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1、公平的席位分配问题席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即：某单位席位分配数 = 某单位总人数比例总席位 如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这种分配方法公平吗？下面来看一个学院在分配学生代表席位中遇到的问题：某学院按有甲乙丙三个系并设 20 个学生代表席位。它的最初学生人数及学生代表席位为系名 甲 乙 丙 总数学生数 100 60 40
2、 200学生人数比例 100/200 60/200 40/200席位分配 10 6 4 20后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为系名 甲 乙 丙 总数学生数 103 63 34 200学生人数比例 103/200 63/200 34/200按比例分配席位 10.3 6.3 3.4 20按惯例席位分配 10 6 4 20 由于总代表席位为偶数，使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为 21 个。重新按惯例分配席位,有系名 甲 乙 丙 总数学生数 103 63 34 200学生人数比例 10
3、3/200 63/200 34/200按比例分配席位 10.815 6.615 3.57 21 按惯例席位分配 11 7 3 21这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷，请尝试建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。模型构成先讨论由两个单位公平分配席位的情况，设单位 人数 席位数 每席代表人数单位 A p1 n1 1np单位 B p2 n2 2要公平，应该有 1n= ， 但这一般不成立。注意到等式不成立时有若 p 2，则说明单位 A 吃亏( 即对单位 A 不公平 )若 1n 2，即
4、对单位 A 不公平，再分配一个席位时，关于 1np, 2的关系可能有 1. 1np 2 ,说明此一席给 A 后,对 A 还不公平;2. 2 ,说明此一席给 B 后,对 A 不公平,不公平值为 1)(1),( 2221 npnpnrA4. 1np 2 ,不可能上面的分配方法在第 1 和第 3 种情况可以确定新席位的分配，但在第 2 种情况时不好确定新席位的分配。用不公平值的公式来决定席位的分配，对于新的席位分配，若有 )1,(),1(22nrnrAB则增加的一席应给 A ，反之应给 B。对不等式 rB(n1+1,n2)rA (n1,n2+1)进行简单处理，可以得出对应不等式 )1()(22npn
5、引入公式 kknpQ)1(2于是知道增加的席位分配可以由 Qk 的最大值决定，且它可以推广到多个组的一般情况。用 Qk 的最大值决定席位分配的方法称为 Q 值法。对多个组（m 个组）的席位分配 Q 值法可以描述为：1先计算每个组的 Q 值：Qk , k=1,2,m2求出其中最大的 Q 值 Qi（若有多个最大值任选其中一个即可）3将席位分配给最大 Q 值 Qi 对应的第 i 组。这种分配方法很容易编程处理。模型求解先按应分配的整数部分分配，余下的部分按 Q 值分配。 本问题的整数名额共分配了席，具体为： 甲 10.815 n1 =10乙 6.615 n2 =6丙 3.570 n3 =3对第席的分
6、配，计算 Q 值Q1=1032/(1011) = 96.45 ; Q2=632/(67)= 94.5; Q3 =342/(34)=96.33因为 Q1 最大，因此第席应该给甲系; 对第席的分配，计算 Q 值Q1=1032/(1112)=80.37 ; Q2 =632/(67)=94.5; Q3 =342/(34)=96.33因为 Q3 最大，因此第1 席应该给丙系最后的席位分配为：甲席乙席 丙席注：若一开始就用 Q 值分配，以 n1=n2=n3 =1 逐次增加一席，也可以得到同样的结果。简评：本题给出的启示是对涉及较多对象的问题，可以先通过研究两个对象来找出所考虑问题的一般的规律，这也是科学研究的常用方法。请对一般情况编程。
