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1、第二章 模糊集的基本运算,一. 模糊集的表示方法,模糊集合是论域X 到0,1的映射, 因此用隶属函数来表示模糊集合是最基本的方法。除此以外, 还有以下的表示方法： 1)序偶表示法 A=(x, A(x)|xX. 例如: 用集合X=x1, x2, x3, x4表示某学生宿舍中的四位男同学, “帅哥”是一个模糊的概念。经某种方法对这四位学生属于帅哥的程度(“帅度”)做的评价依次为: 0.55, 0.78, 0.91, 0.56, 则以此评价构成的模糊集合A记为: A=(x1, 0.55), (x2, 0.78), (x3, 0.91), (x4, 0.56).,2) 向量表示法 当论域X=x1, x
2、2, , xn时, X上的模糊集A可表示为向量 A=(A(x1), A(x2), ,A(xn). 模糊集“帅哥”A可记为: A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56). 向量的每个分量都在0与1之间,称之为模糊向量。 3） Zadeh表示法 当论域为有限集x1, x2, , xn时, 模糊集合可表示为 A=A(x1)/x1+A(x2)/x2+ +A(xn)/xn. 注意, 这里仅仅是借用了算术符号+和/, 并不表示分数和运算, 而只是描述A中有哪些元素,以及各个元素的隶属度值。 对于任意论域X中的模糊集合A可记为:,模糊集“年轻”A可表示为,注意：当论域明确的情况下, 在序偶和Zad
3、eh表示法中, 隶属度为0的项可以不写出。而在向量表示法中, 应该写出全部分量。 例如, 论域X为1到10的所有正整数, 模糊集“近似于5”A可表示为：,或,或,二. 典型的隶属函数,构造恰当的隶属函数是模糊集理论应用的基础。一种基本的构造隶属函数的方法是“参考函数法”, 即参考一些典型的隶属函数, 通过选择适当的参数, 或通过拟合、整合、实验等手段得到需要的隶属函数。 下面介绍典型隶属函数。 1. 偏小型 降半矩形分布, 降半形分布, 降半正态分布, 降半柯西分布, 降半梯形分布, 降岭形分布。,2. 偏大型 升半矩形分布，升半形分布，升半正态分布，升半柯西分布，升半梯形分布，升岭形分布。,
4、“年轻”模糊集合的隶属函数为降半柯西分布, 其中取a =1/5 , b =25 , c =2. “年老”模糊集合的隶属函数为升半柯西分布, 其中取a=1/5 , b=50, c=2. 3. 中间型(对称型) 矩形分布, 尖形分布, 正态分布, 柯西分布, 梯形分布, 岭形分布。,三. 模糊集上的运算,几点说明 经典集合可用特征函数完全刻画, 因而经典集合可看成模糊集的特例(即隶属函数只取0, 1两个值的模糊集)。 设X为非空论域, X上的全体模糊集记作F(X). 于是, P(X)F(X), 这里P(X)为X的幂集(即X的全体子集构成的集合). 特别地, 空集的隶属函数恒为0, 全集X的隶属函数
5、恒为1, 即、X都是X上的模糊集。,2. 模糊集的包含关系 设X为非空论域, A, B为X上的两个经典集合。 AB当且仅当属于A的元素都属于B. 易证AB当且仅当对任意xX有CA(x) CB(x).,定义 设X为非空论域, A, B为X上的两个模糊集合。 称A包含于B(记作AB), 如果对任意xX有A(x) B(x). 这时也称A为B的子集。,例 论域X=x1, x2, x3, x4时, X上的模糊集A为: A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56). X上的模糊集B为: B=(0.35, 0.52, 0.65, 0.37). 则根据定义有BA.,帅哥,超男,定义 论域X上的模糊集A
6、与B称为是相等的, 如果AB 且BA, 即对任意xX有A(x)= B(x).,3. 模糊集的并 设X为非空论域, A, B为X上的两个经典集合。 AB=xX| xA或xB. 易证 CAB(x)=maxCA(x), CB(x)=CA(x)CB(x).,定义 设X为非空论域, A, B为X上的两个模糊集合。 A与B的并(记作AB)是X上的一个模糊集, 其隶属函数为 (AB)(x)=maxA(x), B(x)=A(x)B(x), xX.,(AB)(x),4. 模糊集的交 定义 非空论域X上的两个模糊集合A与B的交(记作AB)是X上的一个模糊集, 其隶属函数为 (AB)(x)=minA(x), B(x
7、)=A(x)B(x), xX.,(AB)(x),5. 模糊集的补 定义 非空论域X上的一个模糊集合A的补(记作A或AC)X上的一个模糊集, 其隶属函数为 A(x)=1A(x), xX.,注：两个模糊集的并、交运算可以推广到一般情形, 即对任意指标集I, 若Ai是X上的模糊集, iI. 则模糊集的(任意)并、(任意)交定义为:,例 设论域X=x1, x2, x3, x4为一个4人集合, X上的模糊集合 A表示“高个子”: A= (x1, 0.6), (x2, 0.5), (x3, 1) , (x4, 0.4) . 模糊集合B表示“胖子”: B= (x1, 0.5), (x2, 0.6), (x3
