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1、ThemeGallery PowerTemplate,2-14 LTI系统的状态变量描述,国家“十二五”规划教材信号与系统,2-14 LTI系统的状态变量描述,系统的状态变量描述（也称状态空间）方法代表了线性系统理论及应用的现代方法。状态变量法适用于描述高阶系统以及具有多个输入、多个输出的系统（多输入多输出系统）。但必须指出，连续时间LTI系统借助于状态变量描述，虽然比系统的微分方程描述方法更为通用，却对系统的建模精度敏感，在实际工程问题中这是一个限制。,所谓系统的状态可定义为代表系统过去全部记忆或历史的一组最少数目的信号，换句话说，只要给定了时间起始点时刻系统的状态值，以及时刻之后的输入，就
2、可以完全确定时刻之后所有时间的输出。我们将看到表示系统状态的状态变量的选择并不是惟一的，对于一个给定了输入-输出特性的系统，可以用多个不同的状态变量来描述。,内容安排,2-14-1 状态变量方程的形式,2-14-2 状态变量模型,2-14-3 状态方程的时域解,2-14-1 状态变量方程的形式,连续时间LTI系统的状态变量模型包含一组描述系统状态变化的一阶微分方程（称为状态方程），以及一个将系统的输出与其状态变量及输入相联系的代数方程（称为输出方程）。状态方程和输出方程统称为状态方程组，一般可以通过一个n阶线性微分方程来导入。状态方程组若用矩阵形式表示，则为,2-14-1 状态变量方程的形式,
3、式中 ， ； 和 分别为系统的状态向量、输入向量和输出向量，即,2-14-1 状态变量方程的形式,这里n为系统状态变量的维数，r是系统输入向量的维数，p是系统输出向量的维数。矩阵 描述了系统的内部行为或属性，矩阵 、 和 则给出系统外部因素与系统之间的联系。如果系统的输入和输出之间不存在直通路径，则矩阵 。由于本书只讨论LTI系统，故这些矩阵中的元素均为常数。另外，实际工程系统的动态特性都可以通过式（2-14-1）和（2-14-2）定义的状态空间形式建模，其中对应的矩阵维数分别是 ，而对应的矩阵元素是 。,2-14-1 状态变量方程的形式,连续时间LTI系统的记忆通常存储在系统的储能元件中。因
4、此，可选择与这些元件有关的物理量作为系统的状态变量。例如，电气系统的储能元件是电容和电感，故可选取电容的端电压和流过电容的电流作为状态变量；在机械系统中，储能器件是弹簧和质块，这样，弹簧的位移或质块的速度可选为状态变量。式（2-14-1）及（2-14-2）给出的状态变量方程可以方便地将储能元件的动态行为和输入输出特性联系起来，下面的例子对此进行了说明。,2-14-1 状态变量方程的形式,例2-14-1 考虑图2-6-1的简单的RLC电路。其数学模型已经由式(2-6-6)给出如下,（2-14-3）,设系统的输入为 ,输出是 ，试用状态变量描述该电路。,2-14-1 状态变量方程的形式,解：进行如
5、下变量代换,（2-14-4）,（2-14-5）,因此，对式（2-14-5）求导得到,（2-14-6）,2-14-1 状态变量方程的形式,若令,（2-14-7）,（2-14-8）,将上面各式代入式（2-14-6）中，有,（2-14-8）,现将式（2-14-5）和式（2-14-8）写成矩阵形式，可得到系统的状态方程为,2-14-1 状态变量方程的形式,而系统的输出方程，由式（2-14-8）直接可以写成矩阵形式为,（2-14-10）,显然，由式（2-14-9）及式（2-14-10）给出的系统状态变量模型对应的状态变量矩阵为,顺便说明一下，系统的状态变量模型描述不是唯一的，选择不同的状态变量，就有不同
6、的状态变量模型。,2-14-1 状态变量方程的形式,例2-14-2 考虑图2-14-1所示的平移机械系统。其中 、 是系统的阻尼系数， 、 是弹性系数， 、 是质量块的质量。该系统有两个输入力 和 ，以及两个输出（位移量） 和 ，试用状态变量描述该机械系统。,图2-14-1 平移机械系统,2-14-1 状态变量方程的形式,解：根据动力学的基本定律，可给出该系统的数学模型为,（2-14-11）,选择状态变量如下：,（2-14-12）,2-14-1 状态变量方程的形式,将上面各式代入式（2-14-11）中，整理后写成矩阵形式，可得到系统的状态方程为,而输出方程如下,（2-14-13）,（2-14-
7、14）,内容安排,2-14-1 状态变量方程的形式,2-14-2 状态变量模型,2-14-3 状态方程的时域解,2-14-2 状态变量模型,考虑一般动态系统的n阶微分方程模型,（2-14-16）,（2-14-15）,式中 为系统的输入信号， 是系统的输出信号。为方便起见，设微分方程的初始条件为零，即 并且 。,首先考虑输入信号没有导数的情况，这时式（2-14-15）简化为,2-14-2 状态变量模型,引入（状态）变量代换：,（2-14-18）,（2-14-17）,对上式求导、并经整理得,2-14-2 状态变量模型,将上式写成矩阵形式，则得到微分方程（2-14-16）的状态变量模型为,（2-14
