：,显然有性质：,0引言 自然数与整数,以上列举了一些熟知的有关整数的知识.对自然数来说它的最重要、最本质的性质是,归纳原理：设S是N的一个了集，满足条件:,0引言 自然数与整数,这原理是我们常用的数学归纳的基础，实际上两者是一
5、回事.,定理1(数学归纳法) 设P(a)是关于自然数n的一种性质或命题.如果,0引言 自然数与整数,这原理是我们常用的数学归纳的基础，实际上两者是一回事.,定理1(数学归纳法) 设P(n)是关于自然数n的一种性质或命题.如果,0引言 自然数与整数,由归纳原理还可推出两个在数学中，特别是初等数论中常用的自然数的重要性质.,考虑所有这样的自然数s组成的集合S。,定理2(最小自然数原理) 设T是N的一个非空子集.那么，必有t0 属于T,使对任意的t属于T有t0t，即t0是T中的最小自然数。,0引言 自然数与整数,考虑所有这样的自然数t组成的集合T。,定理3(最大自然数原理) 设M是N的非空子集，若M
6、有上界，即存在a属于M,使对任意的: m 属于M有ma，那么，必有m0属于M,使对任意的m属于M，有m m0 ，即 m0 是M中的最大自然数。,0引言 自然数与整数,考虑所有这样的自然数t组成的集合T。,定理4(第二种数学归纳法)设P(n)是关于自然数n的一种性质或命题.如果 (i)当n=1时，p(1)成立; (ii)设n1.若对所有的自然数m n, P(m)成立，则必可推出P(n)成立， 那么. P(n)对所有自然数n成立.,0引言 自然数与整数,鸽巢原理 设”是一个自然数.现有守:个盒子和11十工个物体.无论怎样把这儿十工个物体放入这”个盒子中，一定有一个盒子中被放了两个或两个以上的物体.,