8、, 0.3) , (x4, 0.4) . 则模糊集合“高或胖”为: AB=(x1,0.60.5),(x2,0.50.6),(x3,10.3),(x4,0.40.4) =(x1, 0.6), (x2, 0.6), (x3, 1), (x4, 0.4). 模糊集合“又高又胖”为: AB=(x1, 0.5), (x2, 0.5), (x3, 0.3), (x4, 0.4). 模糊集合“个子不高”为: A =(x1, 0.4), (x2, 0.5), (x3, 0), (x4, 0.6).,四.模糊集的运算性质,1. 经典集合的运算性质 经典集合关于并、交、补运算具有以下性质: 设X为论域, A, B
9、, C为X上的经典集合, 则 (1) 幂等律: AA=A, AA=A; (2) 交换律: AB=BA, AB=BA; (3) 结合律: (AB)C=A(BC), (AB)C=A(BC); (4) 吸收律: A(AB)=A, A(AB)=A; (5) 分配律: A(BC)= (AB)(AC), A(BC)=(AB)(AC);,(6) 对合律(复原律): (A)=A; (7) 两极律(同一律): AX=A, AX=X, A=, A=A; (8) De Morgan对偶律: (AB)=AB, (AB)=AB; (9) 排中律(互补律): AA=X, AA=. 注：满足上述前四条规律的代数系统称为格(
10、可诱导出一个序ABAB=AAB=B)。 满足以上9条性质的代数系统称为布尔代数(Boolean algebra, 即“有补的有界分配格”.,2. 模糊集合的运算性质 定理 设X为论域, A, B, C为X上的模糊集合, 则 (1) 幂等律: AA=A, AA=A; (2) 交换律: AB=BA, AB=BA; (3) 结合律: (AB)C=A(BC), (AB)C=A(BC); (4) 吸收律: A(AB)=A, A(AB)=A; (5) 分配律: A(BC)= (AB)(AC), A(BC)=(AB)(AC);,(6) 对合律(复原律): (A)=A; (7) 两极律(同一律): AX=A,
11、 AX=X, A=, A=A; (8) De Morgan对偶律: (AB)=AB, (AB)=AB.,证明De Morgan对偶律: 对任意xX, 由于 (AB)(x)=1(AB)(x) = 1(A(x)B(x) = (1A(x)(1B(x) =A(x)B(x) =(AB)(x). 所以 (AB)=AB. 同理可证 (AB)=AB.,注：模糊集中互补律不成立(参见下面的反例). 满足以上8条性质的代数系统称为De Margan代数, 也称为软代数(soft algebra). 反例 设论域X=a, b上的模糊集A=(a, 0.6), (b, 0.3). 则 A=(a,0.4),(b,0.7)
12、. 从而 AA=(a,0.6), (b, 0.7)X, AA=(a, 0.4), (b, 0.3).,五. L型模糊集,本节把模糊集合的隶属度取值范围推广到一般格上, 并研究这类广义模糊集合及其性质。 1. 偏序集与格 定义 称(P, )为偏序集, 若P上的二元关系满足以下三个条件: (1) 自反性: aP, a a; (2) 反对称性: a b且b a a = b; (3) 传递性: a b且b c a c. 对于偏序集(P, ), 如果对于任意a, bP总有ab或ba成立, 则称P为线性序集或全序集。,设(P, )为偏序集, 若存在aP使得对任意bP都有ab, 则称a为P的最小元。若存在a
13、P使得对任意bP都有ba, 则称a为P的最大元。 易知, 如果偏序集有最小元或最大元, 则最小元或最大元是惟一的。为此, 记0为最小元素, 1为最大元素。 设(P, )为偏序集, XP, 若存在aP使得对任意xX都有xa, 则称a为X的上界。如果X的上界集合有最小元素, 则称它为X的最小上界或上确界, 记为supX或X. 对偶地, 可以定义下界、最大下界或下确界(记为infX或X)。,定义 偏序集 (L, )称为格, 如果a, bP, 上确界a b与下确界ab都存在。 任意子集都有上、下确界的格称为完备格。 上、下确界运算满足分配律的格称为分配格, 这里分配律指有限分配律。 定理 设(L, )
14、为格, 则上、下确界运算满足: (1) 幂等律: aa=a, aa=a; (2) 交换律: ab=ba, ab=ba; (3) 结合律: (ab)c=a(bc), (ab)c=a(bc); (4) 吸收律: a(ab)=a, a(ab)=a.,定理 设代数系统(L,)中的二元运算,满足: 幂等律: aa=a, aa=a; 交换律: ab=ba, ab=ba; 结合律: (ab)c=a(bc), (ab)c=a(bc); 吸收律: a(ab)=a, a(ab)=a. 则: (1) ab=a ab=b; (2) 在L中定义二元关系如下a b ab=a. 那么 (L, )是格, 且,是这个格(L,
15、)的上、下确界运算。,2. Boole代数与De Morgan代数 定义 设L是有界分配格, 0, 1分别是其最大元和最小元。对任意aL, 若存在aL使得aa=1, aa=0, 则称L为布尔代数。 定义 设P是偏序集, h:PP是映射。如果当ab时恒有h(a)h(b), 则称h为保序映射。如果当ab时恒有h(b)h(a), 则称h为逆序映射。如果逆序映射h满足对合律h(h(a)=a, 则h称为逆序对合对应或逆合映射, 也称h为伪补。,定义 设L是有界分配格, h:LL是L上的一元运算且满足 (1) h(h(a)=a, (2) h(ab)=h(a)h(b), h(ab)=h(a)h(b). 则称L为De Morgan代数。,易知De Morgan代数中h是逆合映射。 设X为非空集合, 则幂集格(P(X), , c)为布尔代数, 而X上的模糊