8、-19）,对应的系统输出方程由式（2-14-17）可直接给出为,（2-14-20）,2-14-2 状态变量模型,式（2-14-19）和（2-14-20）两式联合给出了微分方程系统的状态变量规范形式。,（2-14-21）,式中设 。对上式引入式（2-14-17）定义的状态变量，则有,（2-14-22）,针对式（2-14-15）给出的更一般的情况，可以构造一个形如式（2-14-16）的辅助方程，即,2-14-2 状态变量模型,对上式求导、并经整理得,（2-14-23）,2-14-2 状态变量模型,另外，对式（2-14-15）和式（2-14-21）应用叠加原理，考虑到是式（2-14-21）的输出，故
9、由叠加原理即可获得式（2-14-15）的输出，即,（2-14-24）,将上式写成矩阵形式有,（2-14-25）,2-14-2 状态变量模型,注意，如果，则上式演变成为在各种文献中频繁出现的一种简洁形式，即,（2-14-25）,综上所述，将一般动态系统的n阶微分方程模型（式（2-14-15）变换成状态变量描述，即式（2-14-19）和式（2-14-25）的形式，需要辨识出系数 和 ， ，并用它们构造状态变量矩阵A和输出矩阵C。,2-14-2 状态变量模型,例2-14-3 设一动态系统的微分方程为,解：根据式（2-14-19）和（2-14-24），可直接写出该微分方程的状态变量描述矩阵,试写成系统
10、的状态变量描述矩阵。,内容安排,2-14-1 状态变量方程的形式,2-14-2 状态变量模型,2-14-3 状态方程的时域解,2-14-3 状态方程的时域解,状态方程组（式（2-14-1）和式（2-14-2）的求解有时域及频域两种方法。前者在时域直接求解对应的矩阵微分方程，而后者则需利用拉普拉斯变换在频域中获得。本节仅讨论时域求解方法，频域法将在第5章（拉普拉斯变换）中研究。,（2-14-26）,为求解状态方程组，考虑式（2-14-1）和式（2-14-2），为方便起见，方程重写如下：,初始条件为 。,2-14-3 状态方程的时域解,求解状态方程直接的方法是构造一个随时间变化的解。假设将 区间分
11、为间隔为 的无穷多个子区间，则当 足够小时有,（2-14-27）,其中，对于任意 ， 表示x在从 到 时间间隔上的变化量。由式（2-14-27）可推知，在从 到 间隔上的变化量应为,因此，在 时，有,（2-14-28）,（2-14-29）,2-14-3 状态方程的时域解,由于 为初始条件，而由式（2-14-26）可以求出 为,（2-14-30）,则式（2-14-29）中左端的 即可确定。,同理可以求出 ，并据此求出 。重复上述递推过程（每次可解出方程的一步），便可获得状态方程的一个数值近似解。由于解的精度取决于步长的大小，故当 时，其解将逼近方程的精确解。这种方法（包括修正后的方法）显然是数值
12、方法，适合用计算机求解。,2-14-3 状态方程的时域解,总结上述方法，可以将这种数值求解过程归纳为一个简单的递归关系。具体而言，针对式（2-14-27），代入 ，得到,（2-14-31）,其中， 。将上式代入状态方程组（式（2-14-26），即可获得 时刻的系统状态方程为,（2-14-32）,或,（2-14-33）,2-14-3 状态方程的时域解,（2-14-34）,可以看出，如果将 视为x的当前值，则由上式即可求解出下一时刻的值，由于 ，这就构成了时域解的数值解。显然，上式本质上就是后面我们将要讨论的差分方程形式。,以上讨论了状态方程的数值解。数值算法虽然直观且计算简单，但一般不能获得闭合
13、形式的解析解。为了解析求解状态方程组，首先不妨求解矩阵状态方程的特例-标量系统方程，即,2-14-3 状态方程的时域解,（2-14-36）,根据微分方程理论知式（2-14-34）的解为,式中的指数项 在 处用泰勒级数可以展开为,（2-14-35）,针对矩阵状态方程（式（2-14-26），可以证明n阶状态变量微分方程的解为,（2-14-37）,2-14-3 状态方程的时域解,（2-14-39）,式中矩阵指数 的泰勒级数展开定义为,矩阵指数 又被称为状态转移矩阵，记为,（2-14-38）,作为一个时间函数显然只依赖于状态矩阵A，也就是说当不存在外部激励时（ ）， 完全描述了系统的内部行为。因此，系统的状态转移矩阵 在线性动态系统理论中扮演着一个重要的角色。,2-14-3 状态方程的时域解,状态转移矩阵具有以下几个重要的性质：,1） （I是单位矩阵） 2） （ 对于任意t是非奇异的） 3） 4） ，对于 5）,2-14-3 状态方程的时域解,注释：状态转移矩阵 有多种求法。其中一种方法就是式（2-14-38）中给出的泰勒级数展开法，还有线性代数中常用的凯莱-汉密尔顿法以及状态转移矩阵的拉普拉斯变换法等。,现将状态转移矩阵 代入式（2-
