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1、傅氏变换与小波分析简介,你想知道你六十年后的样子吗？ 你想让自己的歌声变得美妙吗？ 一切的答案都在,物理09 马立国,傅里叶变换,1807年傅立叶提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年傅立叶首次发表在“热的分析理论” 一书中,2,傅立叶，1768年生于法国,傅氏变换简介,傅立叶变换历史： 1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830) 在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证 明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把
2、这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。 19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。 在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。 “FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。,4,在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示： 不可能用三角级数来表示一个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非常有限。 傅里叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研究，1807年他在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中宣布了任一函数都能够展成
3、三角函数的无穷级数。 这篇论文经 J.-L.拉格朗日, P.-S.拉普拉斯, A.-M.勒让德等著名数学家审查，由于文中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的观点相矛盾，而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文从未公开露面过。 为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并发表,在经过了几次其他的尝试以后,傅里叶才把他的成果以另一种方式出现在“热的分析理论“这本书中。这本书出版于1822年,也即比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书已成为数学史上一部经典性的文献，其中基本上包括了他的数学思想和数学成就。 作为一名出色的数学家，傅立叶更清楚两点之间线段最短，但特殊
4、情况下，也许曲线更有生命力，他的曲线不仅解决了个人问题更是解决了数学应用上的大问题。,5,热的分析理论 书中处理了各种边界条件下的热传导问题，以系统地运用三角级数和三角积分而著称，他的学生以后把它们称为傅里叶级数和傅里叶积分，这个名称一直沿用至今。傅里叶在书中断言：“任意”函数（实际上要满足 一定的条件,例如分段单调）都可以展开成三角级数,他列举大量函数并运用图形来说明函数的这种级数表示的普遍性，但是没有给出明确的条件和完整的证明。 傅里叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本的求解方法-傅里叶级数法,从而极大地推动了微分方程理论的发展，特别是数学物理等应用数学的发展； 其次，傅里叶级数
5、拓广了函数概念，从而极大地推动了函数论的研究，其影响还扩及纯粹数学的其他领域。 傅里叶深信数学是解决实际问题的最卓越的工具， 并且认为“对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。” 这一见解已成为数学史上强调通过实际应用发展数学的一种代表性的观点。,6,一、三角函数的傅里叶级数:,直流 分量,基波分量 n =1,谐波分量 n1,7,余弦分量 系数,正弦分量 系数,直流分量,余弦分量 系数,求上式中的系数,8,傅立叶变换应用,傅里叶变换应用： 傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学；数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、通讯、海洋学等领域都有着广泛的应用。 例如在信号处理中，傅里叶变
6、换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。 傅立叶变换在物理的数据处理中占据着举足轻重的地位，在后面将展示我们物理学院与之相关的实验。,9,小波分析与傅立叶变换,从数学地角度来看，信号与图象处理可以统一看作是信号处理(图象可以看作是二维信号)，在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。现在，对于其性质随时间是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。 但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。 小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小区域、长度有限、均值为0的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”
7、则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。,小波分析 (Wavelet),小波变换历史： 小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如1807年法国的热学工程师J.B
8、.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家 J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的认可一样。 幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同意方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的小波十讲
9、（Ten Lectures on Wavelets）对小波的普及起了重要的推动作用。 它与Fourier变换、窗口Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。,小波分析特点,小波变换和傅里叶变换的信号都是用正弦函数的和来表示。主要的区别是小波在时域和频域都是局部的,而标准的傅里叶变换只在频域上是局部的。短时距傅里叶变换(Sh
10、ort-time Fourier transform)(STFT)也是时域和频域都局部化的.但有些频率和时间的分辨率问题，而小波通常通过多分辨率分析给出信号更好的表示。 小波变换计算复杂度上也更小，只需要O(N)时间，而不是快速傅里叶变换的 O(N log N)，N代表数据大小。,12,小波变换的应用,小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图象处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分
11、方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。 (1)小波分析用于信号与图象压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图象的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。 (2)小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等
12、。 (3)在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。,小波应用,通常来讲， 离散小波变换 (DWT)用于信号编码，而连续小波变换 (CWT)用于信号分析。所以，DWT通常用于工程和计算机科学而CWT经常用于科学研究。 小波变换现在被大量不同的应用领域采纳，经常取代了傅里叶变换的位置。很多物理学的领域经历了这个范式的转变，包括分子动力学，从头计算(ab initio calculations),天文物理学，密度矩阵局部化，地震地质物理学，光学，湍流，和量子力学。其他经历了这种变化的学科有图像处理，血压，心率和心电图分析，DNA分析，蛋白质
13、分析，气象学，通用信号处理，语言识别，计算机图形学，和多分形分析。 小波的一个用途是数据压缩。和其他变换一样，小波变换可以用于原始数据(例如图像)，然后将变换后的数据编码，得到有效的压缩。JPEG 2000 是采用小波的图像标准。,小波-连续小波变换,(连续)小波函数,母小波:,小波由时域中的小波函数( t ) (即母小波)和缩放函数( t ) (也称为父小波)来定义。,L1等价于,L2 等价于,并满足,则可作为母小波,并满足,函数,小波及连续小波变换,设函数,则称,为一个允许小波。, 若,允许条件与,几乎是等价条件.,常用的基本小波,Haar小波,haar小波用途：音频、人脸,小波示例,物理实验中的傅立叶变换,声、光、电，原子、电子、夸克，用德布罗意的话来说全是波。甚至大到天体都可以是波。 物理学很多实验是和波打交道。,声波拍频实验,
